Eigenschaften der arithmetischen Mittel. Schätzer für die Varianz. Allgeimeines Method: Likelihood Funktion. Schätzer für die Wahrscheinlichkeit

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1 Statstk. Vorlesug, September 6, 009 Egeschafte er arthmetsche Mttel für alle Fälle wo e Stchprobeelemete habe e selbe Vertelug u s uabhägg: E ( = mvar, ( = / Staarabwechug (Staarfehler: D ( = / Korrektur für Stchprobe aus elche Grugesamthet (mt Umfag N: ( N E( = mvar, ( = ( N Gütekrtere für Schätzfuktoe Erwartugstreuhet: für alle möglche arameterwerte m Durchschtt bekomme wr e schätzee arameter Kosstez: mt zuehmeer Stchprobeumfag er arameter wr mmer geauer ähert. Effzez: er kleste Varaz zwsche alle Erwartugstreue Schätzer. θ = st erwartugstreu u kosstet. I messe Fälle (.H. für e Vertelug er Grugesamthet es st auch effzet. Schätzer für e Varaz De bs jetzt beutzter Schätzer: = ( st cht erwartugstreu, also ma soll e korrgerte Verso awee (es st erwartugstreu: = Bee s aber kosstet, u as Dfferez zwsche e bee Schätzer äher 0 als mmer grösser wr. ( Schätzer für e Wahrschelchket Schätzer für e Wahrschelchket vo eer Eregs A: p = = wo st, falls wr be er Stchprobeelemet Nummer as Eregs A beobachtete (asoste st =0. : aus 00 Kue userem Geschäft habe 5 wrklch was gekauft. Davo bekomme wr p = = 5% Dere Varaz st p ( p / u er Grezwertsatz schert weer ass es st wegstes ahe zur Normalvertelug. Allgemees Metho: Lkelhoo Fukto We kommt ma zu ee Schätzer? : e Wahrschelchket vo eer Eregs A. Falls (A=p, ma hat als Vertelug er Erfolge k k = k = p ( p k Wr betrachte es jetzt als ee Fukto vo p (Lkelhoo Fukto.

2 y y Maxmum Lkelhoo Schätzer Wr suche ejeges p, für welche e Lkelhoo-Fukto maxmal st. Ma ka es mathematsch bewese, ass e Lösug lautet p = = lk e lh o o f ü g g v é y, = 0 0 k = 5, m a x= k = 5,m a x= 0. 5 k = 5 0,m a x= x lk e lh o o f ü g g v é y, = 0 k =, m a x= k = 5,m a x= 0. 5 k = 0,m a x= x e Vertelug er Grugesamthet Falls wr ee Iee habe, welche Vertelug (z.b. Normal, Gamma,... user Grugesamthet beschrebt, wr köe ere arameter schätze, u so e Vertelug bestmme. Daraus köe wr e für us terressate Wahrschelchkete äher. / Moatsgehalt-vertelug was st as Atel ejege Arbetehmer, e mehr als 300 TFt pro Moat veree? Falls wr habe ee Stchprobe: 50,60,80, 00, 30, 80 - avo sehe wr, as p = 0 falls wr e relatve Häufgket als Schätzer awee. Aber ma ka e Date mt verscheee Verteluge äher, u avo köe wr es versuche, z.b. ee Normalvertelug mt ese arameter azuwee. Auch aere Verteluge s möglch, z.b. e Gamma Vertelug x = 6,7; = = 85 5 Daraus köe wr e Verteluge bestmme. Rot: Normal Blau: Gamma (>300=.5% (>300=4% Aus ese Moell bekomme wr ee realstschere Atwort. Dchte TFt Egeschafte er Varaz Damt köe wr Schätzer für e Wahrschelchket grosser Dffereze vo er Erwartugswert bekomme: ( -E ε Var( /ε (Tschebschev sche Uglechug e: Falls E=00, Staarabwechug=0, a ( /600=/4. ( /3600=/9. Für usere Schätzer: ma ka e ötge Stchprobeumfag bestmme um ee gegebee Geaugket zu erreche. p = =5% Var ( p = p( p / Also für =00 wr habe Var=0,0075. E p = p Daraus ( p p > 0, 0,0075 / 0,0 =,75% Ncht sehr geau (aber scher. Wr bekomme üktlchere Ergebsse, we wr e Vertelug user Schätzer auch betrachte. Für e selbe Dfferez, aufgru er Normalvertelug: ( p p > 0, ( Z > 0,/ 0,035 = 0,5%

3 Bootstrap Falls wr köe e Vertelug user Schätzer cht bestmme, köe wr ee Smulatostechk awee: Nehme wr mehrere Stchprobe aus user Stchprobe (mt Zurücklege, u mt em selbe Umfag als e orgale. We wr e Schätzug für ese Bootstrap Stchprobe ausreche, bekomme wr ee Näherug zu seer Vertelug. Bootstrap- De beobachtete Wahrschelchket für ( p < 5% = 0.% ( p > 5% = 0.8% Isgesamt: %, also e weg grösser als er Ergebs urch e Normalvertelug. Frequecy Schaetzuge aufgru er bootstrap Stchprobe p Itervallschätzug De wahre arameter er Grugesamthet s ubekat Atwort: aufgru er Stchprobe gebe wr e Schätzwert, aber es st ur e Näherugswert. Wchtg: e Fehler zu quatfzere. Dazu braucht ma e Egeschafte (e Vertelug er Schätzuge. Vertelug er Schätzer für e Mttelwert er Normalvertelug. st bekat Falls se bekat, wr köe e Vertelug usere Schätzfukto geau bestmme: es hat Normalvertelug mt arameter (m, /. Daraus folgt, ass wr köe e Utersche zwsche usere Schätzug u e wahre arameter schätze. Aber esse Egeschafte häge vo u ab, also es st efacher e staarserte Verso: zu beutze. ( m Vertrauestervall Es st ämlch staar Normalvertelt, also z.b. ma wesst, ass ( m > 0,05 Daraus ka ma e Vertrauestervall (Kofeztervall für m kostruere: m, + 0,95 atürlch geht es ebeso, geerell für Scherhet -α: z m / z + / =, Iterpretato we ma mt vele Stchprobe e selbe m Schätzt, wr m 00(-α rozet aller Fälle esem Itervall lege. Korrektur für Stchprobe aus elche Grugesamthet (mt Umfag N: z m N N z + α / /, = N N 3

4 Falls st cht bekat I esem Fall köe wr e Vertelug usere Schätzfukto cht geau bestmme, wr müsse azu auch och e Varaz (u araus e Staarabwechug schätze: ( ( = = De Staarserug: ( m Es st cht mehr staar Normalvertelt, soer Stuet (t-vertelt. Vertrauestervall mt Deckugswahrschelchket -α t m /, /, t, + = Für >50 e t-quatl geht e staar Normalquatl über. Ebeso we e Vertelug er Merkmal st ubekat, für >50 ka ma e Kofezberech für e Mttelwert vo ukt ( bekatbeutze. Oft wählt ma er Stchprobeufag so, ass für gegebee Scherhet -α e Itervallbrete ee gegebee Zahl cht überschretet. Dazu: 4( z / (Fall : soll bekat se Vertrauestervall für e Wahrschelchket I esem Fall für e Ezelbeobachtug (Ikatorfukto =p(-p, also wr bekomme für p e folgee Itervall (mt Scherhet -α z / / p( p z, + k wobe p = (e relatve Häufgket. Um ese Approxmato gültg zu se, brauche wr ass st gross geug (>50. p( p We aus 00 Stuete 5 e erste rüfug cht bestae habe, was ka ma als Vertrauestervall mt α=0,05 (α=0,0 für e Durchfallwahrschelchket gebe? Für α=0,05: 0,5-,96*(0,5*0,75 / /0=0,65; 0,5+,96*(0,5*0,75 / /0=0,335; Also as Itervall lautet: (0,65;0,335 Für α=0,0: 0,5-,58*(0,5*0,75 / /0=0,38; 0,5+,58*(0,5*0,75 / /0=0,36; Also as Itervall lautet: (0,38;0,36 Stchprobeumfag Weer köe wr e Stchprobeumfag so wähle, ass für gegebee Scherhet -α e Itervallbrete ee gegebee Zahl cht überschretet. Dazu: 4( z / p( p Aber p u se Schätzer s ubekat be er laug er Utersuchug, so ma ka ee obere Schrake wähle: z / Wevel Stuete solle wr frage, um as 95%-Vertrauestervall für e Durchfallwahrschelchket kürzer als 0, zu habe?,96 /0,0=384 Stuete s ötg. Um e Läge zu halbere braucht ma 4 Mal so vel Beobachtuge. Für e 99%-Vertrauestervall:,58 /0,0=666 Stuete solle gefragt were. 4

5 Vertrauestervall für e Staarabwechug Voraussetzug: e Beobachtuge s Normalvertelt. Ma ka es bewese, ass ( hat e Ch-Quarat Vertelug mt Frehetsgra -, u avo er Kofezberech: ( (, = h /, hα /, wobe h α/,- u h -α/,- s e α/ u - α/ Quatle er Ch-Quarat Vertelug mt FG=-. Statstsche Testverfahre Wr habe ee Vermutug, e wr statstsch bewese möchte (Sachhypothese. Formulerug eser Aussage: Alteratvhypothese: H A (H. Gegetelge Behauptug: Nullhypothese H 0. : I esem Jahr habe wr höheres Moatsumsätze, als erwartet. H A : m>m 0 (wobe m 0 st e Erwartug. De Nullhypothese (H 0 lautet: m m 0 Allgemee Testverfahre Glechhet ( erwartete Wert gehört mmer zur Nullhypothese. Atwort: aufgru er Stchprobe bereche wr ee Statstk, T. Irrtumwahrschelchketα(es soll festgelegt were, allgemeα=0,05 oer och kleer azu gehört ee krtsche Schrake er Testfukto (c α. Möglche Etscheuge: H 0 ablehe (verwerfe falls T > c α. Es st formatv: fast scher, ass H 0 st cht wahr. H 0 aehme (bebehalte. Es beeutet ur, ass wr habe cht geüge Iformato um wegwerfe zu köe (also es st gar cht scher, ass esem Fall H 0 st wahr. 5