Kristallstruktur und Mikrostruktur Teil I Vorlesung 4

Transkript

1 Kristallstruktur und Mikrostruktur Teil I Vorlesung 4

2 Wiederholung - Gleitspiegelebene A B 2

3 Symmetrieoperationen - Zusammenfassung Fixed Point No fixed Point Drehachsen Translationen keine Translationen Drehinversionsachsen Schraubenachsen Gleitspeigelebenen 3

4 Symmetriegruppen - Zusammenfassung Punktsymmetriegruppen P Symmetrie von Molekülen; Makroskopische Kristallformen Translationssymmetriegruppe T Translationssymmetrie des Gitters Raumgruppen R - Symmetrie von Kristallstrukturen (Gitter + Basis) Die Raumgruppen erhalten alle Symmetrieelemente die die Kristallstrukturen invariant lassen. 4

5 Teil I: Zotov 1 Koordinatensysteme, Das Raumgitter, Das reziproke Gitter, Der Metrik-Tensor 2 Abstrakte Gruppen, Symmetrieoperationen, Punktsymmetrie und Punktsymmetriegruppen 3 Translationssymmetrie, Transformationen des Gitters, Kombinationen von Translationen und Punksymmetrieoperationen 4 1-, 2- und 3D Raumgruppen 5 Beispiele von Raumgruppen und einfache Kristallstrukturen 6 Makroskopische physikalische Eigenschaften der Kristallen 5

6 Vorlesung 4 Raumgruppen Definition Raumgruppen - Symbole Gruppengeneratoren 1D Gruppen 2D Gruppen 3D Gruppen Klassifikationen der Raumgruppen 6

7 Raumgruppen R = {T, P}; T = {t 1, t 2, }; T R (T ist Untergruppe von R)! P = {P 1, P 2, P n }; P ist nicht unbedingt eine Untergruppe von R 7

8 Raumgruppen 1-Dimensional ( Fries ) Lehre von 3D Raumgruppen 2-Dimensional ( Wall-paper ) Surface Science Lehre von 3D Raumgruppen 3-Dimensional Kristallographie Kristallchemie Kristallphysik Materialwissenschaft 8

9 Raumgruppensymbole B s1 ( s2 s3) Gitterzentrierung: P primitives I innenzentriertes F flächenzentriertes R trigonales C(A,B)basisflächenzentriertes Symmetrieelement parallel oder senkrecht zur Blickrichtung 1 Symmetrieelement parallel oder senkrecht zur Blickrichtung 2 Symmetrieelement parallel oder senkrecht zur Blickrichtung 3 9

10 Blickrichtungen triklin monoklin [010] orthorhombisch [100], [010], [001] tetragonal [001], [100], [110] trigonal [001], [110], [210] hexagonal [001], [110], [210] kubisch [100], [111], [110] 10

11 Gruppengeneratoren Schar S = {S 1, S 2, S m } der Gruppe G G i = a xs a für jedes Element G i der Gruppe G (1) Beispiel I Alle ganze Zahlen; Verknupfungsregel = Addition S 1 = 1; S 2 = -1 M > 0 M = MxS 1 ; 5 = ( ) N< 0 N = NxS 2 ; -3 = [(-1) + (-1) + (-1)] 0 = S 1 xs 2 ; 1 + (-1) = 0 11

12 Gruppengeneratoren Punktgruppe 3 Gruppentafel Der Generator (Das Erzeugerelement) ist die Rotation auf 120 Grad (S = 3 1 ) 1 = (3) = 3.3 Allgemein, alle zyklische Gruppen haben nur 1 Generator f (G k = f k ; S = f) 12

13 Eindimensionale (1D) Raumgruppen Periodizität nur in einer Richtung Basis 2t 3t Basis: Punksymmetrie 1 Primitives Gitter; Raumgruppe p1 t Cl Basis Cl Cl Cl H H H H t 13

14 Eindimensionale (1D) Raumgruppen Basis Translation t 0 Gleitspiegelebene g v = t/2 1 2 Basis: Punktsymmetrie 1 Primitives Gitter; Raumgruppe pg Die Generatoren: t und g 14

15 Eindimensionale (1D) Raumgruppen pm 2t Basis t 1 2 O O O 3 O H H H H H H H 1 2 H 1/2t m m = m x t m m m m m m Basis: Punksymmetrie m Primitives Gitter; Generatoren: t + m Raumgruppe pm(.) Die Raumgruppensymbole zeigen nicht alle Symmetrieelemente! 15

16 t 7 eindimensionale Raumgruppen x 0 ½ 1 2 p1 pg 2 m p2 (+ 2 Drehachse at x = ½; 2 = 2 x t) pm. (+ m at x = ½, 3/2 ; m = t x m) m p.m 2 pmg [+ 2 Drehachse at x = ¼ und ¾ (2 = m x g) + m at x = ½; m = t x m] m 2 pmm (+ 2 Drehachse + i + m ) 16

17 Zweidimensionale ( Wall-paper ) Raumgruppen Schiefwinkliges Gitter 0 b Generatoren: a, b, 2(0,0) a 0 b Generatoren: a, b a 2(1/2,0) = a x 2(0,0) 2(0,1/2) = b x 2(0,0) 2(1/2,1/2) = a x b x 2(0,0) 17

18 Zweidimensionale Raumgruppen Rechteckiges Gitter Zentrierungen: t 0 = 0; t 1 = (a+b)/2 t 1 b g g m Generatoren: a, b, t 1, m(0,y) a g = m x t 1 m = m x a g = g x m = (m x t 1 ) x (m x a) 18

19 Zweidimensionale Raumgruppen Rechteckiges Gitter Generatoren: a, b, g(0,y) S. Dutch, Univ. Wisconsin,

20 Zweidimensionale Raumgruppen Quadratisches Gitter m Generatoren a 4(0,0) m(x,0) a m m = 4 x m; m = 4 3 x m 2(0,0) = 4(0,0) 2 2 (0,1/2) = 2 x b = 4 x 4 x a a m 20

21 Zweidimensionale Raumgruppen Quadratisches Gitter 21

22 Wall-paper Muster 22

23 Zweidimensionale Raumgruppen Trigonales Gitter Generatoren a 3(0,0) m(x,0) a b m [0 1 0] m = 3 x m m = 3 2 x m [1 1 0] m g b g a 3 (2/3,1/3) m [2 1 0]; g [1-1 0] 23

24 Wall-paper Muster 24

25 Zweidimensionale Raumgruppen Hexagonales Gitter Generatoren a 6(0,0) 3 (2/3,1/3) = (6 2 x b) x (6 4 x a) a b 25

26 Asymmetrische Einheit (Elementarzelle) kleinste Kristalleinheit ohne Symmetrie 26

27 17 Zweidimensionale Raumgruppen Zusammenfassung m [2 1 0] m [1 1 0] 27

28 17 Zweidimensionalen Raumgruppen Schiefwinkliges Rechteckiges Quadratisches P1 P2 Pm Pg P2m Pmm2 Pgg2 P4 P4mm P4gm Zentriert-Quadratisches Cm Cmm2 Rhombisches P3, P31m, P3m1, P6, P6mm 28

29 Dreidimensionalle (3D) Raumgruppen Kristallstrukturen makroskopisch 6 Kristallfamilien mikroskopisch 7 Kristallsysteme 14 Bravais-Gitter 32 Kristallklassen Punktlagensymmetrien 230 Raumgruppen 29

30 Triklin P1 P 1 Monoklin P2, P2 1, C2, Pm, Pc, Cm, Cc P2/m, P2 1 /m, C2/m, P2/c, P2 1 /c, C2/c Orthorhombisch P222, P222 1, P , P , C222 1, C222, F222, I222, I ,2 1, Pmm2, Pmc2 1, Pcc2, Pma2, Pca2 1, Pnc2, Pmn2 1, Pba2, Pna2 1, Pnn2, Cmm2, Cmc2 1, Ccc2, Amm2, Abm2, Ama2, Aba2, Fmm2, Fdd2, Imm2, Iba2, Ima2 Pmmm, Pnnn, Pccm, Pban, Pmma, Pnna, Pmna, Pcca, Pbam, Pccn, Pbcm, Pnnm, Pmmn, Pbcn, Pbca, Pnma, Cmcm, Cmca, Cmmm, Cccm, Cmma, Ccca, Fmmm, Fddd, Immm, Ibam, Ibca, Imma tetragonal P4, P4 1, P4 2, P4 3, I4, I4 1 P 4, I 4 P4/m, P4 2 /m, P4/n, P4 2 /n, I4/m, I4 1 /a P422, P42 1 2, P4 1 22, P , P4 2 22, P , P4 3 22, P , I422, I P4mm, P4bm, P4 2 cm, P4 2 nm, P4cc, P4nc, P4 2 mc, P4 2 bc, I4mm, I4cm, I4 1 md, I4 1 cd P 4 2m, P 4 2c, P m, P c, P 4 m2, P 4 c2, P 4 b2, P 4 n2, I 4 m2, I 4 c2, I 4 2m, I 4 2d P4/mmm, P4/mcc, P4/nbm, P4/nnc, P4/mbm, P4/mnc, P4/nmm, P4/ncc, P4 2 /mmc, P4 2 /mcm, P4 2 /nbc, P4 2 /nnm, P4 2 /mbc, P4 2 /mnm, P4 2 /nmc, P4 2 /ncm, I4/mmm, I4/mcm, I4 1 /amd, I4 1 /acd trigonal P3, P3 1, P3 2, R3 P 3, R 3 P312, P321, P3 1 12, P3 1 21, P3 2 12, P3 2 21, R32 P3m P 3 1m, P 3 1c, P 3 m1, P 3 c1, R 3 m, R 3 c hexagonal P6, P6 1, P6 5, P6 2, P6 4, P6 3 P 6 Die 230 Raumgruppen P6/m, P6 3 /m P622, P6 1 22, P6 5 22, P6 2 22, P6 4 22, P P6mm, P6cc, P6 3 cm, P6 3 mc P 6 m2, P 6 c2, P 6 2m, P 6 2c P6/mmm, P6/mcc, P6 3 /mcm, P6 3 /mmc kubisch P23, F23, I23, P2 1 3, I2 1 3 Pm 3, Pn 3, Fm 3, Fd 3, Im 3, Pa 3, Ia 3 P432, P4 2 32, F432, F4 1 32, I432, P4 3 32, P4 1 32, I P 4 3m, F 4 3m, I 4 3m, P 4 3n, F 4 3c, I 4 3d Pm 3 m, Pn 3 n, Pm 3 n, Pn 3 m, Fm 3 m, Fm 3 c, Fd 3 m, Fd 3 c, Im 3 m, Ia 3 d 30

31 International Tables of Crystallography Vol A Raumgruppen Tabellen Primitives Gitter Symbol P 4 Nummer 75 Ursprung an 4 Symmetrieoperationen Generatoren (1) 1; (2) 2 (00z); (3) 4 + (00z); (4) 4 - (00z) t(1,0,0) t(0,1,0) t(0,0,1) 2(00z) 4 + (00z) Blickrichtungen [001] [100] [110] 31

32 International Tables of Crystallography Vol A Raumgruppen Tabellen Raumgruppendiagramm Punktsymmetrie Symmetrie operationen Blickrichtungen [001] [100] [110] 32

33 Transformationen der Atomkoordinaten 4-zählige Drehachse parallel zu Z; 4 + f = 90 o, Gl (5a) x y z = -y x z (Atom 3) T 1 = (Vorlesung 2) 4-zählige Drehachse parallel zu Z; 4 - f = -90 o, Gl (5a) x y z = y -x z (Atom 4) T =

34 Transformationen der Atomkoordinaten Zwei Rotationen auf 90 o ; 4-zählige Drehachse parallel zu Z T = (T 1 ) T = x y z = -x -y z (Atom 2) 34

35 Punktsymmetrie-Bestimmung I P Ersetzt man in einer Raumgruppe die translationsbehafteten Symmetrieoperationen durch normale Drehachsen und Spiegelebenen, erhält man die Kristallklasse (Punktgruppe) Pccn = P 2 1 /c 2 1 /c 2/n 2/m 2/m 2/m m m m 35

36 Monoklines Gitter PG Symmetrie- Operationen, Handlichkeit!!! Spiegelebene in der Projektionsebene Blickrichtung [010] 36

37 Monoklines Gitter Richtung b Symmetrie- Operationen c n c n a b Blickrichtung [010] 37

38 Orthorhombisches Gitter Symmetrie- Operationen, Handlichkeit!!! Blickrichtungen [100] [010] [001] 38

39 Orthorhombisches Gitter Symmetrie- Operationen Blickrichtungen [100] [010] [001] 39

40 Orthorhombisches Gitter Symmetrieoperationen Blickrichtungen [100] [010] [001] 40

41 Tetragonales Gitter Symmetrie- Operationen Blickrichtungen [001] [100] [110] 41

42 Tetragonales Gitter Symmetrie- Operationen n Blickrichtungen [001] [100] [110] 42

43 Trigonales Gitter Symmetrie- Operationen Blickrichtungen [001], [110], [210] 43

44 Hexagonales Gitter Symmetrie operationen Blickrichtungen [001], [110], [210] 44

45 Hexagonales Gitter Symmetrie- Operationen 45

46 Klassifikation der Raumgruppen # Nach Existenz von Inversionszentrum # Nach Kristallklassen # Nach arithmetischen Kristallklassen # Nach Gruppe Untergruppe Relationen 46

47 Klassifikation nach Inversion Zentrosymmetrische Raumgruppen (91) (Raumgruppen mit Inversionszentrum) Nicht-zentrosymmetrische Raumgruppen (139) 47

48 Klassifikation nach Kristallklassen 48

49 Klassifikation nach Kristallklassen 49

50 Klassifikation nach Kristallklassen 50

51 Klassifikation nach Kristallklassen 51

52 Klassifikation nach arithmetischen Kristallklassen Arithmetische Kristallklassen = Klassen von Raumgruppen mit den gleichen Punktgruppen und gleichen Zentrierungen Beispiele: AK mp mc Raumpruppen Pm, Pc, Pn Cc 2P P2, P2 1 52

53 Klassifikation nach Gruppe-Untergruppe Relationen Symmorphe Raumgruppen Definition 1: Die Schar P ist eine Untergruppe von R ( P R) Definition 2: Raumgruppen wo alle Symmetrieoperationen (außer die Translationen) lassen einen Punkt fest. 73 Symmorphe Raumgruppen 157 Nicht-symmorphe Raumgruppen Erkennung: Die Schriftsymbole sind ohne Schraubenachsen und ohne Gleitspeigelebenen 53

54 P6 symmorphe Gruppe P6 5 nicht-symmorphe Gruppe AK: 6P (P6, P6 1, P6 2, P6 3, P6 4, P6 5 ) 54

55 Beispiele Symmorphe Nicht-Symmorphe P6 P6 1 P -4m2 P-42 1 m P222 P Pmm2 Pm c 2 1 P 2/m C 2/c 55

56 Atom Lagen Allgemeine Lagen: Punktsymmetrie: 1 Die Vielzahl (Multiplicity) M = N Z * Ordnung der Punktgruppe; (N Z die Zahl von Zentrierungen) Spezielle Lagen: auf Symmetrieelementen (Punktsymmetrie der Lage ist großer als 1) die Vielzahl M ist erniedrigt 56

57 Raumgruppe C N Z = 2 P = 222 Ordnung = 4 All. Lage M = 2*4 = 8 Spezielle Lage 4b Punksymmetrie.2. 2-zählige Drehachse [010] 4/2 = 2 symmetrieäq. Atome 57

58 F 4/m 3 2/m N Z = 4 P = m 3 m Ordnung 48 allgemeine Position M = 4 * 48 = 192 Symmetrieäq. Atome Spezielle Lage 32f 32/4 = 8 58

59 Kristallstruktur - Beschreibung 1/ Raumgruppe 2/ Gitterparameter 3/ Atomkoordinaten in der asymmetrischen Elementarzelle 59