Übung zu Erwartungswert und Standardabweichung

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1 Aufgabe Übung zu Erwartungswert und Standardabwechung In ener Lottere gewnnen 5 % der Lose 5, 0 % der Lose 0 und 5 % der Lose. En Los kostet 2,50. a)berechnen Se den Erwartungswert für den Gewnn! b)der Veranstalter betrebt sene Lottere ohne Gewnn und Verlust. We vel muss das Los kosten? Aufgabe 2 Be der Produkton enes Schnellkochtopfes treten prozentual erfahrungsgemäß klene Materalund Farbfehler auf. Materal- und Farbfehler nur Materalfehler nur Farbfehler ken Fehler % 2 % 6 % 90,5 % 0,5 % aller Schnellkochtöpfe hat enen Fehler, der de Betrebsscherhet beenträchtgt, se werden als Ausschuss entsorgt. Legen ene Materalfehler und en Farbfehler vor, so kann das Modell mt enem Presnachlass von 40 % dennoch verkauft werden. Legt nur en Materalfehler vor, beträgt der Presnachlass 30 %. Legt nur en Farbfehler vor, wrd en Presnachlass von 20 % gewährt. Der Verkaufspres beträgt 90. a) Ermtteln Se den durchschnttlch zu erwartenden Erlös je produzerten Kochtopf! b) Bestmmen Se den Verkaufspres des Kochtopfs, wenn der durchschnttlche Erlös je produzerten Kochtopf be 90 legen soll! Aufgabe 3 An enem Schulkosk sollen zukünftg zusätzlch ver klene warme Snacks angeboten werden. De Schülernnen und Schüler sollen dann zwschen Frkadellen, Pzzen aus Blätterteg und Curry- oder Bockwurst wählen können. Der Koskbetreber möchte wssen, we hoch de Ennahmen pro Jahr aus dem Snackverkauf ausfallen werden. Während ener enmonatgen Testphase hat er dese Mengen verkauft. Frkadelle Pzza aus Blätterteg Currywurst Bockwurst Pres/Stück n EUR/Stück,50,80 2,70 2,40 Menge n Stück Berechnen Se den Erwartungswert E(X) und nterpreteren Se Ihr Ergebns!

2 Aufgabe 4 Zur Abfüllung von Sahne n Gläsern kauft ene Molkere ene neue Abfüllmaschne, de auf ene Abfüllmenge von 250 g engestellt st. Des wrd überprüft, ndem der laufenden Produkton ren zufällg 600 Gläser entnommen werden. De Abfüllmengen werden enem der folgenden Intervallmttelwerte zugeordnet. Abfüllmenge x n g Anzahl der Gläser De angegebene Häufgketsvertelung beschrebe näherungswese de Wahrschenlchketsvertelung der Zufallsgröße X: Abfüllmenge enes Glases n g. 4. De relatven Häufgketen werden als Wahrschenlchketen, de Intervallmttelwerte als Werte der Zufallsgröße X angesehen. Geben Se ene tabellarsche Wahrschenlchketsvertelung der Zufallsgröße X an und zechnen Se en Stabdagramm! 4.2 Bestmmen Se den Erwartungswert E(X), de Varanz Var(X) und de Standardabwechung (X)! Aufgabe 5 Auf dem Schulhof enes Berufskollegs fndet trotz Verbotes hn und weder en nteressantes Glücksspel statt. Spelregeln: Der Ensatz pro Spel beträgt 2. Der Speler setzt zuerst ene der Zahlen, 2, 3,..., 6. Anschleßend wrft er dremal mt enem Würfel. Fällt de gesetzte Zahl ncht, st der Ensatz verloren. Fällt de gesetzte Zahl enmal, so erhält er senen Ensatz zurück. Fällt de gesetzte Zahl zwemal, so erhält er den doppelten Ensatz. Fällt de gesetzte Zahl dremal, so erhält er den drefachen Ensatz. a) Bestmmen Se mt Hlfe enes drestufgen Baumdagramms und der Pfadregel de Wahrschenlchket für enen Gewnn bzw. enen Verlust! b) Multplzeren Se de Werte der Zufallsvarablen (X = Höhe des Gewnns bzw. Verlustes für den Speler) mt hren zugehörgen Wahrschenlchketen und adderen Se de Ergebnsse! c) Interpreteren Se das Ergebns!

3 Lösung Aufgabe De Zufallsvarable X beschrebt den Gewnn für den Speler. Der Ensatz wrd vorher abgezogen. Gewnn x 2,5 7,5 -,5-2,5 P(X=x ) 0,05 0, 0,5 0,7 Erwartungswert für den Gewnn: E(X) = 2,5. 0,05 + 7,5. 0, -,5. 0,5-2,5. 0,7 = -0,6 Auf lange Scht erzelt der Speler enen Verlust von 0,60 pro Spel. De Lottere st far, falls der Ensatz,90 beträgt. Aufgabe 2 Ausschuss Materal- und Farbfehler Nur Materalfehler Nur Farbfehler Ken Fehler Erlös x P(X=x ) 0,005 0,0 0,02 0,0,905 Erwartungswert für den Erlös: E(X) = 0, , , , , = 87,57 Der zu erwartende durchschnttlche Erlös je produzerten Kochtopf beträgt 87,57. Bedngung für den Verkaufspres p: Aus E(X) = 90 folgt: 90 = 0, (0,0. 0,6 + 0,02. 0,7 + 0,06. 0,8 + 0,905) p p = 92,497 Der Verkaufspres muss 92,50 betragen. Aufgabe 3 Zunächst muss de Wahrschenlchketsvertelung der Zufallsgröße X: Verkaufspres enes Snacks bestmmt werden. Frkadelle Pzza aus Blätterteg Currywurst Bockwurst Verkaufspres x,50,80 2,70 2,40 n P(X=x ) 20:600 =0,2 200:600 = 0, 0,3 0, Anschleßend kann der Erwartungswert berechnet werden: E ( = X 5 0 ) 3 +, 8 0, 3 2, + 7, 0 3, 2 4+, 0, 6, 2 = Der Erwartungswert E(X) entsprcht den zu erwartenden durchschnttlchen Ennahmen aus enem Snackverkauf. In desem Fall betragen de durchschnttlchen Ennahmen, de aus dem Verkauf enes der ver Snacks entstehen 2, EUR. Man sagt: Der Erwartungswert der Stchprobe st 2,. Setzt man voraus, dass de Wahrschenlchketsvertelung der Testphase auch zukünftg glt, so lassen sch de vermutlchen jährlchen Ennahmen der enfach berechnen. Während der enmonatgen Testphase wurden nsgesamt 600 Snacks zu enem Durchschnttspres von 2, EUR verkauft. Daher betragen de zu erwartenden Ennahmen pro Jahr n EUR: ,. 2=5.92,00

4 Aufgabe 4 4. De relatven Häufgketen werden als Wahrschenlchketen, de Intervallmttelwerte als Werte der Zufallsgröße X angesehen. Daraus ergbt sch de folgende Wahrschenlchketsvertelung: x P(X = x) Stabdagramm:,33 % 8,00 % 26,33 % 29,83 % 23,33 % 0,50 % 0,67 % 4.2 E ( X = ) x P ( X x ) == = ( ) 20 0 De Abfüllmenge hat ene erwartungstreue Enstellung. V a r ( X = ) ( ( ) ( ) 42) 3 5 =, 4 0 s ( X ) V a r ( X ) == 5, 9 5 De Varanz kann alternatv auch we folgt berechnet werden: 2 2 V a r ( X = ) E (- X ) [ = E ( X ) ] ( ) , = s ( X ) V a r ( X ) == 5, 9 5

5 Aufgabe 5 Mt Hlfe des drestufgen Baumdagramms und der Pfadregel errechnet man de Wahrschenlchket für enen Gewnn bzw. enen Verlust. Es glt: G = Gewnn, V = Verlust. Zur Berechnung der Gewnnausschten multplzert man de Werte der Zufallsvarablen mt hren zugehörgen Wahrschenlchketen und addert de Ergebnsse: E(X) = - De errechnete Zahl von - sagt aus, dass langfrstg, also be velen Wederholungen des Spels en Verlust von Euro pro Spel für den Speler zu erwarten st. Desen Betrag kassert natürlch de Bank. Man bezechnet das Spel aus desem Grund auch als unfar, da langfrstg Gewnn und Verlust ncht ausgeglchen werden. Gewnn und Verlust wären be enem Erwartungswert von 0 ausgeglchen. Das wäre dann en fares Spel. Das könnte man z. B. durch ene Gewnnerhöhung errechen.