Übung Systemtheorie und Regelungstechnik I - WS08/09 Übungstermin 1 am Universität des Saarlandes

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1 Übung Systemtheorie und Regelungstechnik I - WS08/09 Übungstermin 1 am Universität des Saarlandes Aufgabe 1.1: Gegeben ist der schematische Aufbau eines Mischers: Auf den Antriebsstrang Antriebsstrang Rührer d M a a, a a Drehfeder c L Lager M L L, L Abbildung 1.1: Mechanisches System mit dem Trägheitsmoment θ a wirkt das Antriebsmoment M a. Das Lager besitzt eine drehwinkelgeschwindigkeitsproportionale Dämpfung d. Über eine lineare Drehfeder mit der Steifigkeit c ist der Antriebsstrang mit dem Rührer mit dem Trägheitsmoment θ L gekoppelt. Auf den Rührer wirkt auf Grund der Flüssigkeitsreibung ein Lastmoment M L, welches annähernd durch die Gleichung M L = kω 2 L beschrieben werden kann. a Wählen Sie sinnvolle Zustandsgrößen x und als Eingangsgröße u = M a und bestimmen Sie das zugehörige mathematische Modell in der Form ẋ = f(x,u. b Bestimmen Sie allgemein das stationär notwendige Antriebsmoment M a derart, dass sich die konstante Drehwinkelgeschwindigkeit ω L = ω a = ω 0 einstellt. 1

2 Aufgabe 1.2: Gegeben ist das elektrische System nach Abbildung 1.2. Die darin verwendete Induktivität ist eine Funktion des Stroms L = L (i L und die Kapazität ist von der Spannung u C abhängig, d.h. C = C (u C. Der Operationsverstärker kann bei der Modellierung als ideal angesehen werden. Weiterhin ist der Ausgang der Schaltung u C unbelastet, d.h. es fließt kein Strom aus den Klemmen. R 1 i L + - R 3 u 1 L( i L R 2 C( uc u C R 2 u s Abbildung 1.2: Elektrisches System a Berechnen Sie das mathematische Modell des elektrischen Netzwerkes nach Abbildung 1.2 in der Form ẋ = f (x, u 1, u s y = g (x, u 1, u s, mit dem Eingang u 1, der Störung u s und dem Ausgang y = u C. Wählen Sie dazu geeignete Zustandsgrößen und berücksichtigen Sie die Abhängigkeiten der Induktivität L (i L bzw. Kapazität C (u C in allgemeiner Form. b Im Folgenden gilt L (i L = L 0 + L 1 i 2 L C (u C = C 0 + C 1 ( 1 e u C u C0, mit den konstanten, positiven Parametern L 0, L 1, C 0, C 1 und u C0. Berechnen Sie alle Ruhelagen des Systems für u s = 0 und u 1 = const.. 2

3 Aufgabe 1.3: Gegeben ist das in der folgenden Abbildung dargestellte vereinfachte Ersatzschaltbild eines Kondensatormikrofons. R L i(t u 0 = u (t C c F (t el F(t C(z(t z m d Abbildung 1.3: Elektromechanisches System Die linke der zwei Platten ist fest eingespannt. Die rechte Platte der Masse m ist horizontal beweglich mit einer Feder und einem Dämpfer verbunden. Die Feder befindet sich für z = l im entspannten Zustand. Die Kapazität der Plattenanordnung errechnet sich zu Für die elektrostatische Kraft gilt C (z (t = Aε z (t. F el = A ε u C (t 2 2 z (t 2. Es bezeichnen A die Fläche der beiden Platten und ε die Dielektrizitätskonstante. Ermitteln Sie das mathematische Modell des Kondensatormikrofons in der Form ẋ = f (x, u y = h (x, u mit geeigneten Zustandsgrößen x, wenn u = F (t die Eingangsgröße und y = i (t die Ausgangsgröße des Systems darstellen. Hinweis: Es gilt d dt q (t = i (t, wobei die Ladung des Kondensators durch q (t = C (z (tu C (t gegeben ist. 3

4 Aufgabe 1.4: Beweisen Sie die globale (! Existenz und Eindeutigkeit der Lösung des Systems, das durch die Differentialgleichung ẋ = 3 sin (x gegeben ist. Hinweis: Es gilt das Additionstheorem sin (x ± sin (y = 2 sin ( ( x±y 2 cos x y 2. Aufgabe 1.5: Nimmt man für die Bauteile der elektrischen Netzwerkschaltung aus Aufgabe 1.2 lineares Verhalten (C 1 = 0, L 1 = 0 an, ergeben sich die folgenden Zustandsdifferentialgleichungen du C dt = 2u 1 u C u s 2R 1 i L C 0 R 3 di L dt = u 1 R 1 i L L 0 (1.1a (1.1b mit den Zuständen u C und i L sowie den Eingängen u 1 und u s. a Berechnen Sie die Transitionsmatrix des linearen Systems (1.1 für die Parameterwerte R 1 = 1, R 3 = 1, C 0 = 1, L 0 = 1. Hinweis: Es gilt ( 1 n t n (n 1! = te t n=1 b Berechnen Sie die allgemeine Lösung der Zustände u C und i L für die Eingangsverläufe u 1 = σ (t und u s = 0 und die Anfangszustände u C = i L = 0 und skizzieren Sie deren Verlauf. Die Sprungfunktion σ (t ist definiert als σ (t = 0 für t < 0 σ (t = 1 für t 0 Hinweis: Es gilt te t dt = ( 1 + t e t 4

5 Aufgabe 1.6: Für das Kondensatormikrofon aus Aufgabe 1.3 ergaben sich mit dem Zustand x T = [x 1, x 2, x 3, x 4 ] = [z, ż, i, u C ] und der Eingangsgröße u = F (t die folgenden Zustandsdifferentialgleichungen ẋ= f(x, u = 1 m x 2 [ ] c (x 1 l + d x 2 + A ε x u 2 x [u L 0 R x 3 x 4 ] [ ] x 1 x Aε 3 + Aǫ x x 2 2 x 4 1 und die Ausgangsgleichung y = h(x =x 3. a Die rechte Platte des Kondensatormikrofons soll nun für die konstante Eingangsgröße F = F 0 stationär in der Position z = z 0 gehalten werden. Berechnen Sie die dafür notwendige Spannung u o. Welche Anforderungen müssen an l und F 0 gestellt werden, damit die Platte in der Position z 0 gehalten werden kann? b Berechnen Sie die Linearisierung des Systems in der Form um die Ruhelage aus Aufgabenteil a. ẋ = A x + b u y = c T x Aufgabe 1.7: Gegeben ist das Differentialgleichungssystem ω 1 (t = αω 2 (t ω 3 (t + u 1 (t ω 2 (t = αω 1 (tω 3 (t + u 2 (t ω 3 (t = u 3 (t mit dem konstanten Parameter α > 0. Bestimmen Sie für die Eingangsgrößen ũ 1 (t = ũ 2 (t = ũ 3 (t = 0 und die Anfangsbedingungen ω 1 (0 = ω 1,0 = 0, ω 2 (0 = ω 2,0 > 0 und ω 3 (0 = ω 3,0 > 0 die Trajektorie x(t T = [ ω 1 (t, ω 2 (t, ω 3 (t] und linearisieren Sie das System um diese Trajektorie. Aufgabe 1.8: Berechnen Sie für die Dynamikmatrix A = die Transformationsmatrix V auf Diagonalform. 5