Gymnasium Hilpoltstein Grundwissen 8. Jahrgangsstufe

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1 Gmnasium Hilpoltstein Grundwissen 8. Jahrgangsstufe Wissen / Können Aufgaben und Beispiele. Proportionalität Proportionale Zuordnungen und sind proportional zueinander, wenn zum n-fachen Wert von der n-fache Wert von gehört die Wertepaare quotientengleich sind, d.h. es gilt = ; q = q, wobei q der Proportionalitätsfaktor ist das Diagramm eine Ursprungsgerade ist Gurken kosten, 5 Gurken kosten 7,50. 7,50 = ; q=,5 5,5 Preis in Anzahl Indirekt proportionale Zuordnungen und sind umgekehrt proportional, wenn zum n-fachen Wert von der n -fache Wert von gehört die Wertepaare produktgleich sind, d.h. es gilt: = ; p = p das Diagramm eine Hperbel ist Vorrat für Personen: 5 Tage Vorrat für Personen: 5 Tage Vorrat für 0 Personen: 9 Tage 5 = 0 9 = = 5 = 90 = p Personen Tage Funktionen Eine Funktion f ist eine eindeutige Zuordnung: Sie ordnet jedem zulässigen -Wert genau einen -Wert zu. Schreibweisen: f: oder f() =. Der von abhängige Wert f() bzw. heißt Funktionswert. Wegen der Eindeutigkeit liegen beim Graphen G f der Funktion Punkte nie übereinander. Die Definitionsmenge ist die Menge aller zulässigen Werte von. Funktion keine Funktion Die Wertemenge ist die Menge aller Funktionswerte. Eine Funktion kann beschrieben werden durch: einen Graphen / ein Schaubild einen Funktionsterm - - f = 0,5+ eine Wertetabelle - 0 = f(),5

2 Ermittlung der Schnittpunkte des Funktionsgraphen von f mit der -Achse (Nullstelle): N = 0 mit der -Achse: T = 0 mit dem Graphen einer weiteren Funktion g: S und S f() = g(). Lineare Funktionen Die Gleichung der linearen Funktion hat die allgemeine Form = m + t m: Steigung; t: -Achsenabschnitt Der Graph einer linearen Funktion ist eine Gerade. Die Steigung kann über ein Steigungsdreieck ermittelt werden: m = m > 0: steigende Gerade m < 0: fallende Gerade m = 0: Parallele zur -Achse. Der Kreis (Umfang und Fläche) Ein Kreis mit dem Radius r hat den Umfang U = π r und den Flächeninhalt A = π r. f() = + Steigungsdreieck -Achsenabschnitt m ; t = 0 Eine -Münze hat den Radius r =, cm. U = π r = π. cm 8,7 cm A =π r =π (,cm) 5,cm Dabei ist π =,... die Kreiszahl. 5. Gleichungen und Gleichungsssteme Lineare Gleichungen mit zwei Variablen Gleichungen der Form = heißen lineare Gleichung mit zwei Variablen. Darstellung der Gleichung: Implizite Form: a + b + c = 0 (a und b nicht gleichzeitig 0) Eplizite Form: = m + t Es gilt: () Jede Lösung besteht aus Zahlenpaaren ( ). () Die Lösungsmenge enthält unendlich viele Lösungen. () Die graphische Darstellung der Lösungsmenge ist eine Gerade { } L= = Menge aller Punkte( ), für die gilt: =

3 Lineare Gleichungsssteme mit zwei Variablen Ein lineares Gleichungssstem (LGS) von zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten und lässt sich stets auf die Form I. a + b = e II. c + d = f bringen. Lösungsmethoden: () Einsetzungsverfahren () Additionsverfahren () Zeichnerische Lösung Zeichnet man die zu den beiden Gleichungen gehörenden Geraden, so veranschaulichen die gemeinsamen Punkte die Lösung des LGS. Anzahl der Lösungen/geometrische Interpretation: Eine lineares Gleichungssstem kann - genau eine Lösung (zwei Geraden schneiden sich in einem Punkt) - keine Lösung (zwei Geraden sind parallel) - unendlich viele Lösungen (zwei Geraden sind identisch) besitzen. I. + = 7 II. = () Einsetzungsverfahren II`. = in I: I`. + ( ) = 7 + = 7 = = in II`: = L = { ( ) } () Additionsverfahren I II : + = 8 = = in II: = = = L = { ( ) } () Zeichnung Laplace-Wahrscheinlichkeiten Bei einem Zufallseperiment wird jedem Ereignis A eine Wahrscheinlichkeit P(A) zwischen 0 und zugeordnet. Jahrgangsstufe 8 Zufallseperimente, bei denen alle Ergebnisse gleich wahrscheinlich sind, heißen Laplace- Eperimente. Hat ein Laplace-Eperiment n Ergebnisse, so beträgt die Wahrscheinlichkeit für jedes Ergebnis n. Für Laplace-Eperimente gilt: P(A) = Anzahl der für das Ereignis A günstigen Ergebnisse Anzahl aller möglichen Ergebnisse Zählprinzip: Zieht man aus k verschiedenen Mengen mit m, m, m... m k Elementen jeweils ein Element, so gibt es insgesamt m m m mk Möglichkeiten. Gisela-Gmnasium München-Schwabing Seite 5/7 Grundwissen Mathematik Jahrgangsstufe 8 Das Werfen eines Würfels, der nicht gezinkt ist, hat sechs gleich wahrscheinliche Ergebnisse: P ({} ) = Würfeln: W = {; ; ; ; 5; } A = Augenzahl gerade = {; ; } P ( A) 0,5 Von A nach B führen 8 Wege, von B nach C führen 5 Wege und von C nach D verlaufen Wege. Es gibt also 8 5 = 0 Möglichkeiten, um von A über B und C nach D zu kommen.

4 7. Gebrochen rationale Funktionen Funktionen wie f() =, g() =, + h() =, deren Funktionsterm ein Bruchterm ist, nennt man gebrochen rationale Funktionen. Alle Zahlen, für die der Nenner null wird, können nicht zur Definitionsmenge der Funktion gehören. Eine Gerade, die sich dem Graphen einer Funktion f beliebig genau annähert, nennt man eine Asmptote des Funktionsgraphen G f. Man unterscheidet senkrechte und waagrechte Asmptoten. + 0,5 f() = +,5 ; D = \{,5} senkrechte Asmptote: =,5 waagrechte Asmptote: = 0,5 f Rechnen mit Bruchtermen Kürzen: Merke: Kürze nie aus Differenzen und Summen! Beim Kürzen werden Zähler und Nenner eines Bruchterms jeweils durch denselben Term dividiert. Erweitern: Beim Erweitern werden Zähler und Nenner eines Bruchterms jeweils mit demselben Term multipliziert. ( ) ( ) ( ) ( ) ( + ) + = = + + Addieren bzw. Subtrahieren: Ungleichnamige Brüche werden durch Erweitern auf den Hauptnenner (HN) gleichnamig gemacht. a b ab a + b a b a b = Gemeinsamer Nenner: a + b = (a + b) a b = (a b) a b = (a + b)(a b) HN: (a + b)(a b) a (a b) + b (a + b) ab a 7ab + b (a + b)(a b) (a + b)(a b) Multiplizieren bzw. Dividieren: = = a a a b : b b b b b a a b ( + ) b( )a

5 Negative Eponenten n Die Definition der Potenzen wird durch = n m n m n sinnvoll erweitert. Es gilt = + und m n m n : = für beliebige ganze Zahlen m und n. Bruchgleichungen Eine Gleichung, bei der eine Variable mindestens einmal im Nenner auftritt, heißt Bruchgleichung. Die Definitionsmenge D ist die Grundmenge ohne die Menge aller Nullstellen aller Nenner. Durch die Multiplikation mit dem Hauptnenner macht man die Bruchgleichung nennerfrei. 8. Ähnlichkeit Strahlensätze Werden zwei Geraden, die sich in einem Punkt Z schneiden, von zwei Parallelen außerhalb von Z geschnitten, so verhalten sich () je zwei Abschnitte auf der einen Geraden wie die entsprechenden Abschnitte auf der anderen Geraden, () die Abschnitte auf den Parallelen wie die von Z aus gemessenen entsprechenden Abschnitte auf der einen Geraden (bzw. auf der anderen Geraden) + 7 = + D = \{ 0;} + = = = HN : ( ) ( + ) ( ) = 7( ) + ( ) ( + ) ( ) = 7( ) + ( ) + + = = 9 = 9 = D L= { } ZA ZB ZA ZA ZA ZB AB A B Figuren F und G nennt man zueinander ähnlich (in Zeichen: F ~ G), wenn gilt: entsprechende Seiten haben das gleiche Längenverhältnis, entsprechende Winkel sind gleich groß. Sind die Seitenlängen von G genau k-mal so lang wie die von F, so ist der Flächeninhalt von G genau k²-mal so groß wie der von F. a b c = α=α β=β F G a b c Dreiecke sind bereits dann ähnlich, wenn sie in zwei (und damit in allen) Winkeln übereinstimmen (WW-Satz), oder wenn sie im Verhältnis ihrer Seiten übereinstimmen (S:S:S-Satz). α =α, β =β, γ=γ a b c a b c