T n (1) = 1 T n (cos π n )= 1. deg T n q n 1.

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1 KAPITEL 3. INTERPOLATION UND APPROXIMATION 47 Beweis: Wir nehmen an qx) für alle x [, ] und führen diese Annahme zu einem Widerspruch. Es gilt nach Folgerung ii) T n ) T n cos π n ). Wir betrachten die Differenz T n x) qx) auf dem Intervall [cos π n, ]. Da nach Voraussetzung T n und q den selben Koeffizienten vor x n besitzen, nämlich n gilt deg T n q n. Nach dem Zwischenwertsatz besitzt T n x) qx) mindestens eine Nullstelle in [cos π n, ]. Beachte dazu: Entweder besitzt T n x) qx) bereits eine Nullstelle in einem Randpunkt oder es gilt T n cos π n ) qcos π n ) < 0 und T n ) q) > 0. Entsprechend folgt: T n x) qx) hat mindestens) eine Nullstelle in [cos n π, cos π n ] T n x) qx) hat mindestens) eine Nullstelle in [cos 3 n π, cos n π]. T n x) qx) hat mindestens) eine Nullstelle in [, cos n n π], also besitzt T n x) qx) insgesamt n Nullstellen in [, ]. Beachte wiederum: Fallen zwei Nullstellen in einem Randpunkt der einzelnen Intervalle zusammen, so handelt es sich um eine doppelte Nullstelle, da T n und q dort ein Extremum besitzen. Da aber das Polynom T n q höchstens den Grad n besitzt, handelt es sich um das Nullpolynom: T n q. Dies ist aber ein Widerspruch zur Annahme, die daher falsch sein muss. Beweis:zu Satz 0) Es gilt: max w n+x) x [,] n max x [,] n w n+ x). n x n Die Behauptung des Satzes folgt nun aus dem vorangehenden Lemma vgl. Ü). Satz. Für die Lebesgue-Konstanten zu den Tschebyscheff-Stützstellen gilt: Λ n 3für n 0 Λ n 4für n 00 Λ n log n für n. π Vergleiche mit den Lebesgue-Konstanten bei äquidistanten Stützstellen!

2 KAPITEL 3. INTERPOLATION UND APPROXIMATION 48 Wir wissen, dass die Tschebyscheff-Polynome T 0,..., T n eine Basis des Vektorraums P n bilden. Sie sind bezüglich des Skalarprodukts < p, q > : px i )qx i ) orthogonal, wobei x i die Nullstellen von T n+ sind. Tatsächlich gilt ohne Beweis) 0, falls k j Orthogonalität) <T k,t j > n + ), falls k j>0 n + ), falls k j 0 für k, j n. Mit der Orthogonalität der Tschebyscheff-Polynome folgt p pf x 0,..., x n ) und mit der Definition des Skalarproduktes oben < p, T k > < p, T i > <T i,t i > :c i bzw. c 0 für px i )T k x i ) fx i )T k x i ) ) i + f i cos k n + π. Insgesamt erhalten wir damit den folgenden Satz. Satz. Tschebyscheffsche Interpolationsformel) Zu n + Stützpunkten x i,f i ), i 0,..., n, wobei die Stützstellen genau den Nullstellen des Tschebyscheff-Polynoms T n+ entsprechen, lässt sich das eindeutige Interpolationspolynom px) pf x 0,..., x n ) vom Grad n darstellen durch px) c 0 + c T x) c n T n x) 3.8) T i mit c k n + ) i + f i cos k n + π für k 0. Zu den speziellen Stützstellen x i cos i+ n+π) steht und somit neben der Lagrangeschen und der Newtonschen eine weitere Interpolationsformel zur Verfügung. Fragen: Wie effizient lassen sich die Koeffizienten c k berechnen? Lässt sich px) in der Form 3.8) leicht auswerten?

3 KAPITEL 3. INTERPOLATION UND APPROXIMATION 49 a) Die direkte Berechnung der c k erfordert n+) Multiplikationen. Die schnelle Fourier-Transformation FFF) benötigt On log n) Multiplikationen. Zum Vergleich: Berechnung der dividierten Differenzen der Newtonschen Interpolationsformal benötigt nn+) Divisionen. Für hinreichend große n ist es daher zweckmäßig die Koeffizienten mit FFT zu berechnen. Dabei ist es günstig, wenn n + m eine -er Potenz ist. b) Das Polynom px) lässt sich bei bekannten Koeffizienten leicht berechnen: Satz 3. Clenshaw-Algorithmus) Sei px) ein Polynom mit Sei weiter d n+ d n+ 0und Dann gilt: px) c 0 + c T x) c n T n x). d k c k +x d k+ d k+ für k n, n,...,. px) d 0 d ). Bemerkung 7. Der Aufwand zur Berechnung von px) ist somit n + Multiplikationen und n + ) Additionen. Beweis: Zunächst gilt d n c n. Mit der Rekursionsformel folgt: T k x) x T k x) T k x) px) c 0 + c T x) c n 3 T n 3 x)+c n d n )T n x)+c n +xd n d n )T n x) c 0 + c T x) c n 4 T n 4 x)+c n 3 d n )T n 3 x)+c n d n +xd n )T n x) d n... induktiv) c 0 +c d 3 ) T x) +d T x) x x c 0 + xc +xd d 3 ) d c 0 + xd d d 0 d ). Allgemein ist bei Verwendung von Rekursionen wichtig, wie sich Fehler z.b. Rundungsfehler) fortpflanzen, also die Stabilität der Rekursion. Mit anderen Worten: Kleine Fehler am Beginn der Rechnung, sollen keine großen Auswirkungen auf die spätere Rechnung haben.

4 KAPITEL 3. INTERPOLATION UND APPROXIMATION 50 Beispiel 7. einer instabilen Rekursion) Gegeben sei die Rekursion x n+ 0x n 9 mit Startwert a) x. Dann gilt x n für alle n. b) x + ɛ. Dann gilt x n + 0 n ɛ für alle n. Satz 4. über die Stabilität des Clenshaw-Algorithmus) Sei px) wie in Satz 3 und d k durch folgende Rekursion berechnet: 0 d n+ d n+ d k c k x d k+ d k+ + ɛ k für k n, n,...,, wobei ɛ k zum Beispiel Rundungsfehler im k-ten Schritt sind. Dann gilt: für x. d 0 d ) px) : px) ɛ i Beweis: Setze e k : d k d k.offenbar gilt e n+ e n+ 0 e k ɛ k +x e k+ e k+ für k n, n,...,. Somit nach Satz 3 ɛ 0 e ) ɛ 0 + ɛ T x) ɛ n T n x). px) px) Wegen T j x) für x folgt px) px) ɛ i. Bemerkung 8. Approximationen durch Summe von Tschebyscheff-Polynomen werden im Rechner zur Berechnung von Funktionen wie log, exp, sin, cos,... verwendet. Beispiel 8. Berechnung von logx) für 0 <x min x x max, wobei x min und x max die kleinste bzw. die größte darstellbare Zahl im Rechner sind. Gleitpunktdarstellung mit d ): x a N+ mit a l i a i i und a i {0, }, a. Also existiert ein t [0, ) mit x + t) N.

5 KAPITEL 3. INTERPOLATION UND APPROXIMATION 5 Mit dem Additionstheorem des Logarithmus erhalten wir log x log + t)+n log. Wir Approximieren log + t) auf [0, ] bzw. log ) + +s auf dem Intervall [, ] durch Tschebyscheff- Interpolation. Für den Approximationsfehler gilt nach Satz 9 log + +x ) px) w n+x) n + )! log + +ξ ) )n+). Beachte: also auch log + +x ) ) + +x, log + +x ) )n+) Somit gilt für den Interpolationsfehler die Abschätzung log + +x ) px) + +x n n + )! ) n) ) n+ ) n n! n + )4 n. + +x )n+. n! n+ + +x n+ Zum Beispiel gilt für n 6 log + +x ) px) 0.