Lösung zur Übung 3. Aufgabe 9)

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1 Lösung zur Übung 3 Aufgabe 9) Lissajous-Figuren sind Graphen in einem kartesischen Koordinatensystem, bei denen auf der Abszisse und auf der Ordinate jeweils Funktionswerte von z.b. Sinusfunktionen aufgetragen werden. Die Abszissen- und Ordinatenfunktionen sin(k + ϕ) unterscheiden sich dabei z.b. durch den k-wert, der die Periode angibt und die Phase ϕ. Zeichnen Sie die Lissajous-Figur für ein k-verhältnis von 4:1. Zeichnung der Lissaous-Figur Wir könnten an dieser Stelle uns auf das Zeichnen der Lissajous-Figur beschränken, aber wir wollen Euch doch zumindest in kurzen Zügen das Vorgehen zum Erstellen dieser Figuren erläutern. Doch zuvor etwas Allgemeinbildung: Lissajous-Figuren werden in der Schwingungsanalyse eingesetzt, z.b. bei der Analyse von elektrischen Schaltkreisen. Die Form der Figuren erlaubt genaue Rückschlüsse auf Frequenz und Phasenlage der beiden Spannungen. Bei gleichen Frequenzen (bspw: v = 1:1) kann man an der elliptischen Figur die Phasendifferenz ablesen. Bei zwei fast gleichen Frequenzen (oder einem Frequenzverhältnis, das sehr nahe an einem der einfachen rationalen Verhältnisse liegt) zeigt der Schirm des Oszilloskops eine zwar geschlossene, aber sich zeitlich verändernde Figur. So kann man mit hoher Empfindlichkeit kleine Frequenzunterschiede messen. Deshalb waren Lissajous-Figuren beispielsweise in der Werkstatt von Fernseh- und Röhrentechnikern ein alltägliches Bild. Andererseits wirken sie in ihrer Vielfalt besonders (aber nicht nur) auf den technischen Laien äußerst faszinierend, gerade in der leicht animierten Form. Deshalb wurden in Filmkunst und Fernsehen auch häufig Monitore im Bühnenbild mit Lissajous-Figuren dekoriert, wenn eine Umgebung sehr modern oder futuristisch wirken sollte, etwa in Science-Fiction-Filmen und -Serien 1. Wie aus dem vorhergehenden Tet zu entnehmen war, werden sie gewöhnlich mithilfe eines Oszilloskops erstellt. Hierbei werden statt einer zeitabhängigen Darstellung Eingangskanäle gegeneinander aufgetragen. Wenn wir solche Figuren also zeichnen möchten, müssen wir zuerst eine paar Werte unserer Funktionen bestimmen. Wir erstellen also eine Wertetabelle. 1 Wer noch mehr für seine Allgemeinbildung tun will: Wiki: Lissajous-Figur 1

2 Tabelle 1: Wertetabelle zu den Funktionen sin() und sin(4) [ ] sin() sin(4) 7,5 0,13 0, ,6 0,87,5 0, ,50 0,87 37,5 0,61 0, ,71 0 5,5 0,79-0, ,87-0,87 67,5 0, ,97-0,87 8,5 0,99-0, ,5 0,99 0, ,97 0,87 11,5 0, ,87 0,87 17,5 0,79 0, , ,5 0,61-0, ,50-0,87 157,5 0, ,6-0,87 17,5 0,13-0, [ ] sin() sin(4) 187,5-0,13 0, ,6 0,87 0,5-0, ,50 0,87 17,5-0,61 0,50 5-0,71 0 3,5-0,79-0, ,87-0,87 47,5-0, ,97-0,87 6,5-0,99-0, ,5-0,99 0, ,97 0,87 9,5-0, ,87 0,87 307,5-0,79 0, ,71 0 3,5-0,61-0, ,50-0,87 337,5-0, ,6-0,87 35,5-0,13-0, Nachdem wir nun einige Werte der Fuktionen kennen, können wir sie gegeneinander auftragen. Laut Aufgabe soll sin(4) auf der Abszisse (-Achse) und sin() auf der Ordinate (y-achse) aufgetragen werden. Hierdurch entsteht ein Bild wie in Abb. 1.

3 Aufgabe 10) Abbildung 1: Lissajous-Figur für ein k-verhältnis von 4 : 1. Zeichnen Sie den Graphen der Kotangens-Funktion. Der Graph des Kotangens In der Vorlesung wurde der Tangens hergeleitet und gezeichnet, drum wird als Übung der complementi tangens gezeichnet. Der Kotangens ist der reziproke Tangens. Stellen wir daher den Tangens mithilfe von Sinus und Kosinus dar, lautet der Ausdruck für den Kotangens: cot() = cos() sin() Aus dieser Beziehung können wir ableiten, dass der Kotangens an den Nullstellen des Sinus nicht definiert ist. Hieraus folgt für den Definitionsbereich: D = R \ {nπ, n Z} Die Definitionslücken des Tangens sind dagegen durch die Nullstellen des Kosinus definiert, sodass der Kotangens um π/ verschoben ist. Weiterhin sind beide Funktionen punktsymmetrisch zum Ursprung. Zu guter Letzt weist der Kotangens im Gegensatz zum streng monoton steigenden Tangens einen streng monoton fallenden Verlauf auf. Diese Definition gilt nur zwischen Definitionslücken. Dann zeichnen wir doch mal den Kotangens. Im vorhergehenden und folgenden nennen wir ihn einfach Kotangens. 3

4 Abbildung : Großes Bild: Kotangens-Funktion im Intervall [0,π]. Kleines Bild: Kotangens- Funktion im Intervall [ π,π]. Gestrichelte Linien markieren den Nulldurchgang. Aufgabe 11) Aus der Konstruktion von trigonometrischen Funktionen am Einheitskreis ergibt sich für Argumente mit 0 < π die Ungleichung sin() < tan(). a) Zeigen Sie dies graphisch. Lösung durch Zeichnung Doch bevor wir zeichnen ein paar Worte. Diese Aufgabe kann auf zwei Arten graphisch dargestellt werden. Innerhalb der Musterlösung werden beide Arten vorgestellt. Einheitskreis: Eine Möglichkeit ist die Darstellung innerhalb des Einheitskreises 3. Hierbei beschränkt man sich auf das erste Viertel des Einheitskreises. Diese Einschränkung entstammt dem vorgegeben Wertebereich. Die Darstellung erfolgt in Abb. 3 Der Sinus entspricht der Gegenkathete welche innerhalb des Kreises eingezeichnet wird. Der Tangens, bleibt seinem Namensgeber 4, der Tangente, treu und befindet sich außerhalb der Kreises. Der -Wert entspricht der markierten Bogenlänge. Aus der Anordnung wird ersichtlich, dass die genannte Ungleichung korrekt ist. 3 Ein jeder andere Kreis ist natürlich auch möglich. 4 Wir danken T.Fink für diese anschauliche und einfallsreiche Namensgebung [Wikipedia:Tangens und Kotangens] 4

5 Abbildung 3: Gezeigt ist der Einheitskreis;, Sinus und Tangens. Kartesiches Koordinatensystem: Zur Darstellung von Funktionen hat sich das kartesische Koordinaten System bewährt 5.Im Gegensatz zum Einheitskreis können wir hier direkt die Funktionswerte miteinander vergleichen. Dafür haben wir in Abb. 4 denselben Farbcode wie zuvor verwendet. Man erkennt bei der Vergrößerung des Bereiches noch sehr gut, dass der Tangens oberhalb der Geradengleichung y() = verläuft und der sin() unterhalb. b) Zeigen Sie unter Verwendung obiger Ungleichung, dass, wenn 0, sin() 1. Lösung aufbauend auf den vorherigen Zeichnungen Anhand Abb. 4 wird einem deutlich, dass bei sehr kleinen -Werten der Unterschied zwischen den einzelnen Funktionen immer kleiner wird. Wenden wir dieses Wissen auf Abb. 3 an, so erfahren wir, dass der Bogen bei infinitesimaler Verkleinerung annähernd durch eine Gerade beschrieben werden kann. Aber um dem Aufgabentet treu zu bleiben machen wir das ganze mathematisch. Mathematischer Lösungsansatz Wir beginnen mit der Ungleichung sin() < tan() (1) 5 Und natürlich auch hier ein wenig Geschichte (Klausurrelevant(!!!): Namensgeber ist der Franzose René Descartes, dessen lateinischer Name Cartesius hierfür Pate stand.[wikipedia:kartesiches Koordinatensystem] 5

6 Abbildung 4: Darstellung im kartesischen System;, Sinus und Tangens. Wir teilen durch den Sinus, da sin() > 0 ist. 1 sin() < tan() sin() () Der Tangens wird durch das Verhältnis von Sinus und Kosinus dargestellt. 1 sin() < 1 cos() (3) Jetzt bilden wir den Kehrwert. Achtung beim Kehrwert drehen sich die Ungleichheitszeichen um. 1 sin() > cos() (4) Jetzt strebt 0 1 sin() > cos(0) = 1 (5) 1 sin() > 1 (6) Daraus kann man folgern, dass sin() für 0 gegen eins strebt. 6

7 Aufgabe 1) Bestimmen Sie das in der folgenden Eponentialgleichung 9 4 = Lösung und ein paar allgemeine Regeln ( ) 1 1 Damit wir die Aufgabe auch lösen können, gibt es nun einen kurzen Überblick über das, was man alles mit Potenzen machen kann 6. a m a n =a m+n (7) Produkt mit gleicher Basis und die Eponenten können addiert werden Bei Kehrwertbildung wechselt der Eponent sein Vorzeichen. a m = 1 a m (8) (a m ) n =a m n (9) Das Ausführen von Potenzen nacheinander entspricht dem Produkt der Eponenten ( a b ) m = a m Und mit diesem Wissen starten wir in die Aufgabe b m (10) ( ) 1 1+( ) 9 4 = (11) Mit der linken Seite können wir nichts anfangen, bzw. haben wir keine Regel, sodass wir uns mit dem Umformen der rechten Seite begnügen müssen. Wir teilen zuerst den Eponenten, sodass wir ein Produkt von zwei Potenzen gleicher Basis erhalten. ( ) 1 1 = ( ) 1 (1) Statt des Produktes von führen wir die Potenzen nacheinander aus. ( ) ( 1 1 (1 ) ) = (13) 9 4 = 1 4 (14) 9 = (15) 9 = 3 4 (16) 6 Der Eponent ist übrigens auch auf René Descartes zurückzuführen [ebenfalls Wiki] 7

8 Wir bringen den Ausdruck 4 auf die andere Seite, sodass auf einer Seite alle Ausrdücke von vereinigt sind. 9 4 =3 ( ) 9 = 3 4 Nun ist es Zeit für einen kleinen Trick.3 3 = 3 = 9 und = = 4 ( (3 ) ) = 3 (17) (18) (19) Unsere Basis ist identisch, sodass sich unser Problem auf die Eponenten beschränkt. =1 (0) = 1 (1) Dass dieses Ergebnis zutreffend ist, können wir über eine Probe zeigen. Einsetzen unseres Ergebnisses 9 4 = ( ) 1 1 () ( ) = (3) 3 = 1 (4) CC-BY-SA 3.0 Mario Krieg / Martin Labus 8

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