gegeben durch x 4 in dasselbe Koordinatensystem (Längeneinheit auf beiden Achsen: 1 cm). Zur Kontrolle: ft

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1 KA LK M I. ANALYSIS Leisungsfachanforderungen Für jedes > 0 is eine Funkion f gegeben durch f (x) = x + 1 e x ; x IR. Der Graph von f sei G. a) Unersuche G auf Asympoen, Nullsellen, Exrem- und Wendepunke. Bei der Unersuchung auf Wendepunke kann auf die Überprüfung der hinreichenden Bedingung verziche werden. Zeichne die Graphen von f 1 und f1' im Bereich 1 x 4 in dasselbe Koordinaensysem (Längeneinhei auf beiden Achsen: 1 cm). 1 x x x 2 x Zur Konrolle: f '(x) = 1 e und f ''(x) = + 1 e. b) Zeige, dass für jedes > 0 G mi dem Graphen von f ' genau einen Punk gemeinsam ha. Die Graphen von f und f ' schneiden aus der Geraden x =1 eine Srecke aus. Für welchen Wer von is die Länge dieser Srecke am kleinsen? c) G 1, die x-achse und die Gerade x = u mi u > -1 schließen eine Fläche ein. Berechne deren Inhal A(u) und lim A(u). d) G schneide die x-achse im Punk N. Die Tangene an P 2 / e schneide die x-achse im Punk R. Zeige, dass das Dreieck N R Welche Bedingung muss erfüllen, dami das Dreieck Zeige, dass für = 1 diese Bedingung erfüll is. G im Punk P gleichschenklig is mi der Spize in P. N R P rechwinklig is?

2 II. ANALYTISCHE GEOMETRIE Leisungsfachanforderungen In einem karesischen Koordinaensysem sind die Punke P(5 / 1 /-2) und Q(1 /-1 /2) gegeben sowie die Gerade g und die Ebene E durch 1 2 g : x = 4 + r 2 und E : 2x1 + x 2 + 2x = Die Gerade durch P und Q heiß h. a) Welchen Absand ha P von E? Uner welchem Winkel schneiden sich g und E? Besimme eine Koordinaengleichung der Ebene F, die g enhäl und zu E orhogonal is. b) Besimme den Schnipunk der x 3 -Achse mi der Ebene E. 2 Die Ebene E schneide die Kugel K: x 1 = 9 in einem Kreis k. 1 Zeige, dass k mi der x 3 -Achse genau einen Punk B gemeinsam ha. Ermile eine Gleichung der Tangenialebene an die Kugel K in B. Auf dem Kreis k liegen die Berührpunke aller Tangenen, die man von einem Punk R aus an die Kugel K legen kann. Berechne die Koordinaen von R. c) Zeige, dass die Geraden g und h windschief sind. Berechne den Absand von g und h. Besimme Mielpunk und Radius der Kugel, die g und h in den Endpunken eines Durchmessers berühr. d) Es gib eine Gerade i durch A(6 / 0 / 3), die g und h schneide. Selle eine Gleichung dieser Geraden auf. Hinweis: Gib zuers eine Gleichung der durch A und g besimmen Ebene an. 2

3 III. STOCHASTIK Leisungsfachanforderungen 1. Eine Hühnerfarm verkauf Eier in den Gewichsklassen IV, III, II und I. Längere Beobachungen ergaben folgende Vereilung auf die vier Gewichsklassen: Gewichsklasse IV III II I Gewichsinervall (in g) <45 [ 45 ;50[ [ 50;55[ 55 Aneil 0,30 0,22 0,28 0,20 a) Mi welcher Wahrscheinlichkei sind uner vier eingesammelen Eiern alle Gewichsklassen verreen? Es werden 100 Eier eingesammel. Mi welcher Wahrscheinlichkei erhäl man mindesens zwei Eier der Gewichsklasse I? b) Die Hälfe der Eier der Hühnerfarm is weiß, die andere Hälfe is braun. Die Eier werden ohne Berücksichigung der Farbe in Schacheln zu je vier Sück verpack. Mi welcher Wahrscheinlichkei sind in einer Schachel mehr weiße als braune Eier? Berechne die Wahrscheinlichkei, dass von zehn Schacheln höchsens eine mehr weiße als braune Eier enhäl. Mi welcher Wahrscheinlichkei enhäl eine Schachel gleich viele weiße wie braune Eier? 2. Beim Roulee handel es sich um ein Zufallsexperimen mi der Ergebnismenge S = { 0;1; 2;...;35; 36}, wobei alle 37 Ergebnisse mi der gleichen Wahrscheinlichkei einreen. Es sei A = { 1 ; 2;...; 12} und B = { 10 ;11;12;13;14;15}. a) Das Zufallsexperimen wird einmal durchgeführ. Ein Spieler I sez 10 darauf, dass das Ereignis A einri. Is dies der Fall, so bekomm er den dreifachen Einsaz ausbezahl. Tri A nich ein, sind die 10 verloren. Mi welchem Gewinn pro Spiel kann der Spieler im Miel rechnen? Führe dazu eine Zufallsvariable X ein, die den Gewinn beschreib. Nun wird das Zufallsexperimen 15mal durchgeführ. Berechne die Wahrscheinlichkeien für die folgenden Ereignisse: C: A ri genau 5mal ein D: A B ri genau 5mal ein E: Die 15 aufreenden Ergebnisse sind alle verschieden b) Ein Spieler II sez 10 auf das Ereignis A. Tri A ein, so erhäl er den dreifachen Einsaz ausbezahl und hör mi dem Spielen auf. Tri A nich ein, so verdoppel er den vorhergehenden Einsaz und spiel ensprechend weier so lange, bis zum ersen Mal A einri (Verdoppelungssraegie), höchsens jedoch 10mal. Wie groß is die Wahrscheinlichkei, dass Spieler II nach dem 5. Spiel aufhör? Wie viel ha er dann gewonnen? Mi welcher Wahrscheinlichkei ha er nach dem 10. Spiel immer noch nich gewonnen?

4 KA LK M I. ANALYSIS Grundfachanforderungen Für jedes > 0 is eine Funkion f gegeben durch f (x) = x + 1 e x ; x IR. Der Graph von f sei G. a) Unersuche G auf Asympoen, Nullsellen, Exrem- und Wendepunke. Bei der Unersuchung auf Wendepunke kann auf die Überprüfung der hinreichenden Bedingung verziche werden. Zeichne die Graphen von f 1 und f1' im Bereich 1 x 4 in dasselbe Koordinaensysem (Längeneinhei auf beiden Achsen: 1 cm). 1 x x x 2 x Zur Konrolle: f '(x) = 1 e und f ''(x) = + 1 e. b) Zeige, dass für jedes > 0 G mi dem Graphen von f ' genau einen Punk gemeinsam ha. Die Graphen von f und f ' schneiden aus der Geraden x =1 eine Srecke aus. Berechne die Länge dieser Srecke für = 2. c) G 1, die x-achse und die Gerade x = u mi u > -1 schließen eine Fläche ein. Berechne deren Inhal A(u) und lim A(u). d) G schneide die x-achse im Punk N. Die Tangene an G im Punk P 2 / e schneide die x-achse im Punk R. Zeige, dass das Dreieck N R P gleichschenklig is mi der Spize in P. Weise nach, dass dieses Dreieck für = 1 auch rechwinklig is.

5 II. ANALYTISCHE GEOMETRIE Grundfachanforderungen In einem karesischen Koordinaensysem sind die Punke P(5 / 1 /-2) und Q(1 /-1 /2) gegeben sowie die Gerade g und die Ebene E durch 1 2 g : x = 4 + r 2 und E : 2x1 + x 2 + 2x = Die Gerade durch P und Q heiß h. a) Welchen Absand ha P von E? Uner welchem Winkel schneiden sich g und E? Besimme eine Koordinaengleichung der Ebene F, die g enhäl und zu E orhogonal is. b) Besimme den Schnipunk der x 3 -Achse mi der Ebene E. 2 Die Ebene E schneide die Kugel K: x 1 = 9 in einem Kreis k. 1 Zeige, dass k mi der x 3 -Achse genau einen Punk B gemeinsam ha. Ermile eine Gleichung der Tangenialebene an die Kugel K in B. c) Zeige, dass die Geraden g und h windschief sind. Berechne den Absand von g und h. Besimme Mielpunk und Radius der Kugel, die g und h in den Endpunken eines Durchmessers berühr. 2

6 III. STOCHASTIK Grundfachanforderungen 1. Eine Hühnerfarm verkauf Eier in den Gewichsklassen IV, III, II und I. Längere Beobachungen ergaben folgende Vereilung auf die vier Gewichsklassen: Gewichsklasse IV III II I Gewichsinervall (in g) <45 [ 45 ;50[ [ 50;55[ 55 Aneil 0,30 0,22 0,28 0,20 a) Mi welcher Wahrscheinlichkei sind uner vier eingesammelen Eiern alle Gewichsklassen verreen? Es werden 100 Eier eingesammel. Mi welcher Wahrscheinlichkei erhäl man mindesens zwei Eier der Gewichsklasse I? b) Die Hälfe der Eier der Hühnerfarm is weiß, die andere Hälfe is braun. Die Eier werden ohne Berücksichigung der Farbe in Schacheln zu je vier Sück verpack. Mi welcher Wahrscheinlichkei sind in einer Schachel mehr weiße als braune Eier? Berechne die Wahrscheinlichkei, dass von zehn Schacheln höchsens eine mehr weiße als braune Eier enhäl. 2. Beim Roulee handel es sich um ein Zufallsexperimen mi der Ergebnismenge S = { 0;1; 2;...;35; 36}, wobei alle 37 Ergebnisse mi der gleichen Wahrscheinlichkei einreen. Es sei A = { 1 ; 2;...; 12} und B = { 10 ;11;12;13;14;15}. a) Das Zufallsexperimen wird einmal durchgeführ. Ein Spieler I sez 10 darauf, dass das Ereignis A einri. Is dies der Fall, so bekomm er den dreifachen Einsaz ausbezahl. Tri A nich ein, sind die 10 verloren. Mi welchem Gewinn pro Spiel kann der Spieler im Miel rechnen? Führe dazu eine Zufallsvariable X ein, die den Gewinn beschreib. Nun wird das Zufallsexperimen 15mal durchgeführ. Berechne die Wahrscheinlichkeien für die folgenden Ereignisse: C: A ri genau 5mal ein D: A B ri genau 5mal ein b) Ein Spieler II sez 10 auf das Ereignis A. Tri A ein, so erhäl er den dreifachen Einsaz ausbezahl und hör mi dem Spielen auf. Tri A nich ein, so verdoppel er den vorhergehenden Einsaz und spiel ensprechend weier so lange, bis zum ersen Mal A einri (Verdoppelungssraegie), höchsens jedoch 10mal. Wie groß is die Wahrscheinlichkei, dass Spieler II nach dem 5. Spiel aufhör? Mi welcher Wahrscheinlichkei ha er nach dem 10. Spiel immer noch nich gewonnen?

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