Einführung in die Aussagenlogik

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1 Einfühung in die Aussagenlogik D. 1. (Aussage) Eine Aussage ist ein Satz, de genau einen de genau einen de Wahheitswete wah (W) ode falsch (F) hat. B. 1. Die sog. zweiwetige Logik basiet auf folgenden gundlegenden Pinziien: P1: Pinzi vom ausgeschlossenen Ditten: Es teten nu die beiden Wahheitswete wah ode falsch auf und keine weiteen. (vgl. S.1.) P2: Pinzi vom ausgeschlossenen Widesuch: Es gibt keine Aussage, die sowohl wah als auch falsch ist. (vgl. S.2.) BS. 1. Folgende Sätze sind Aussagen. Ihe Wahheitswete sind in Klammen angegeben: 1. Bot ist ein Nahungsmittel (W). 2. Die Zahl 24 ist eine ungeade Zahl (F). 3. Die Abeitskaft ist ein Poduktionsfakto (W) Die Zahl 20 1ist eine Pimzahl (Es handelt sich auch hie um eine Aussage, obwohl deen Wahheitswet (noch) nicht bekannt ist.) BS. 2. Folgende Sätze sind keine Aussagen: 1. Vekaufe mi Dein Auto! 2. Hoffentlich weden Autos billige De Student x ist veheiatet. D. 2. (Aussagefom) Ein Satz, de mindestens eine Vaiable enthält und duch Einsetzen eines konketen Wetes aus eine angegebenen Gesamtheit fü diese Vaiable zu eine Aussage wid, heißt Aussagefom. Titt in einem Satz eine Vaiable x ein und bezeichnet man die zugunde liegende Gundgesamtheit mit X, so kann man eine Aussagefom auch abküzend in de Fom angeben. { H( x), x X} BS. 3. Wi bilden aus folgenden Aussagefomen Aussagen: 1

2 1. Aussagefom: H( x ): Student x wohnt in Wildau. Aussage: X : Menge alle Studenten de TFH Wildau; x = Paul Schmidt. 2. Aussagefom: H( x ): x ist eine natüliche Zahl. Aussage: X : Menge de natülichen Zahlen; x = Aussagefom: H( x, y ): x+ y = 13, xy, X: Menge de natülichen Zahlen.. Aussage: x= 7, y = 6. B. 2. Man kann bei gegebene Gundgesamtheit X untesuchen, ob eine vogegebene Aussagefom fü jedes Element de Gundmenge X zu eine wahen Aussage wid bzw. ob es übehaut ein Element gibt, die aus de Aussagefom eine Aussage macht. Die sog. Quantifikatoen fü alle ( ) und es gibt ein ( ) können also eine Aussagefom zu eine Aussage machen. Symbolisch: BS. 4. ( ) bzw. bzw., x X H x x X H x x X ; ( ) bzw. : x X H x x X H x x N: x+ 1 > x ( W) 2 x N: x = 5 ( F). D. 3. (Aussagenvebindungen) Aussagenvebindungen entstehen duch Veknüfung von Aussagen mithilfe von logischen Oeationen: 1) einstellige (Negation) 2) zweistellige (Altenative, Konjunktion, Imlikation, Äuivalenz) D. 3. (Negation) eine Aussage. Die Negation von, bezeichnet mit Wahheitswettabelle definiet:, sei duch folgende W F F W BS. 5. : Alle Teilnehme des Kuses sind fleißig 2

3 Dann ist : Es gibt ein Teilnehme des Kuses, de nicht fleißig is. bzw. Nicht alle Teilnehme des Kuses sind fleißig. D. 5. (Altenative bzw. Disjunktion) en und Aussagen. Die Altenative ode, symbolisch, wid duch folgende Wahheitswettabelle definiet: W W W W F W F W W F F F BS. 6. : Die Zahl 10 ist duch 4 teilba. ( F ) : Die Zahl 10 ist duch 5 teilba. (W ) Dann ist : Die Zahl 10 ist duch 4 ode 5 teilba. (W ). D. 6. (Konjunktion) en und Aussagen. Die Konjunktion und, symbolisch, wid duch folgende Wahheitswettabelle definiet: W W W W F F F W F F F F BS. 7. : Die Zahl 10 ist duch 4 teilba. ( F ) : Die Zahl 10 ist duch 5 teilba. (W ) Dann ist : Die Zahl 10 ist duch 4 und 5 teilba. ( F ) 3

4 D. 7. (Imlikation) en und Aussagen. Die Imlikation wenn, dann, symbolisch, wid duch folgende Wahheitswettabelle definiet: W W W W F F F W W F F W Man sagt auch aus folgt. ist die Voaussetzung und ist die Behautung bzw. ist hineichende Bedingung fü und ist notwendige Bedingung fü. BS. 8. : Die Zahl 10 ist duch 4 teilba. ( F ) : Die Zahl 10 ist duch 5 teilba. (W ) Dann ist : Wenn die Zahl 10 duch 4 teilba ist, so ist sie duch 5 teilba. (W ) D. 8. (Äuivalenz) en und Aussagen. Die Äuivalenz genau dann, wenn, symbolisch, wid duch folgende Wahheitswettabelle definiet: W W W W F F F W F F F W Man sagt auch und sind äuivalent. BS. 9. : Die Zahl 10 ist duch 4 teilba. ( F ) : Die Zahl 10 ist duch 5 teilba. (W ) Dann ist : Die Zahl 10 ist genau dann duch 4 teilba, wenn sie duch 3 teilba ist. (W ) 4

5 D. 9. (Logische Äuivalenz) Wenn zwei Aussagenvebindungen die gleichen Wahheitswete liefen, so heißen sie logisch äuivalent (bzw. logisch gleichwetig). D. 10. (Tautologie) Eine Tautologie ist eine Aussagenvebindung, die unabhängig vom Wahheitswet de ehaltenen Einzelaussagen imme den Wahheitswet wah besitzt. S. 1. (Satz vom ausgeschlossenen Ditten) Die Aussage ist eine Tautologie. W F W F W W S. 2. (Satz vom ausgeschlossenen Widesuch) ist eine Tautologie. Die Aussage ( ) W F F W F W F W S. 3. (De Mogansche Regeln) Die Aussagen a) ( ) b) ( ) a) ( ) W W W F F F F W W F F W F W W W F W F W W F W W F F F W W W W W 5

6 b) ( ) W W W F F F F W W F W F F W F W F W W F W F F W F F F W W W W W BS. 10. a) : : Paul ist Rauche. Paul ist Student. Dann sind folgende Aussagen logisch äuivalent: ( ) : Es stimmt nicht, dass Paul Rauche und Student ist. : Paul ist Nichtauche ode e ist kein Student. b) : : De Tank ist lee. De Moto ist defekt. Dann sind folgende Aussagen logisch äuivalent: ( ) : Es stimmt nicht, dass de Tank lee ode de Moto defekt ist. : De Tank ist nicht lee und de Moto ist in Odnung. D. 11. (Schlussegel) Eine Schlussegel ist eine Imlikation, die Tautologie ist. BS. 11. a) ( ) W W W W W F F W F W F W F F F W Die Aussage Wenn und gelten, so gilt auch. ist also eine Schlussegel. 6

7 b) W W F F W W F W W F F W F F W F F W F W Die Aussage ( ) ist also keine Schlussegel. S. 4. (Abtennungsegel (Modus onens, diekte Beweis)) Die Imlikation ist eine Tautologie. ( ) ( ) W W W W W W F F F W F W W F W F F W F W B. 3. Eine andee gebäuchliche Scheibweise fü die obige Schlussegel ist auch die folgende: Diese Schlussegel sichet, dass aus de Richtigkeit von und de Richtigkeit des Schlusses die Richtigkeit von folgt. S. 5. (Indiekte Beweis) Die Imlikation ( ) ist eine Tautologie ( ) 7 W W F F W W W W F F W W F W F W W F W F W F F W W F F W

8 (Man kann diese Regel auch wie folgt scheiben: ) S. 6. (Falluntescheidung) Die Imlikation ist eine Tautologie. (Man kann diese Regel auch wie folgt scheiben: ) (Übung!) S. 7. (Kettenschluss) Die Imlikation ist eine Tautologie. ( ) ( ) ( ) (Man kann diese Regel auch wie folgt scheiben: ) (Übung!) B. 4. Es gibt auch Schlussegeln, die umkehba sind. Eine solche Schlussegel stellt eine Äuivalenz da, die unabhängig von den Wahheitsweten de Einzelaussagen imme wah ist. Im folgenden Satz ist eine umkehbae Schlussegel angegeben: S. 8. (Contaosition) Es gilt die folgende Schlussegel: 8

9 ( ) ( ) ist eine Tautologie. (Übung!) BS. 12. : : Student Paul hat Püfung. Student Paul muss sich konzentieen. Die Aussage : Student Paul hat Püfung. ist logisch äuivalent zu Aussage : Wenn Student Paul sich nicht konzentiet, so hat e keine Püfung. (Letzte Aktualisieung: ) 9