6.4.2 Induktion erzeugt Gegenkraft ******

Transkript

1 V ****** Motivation Ein permanenter Stabmagnet wird durch einen luminiumring bewegt. Der dabei im Ring fliessende Induktionsstrom bewirkt, dass der Ring der Bewegung des Stabmagneten folgt. 2 Experiment bbildung : Versuchsaufbau Wird ein permanenter Stabmagnet durch einen an zwei Fäden hängenden luminiumring bewegt (siehe bb. ), folgt letzterer in Richtung der Bewegung des Stabmagneten, und zwar unabhängig von der Polarität des Magneten. Das Feld eines Stabmagneten ist inhomogen (siehe bb. 2). Beim Hineinstossen des Magneten in den luminiumring ändert sich deshalb der magnetische Fluss Φ = B d () Dabei bedeuten d die differentiele Flächennormale der Querschittsfläche und B(r) das ortsabhängige Magnetfeld. Die zeitliche Änderung des Flusses erzeugt ein elektrisches Wirbelfeld E, das im luminiumring mit Leitfähigkeit σ einen Strom mit der Stromdichte

2 V642 Magnetfeld B bbildung 2: Magnetfeld eines Stabmagneten j = σe (2) hervorruft. B B j df B E E = B Rechte-Hand-Regel bbildung 3: Biot-Savartkraft df auf ein Volumenelement dv des Leiters. Das Magnetfeld B zeigt nach oben und nimmt mit der Zeit zu. 2

3 V642 B B E Rechte-Hand-Regel E = B bbildung 4: Die Richtung der induzierten E-Feldes. Das Magnetfeld B zeigt nach oben und nimmt mit der Zeit zu. Das Magnetfeld des Stabmagneten hat eine Radialkomponente B senkrecht zur Stabachse. Die Biot-Savart-Kraft auf ein kleines Volumen dv des Rings df = (j B) dv = (j B ) dv (3) zeigt in Bewegungsrichtung (siehe bb. 3) Dieser Effekt hängt nicht von der Polarität des Magneten ab, da beim Umkehren der Polarität sowohl B als auch j ihr Vorzeichen ändern. 3 Theorie 3. Das Induktionsgesetz Ein zeitlich veränderliches Magnetfeld erzeugt nach Maxwell ein elektrisches Wirbelfeld (siehe bb. 4): E = B (4) Wir integrieren Gl. (4) über die von der Kurve C umrandeten Fläche und formen das Oberflächenintegral auf der linken Seite mithilfe des Stokesschen Satzes in ein Linienintegral über C um; beim Integral auf der rechten Seite nehmen wir an, dass sich die Geometrie zeitlich nicht ändert, so dass wir das Flächenintegral mit der Zeitableitung vertauschen können: ( ) B ( E) d = d (5) C E = B }{{ d} = Φ (6) dφ 3

4 V642 q E(r) E q Ḃ U () = E < U () = E < bbildung 5: Elektrische Spannung U () des Punktes bezüglich des Punktes für ein Potential- und für ein Wirbelfeld. Die zeitliche Änderung Ḃ der magnetischen Flussdichte B zeigt in die Zeichenebene hinein. In beiden Fällen gilt dieselbe Definition der Spannung, die bei beiden Beispielen negativ ist, so dass die positive Ladung q beschleunigt wird und das Feld rbeit leistet. Damit erhalten wir für die induzierte Spannung U ind : U ind = + Φ, (7) wobei Φ der magnetische Fluss durch die von C umschlossenen Kurve ist. In den meisten Lehrbüchern erscheint fälschlicherweise ein negatives Vorzeichen in dieser Gleichung. Um dies aber zu erreichen, wird die Spannung U () eines Punktes () bezüglich eines Punktes () für elektrische Wirbelfelder entgegengesetzt zur Spannung in Potentialfeldern definiert: = E Potentialfeld U () U () = + E Wirbelfeld Falsch! (8) 4

5 V642 Zum Beweis für unsere Behauptung berechnen wir die elektrische Spannung U () des Punktes bezüglich des Punktes für ein Potential- und für ein Wirbelfeld (siehe bb. 5). Wir verwenden dazu jeweils eine positive Probeladung q, auf die ja die Kraft F in Richtung des elektrischen Feldes gemäss F = qe (9) wirkt, was einer negativen Spannung entspricht. ls Beispiel für ein Potentialfeld wählen wir das Feld eines Plattenkondensators: U () = E < () Das Wirbelfeld werde durch die zeitliche Änderung Ḃ der magnetischen Flussdichte B erzeugt, welche im Bild in die Zeichenebene hineinzeigt. Damit ist das induzierte E-Feld entgegengesetzt zum Uhrzeigersinn gerichtet. Beim Verschieben der Probeladung auf dem Kreisbogen vom Punkt zum Punkt gewinnt die Ladung Energie, so dass für die Spannung gilt: U () = E < () Wir müssen nun noch zeigen, dass für das Ringintegral Gln. (6) und (7) gelten. Die in Richtung des E-Feldes berechnete Spannung ist U ind = E < (2) Der zu dieser Orientierung gehörende Flächenvektor zeigt aus der Papierebene heraus, so dass für die zeitliche Änderung des magnetischen Flusses folgt: Φ = Ḃ = Ḃ < (3) us den identischen Vorzeichen von U ind und Φ folgt schliesslich die Gültigkeit der Gl. (7). Wenn wir nun die Integrationsrichtung in Gl. () umkehren, erhalten wir die positive Spannung U () = E > (4) U () = U () >, (5) so dass auch das Ringintegral in Gl. (2) das Vorzeichen wechselt und bei dieser Integrationsrichtung positiv wird. Nun hängt aber der Flächenvektor als xialvektor vom Drehsinn seiner Umrandung ab, das heisst, wechselt ebenfalls das Vorzeichen, so dass auch der Fluss des Mag- 5

6 V642 df j B e v ds bbildung 6: Biot-Savart-Kraft auf ein stromdurchflossenes Leiterelement mit Volumen dv = ds im homogenen Magnetfeld B. netfeldes nun positiv ist. Damit gilt unabhängig von der Integrationsrichtung U ind = + Φ (6) 3.2 Biot-Savart-Kraft In einem homogenen Magnetfeld B befinde sich ein Draht mit Querschnitt, der vom Strom mit Stromdichte j durchflossen sei (siehe bb. 6). Da die Leitungselektronen nicht aus dem Draht austreten, ist deren Driftgeschwindigkeit v und damit auch j = ρv im stationären Zustand parallel zur Drahtachse und die Lorentzkraft senkrecht dazu, wobei ρ die Ladungsdichte sei. In jedem Drahtelement ds (die Richtung ist durch j vorgeben) überträgt sich die Lorentzkraft auf das Material. Damit ergibt sich für die Biot-Savart-Kraft df = ( ds) (j B) = (j B) dv (7) 6