Rekonstruktion kontinuierlicher Daten Interpolation 1D. Prof. U. Rüde - Algorithmik kontinuierlicher Systeme
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- Guido Kranz
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1 Algorhmk kouerlcher Syseme Rekosruko kouerlcher Dae Ierpolao D SS 7 Ierpolao D Prof. U. Rüde - Algorhmk kouerlcher Syseme
2 Movao Rekosruko kouerlcher Dae aus dskree Dae Kouerlche Dae Dgalserug Dskree Dae Daeverarbeug Verarbeug m Recher Dskree Dae Rekosruko Kouerlche Dae SS 7 Ierpolao D Prof. U. Rüde - Algorhmk kouerlcher Syseme
3 Zwschefaz Lokale Verfahre vs. globale Verfahre Lokale Verfahre eares eghhbor : useg, Oh lear: seg, Oh Camull-Rom: gla dff.-bar, C, Oh 3 kubsche Sples: gla dff.-, bar, C, Oh 4 Schäze vo Ableuge : vorwärs, rückwärs, zeral Recheaufwad: Aufwad für Suche der Res s O Globale Verfahre Polyomerpolao -Sple-Ierpolao SS 7 Ierpolao D Prof. U. Rüde - Algorhmk kouerlcher Syseme 3
4 Polyomerpolao Polyome vom Grad - blde ee -dmesoale Vekorraum. X P spa,,,..., c Polyome werde der Iformak sehr gere verwede, wel dere Auswerug für Compuer efach s Horerschema s.u. - m Gegesaz zu adere mahemasche Fukoe. Polyome werde deshalb häufg zur Appromao aderer komplzererer Fukoe egesez à Taylorewcklug De Taylorbass oder Moombass obe s ur ee Möglchke de Polyomraum darzuselle - Varae späer. Taylorbass Moombass SS 7 Ierpolao D Prof. U. Rüde - Algorhmk kouerlcher Syseme 4
5 Ierpolao m Polyome D Ierpolao: vo der zu appromerede Fuko werde ur Were a wege Süzselle verwede, de Were dazwsche werde durch e Polyomerpolao bereche. Werde ur de Puke selbs verwede, sprch ma vo Lagrage- Ierpolao. Werde zusäzlche auch Iformaoe über de Rchuge Ableug der Fuko verwede, da sprch ma vo Herme-Ierpolao bzw. vo Ierpolao m doppele Süzselle. Lagrage Ierpolao Herme Ierpolao SS 7 Ierpolao D Prof. U. Rüde - Algorhmk kouerlcher Syseme 5
6 SS 7 Prof. U. Rüde - Algorhmk kouerlcher Syseme Ierpolao D Für de Lagrage-Polyomerpolae sd gegebe: Süzselle {,,..., } Süzwere { y, y,..., y } E Polyom erpoler dese Were sofer p y,, p y das heß: 6 Polyomerpolao c p y c p y c p y c p!
7 SS 7 Prof. U. Rüde - Algorhmk kouerlcher Syseme Ierpolao D p c c... c - - egesez de Ierpolaosbedguge führ auf e leares Glechugssysem m Glechuge für de ubekae Koeffzee c. A heß Vadermode-Mar, Vadermode-Deermae 7 Polyomerpolao: Vadermode de < k j j k A! y c A y y y c c c " %$# " &&& & # && %& $ ' " " " ' '
8 De Mar A s de sogeae Vadermode-Mar. Se s quadrasch, voll besez, ch sgulär sofer j aber scho be moderaem ud äqudsae Süzselle sehr schlech kodoer κa Vadermode E 4.468E.455E E E E9 SS 7 Ierpolao D Prof. U. Rüde - Algorhmk kouerlcher Syseme 8
9 Polyomerpolao: Vadermode Das Sysem A c y s edeug lösbar, da dea : Folgerug: Zu Süzselle gb es e edeug besmmes Ierpolaospolyom vom Grad - Ma löse das Glechugssysem A c y m der Vadermodemar A z.. m LR-Zerlegug oder Gauss-Elmao Aufwad O 3 Numersch sehr problemasch da schlech kodoer Gb s, de da chs besseres? SS 7 Ierpolao D Prof. U. Rüde - Algorhmk kouerlcher Syseme 9
10 erechug des Polyom-Ierpolae O Operaoe Dvde-e-Impera Asaz Rekurso We köe es gehe? p erpoler,,..., k q erpoler k, k,..., k Fp,q erpoler,,..., k, k, k,..., k So geh es leder ch! Es wäre zu schö gewese SS 7 Ierpolao D Prof. U. Rüde - Algorhmk kouerlcher Syseme
11 Herleug eer Rekursosformel Asaz p,k- erpoler a,,..., k Polyomgrad k- p,k- erpoler a, 3,..., k Polyomgrad k- reche daraus p,k das a,,..., k erpoler Polyomgrad k 3 4 SS 7 Ierpolao D Prof. U. Rüde - Algorhmk kouerlcher Syseme
12 Rekursosformel vo Ake-Nevlle * Warum fukoer das: Is, da übermm das lke Polyom. Is k, da übermm das reche Polyom. e de Süzselle dazwsche kooperere bede Polyome. De Sorerug der Süzselle s ch releva. De Formel ka ma als Rekurso für reelle/komplee Zahle, also de Were der Polyome a der Selle lese Es s aber geau so gu ee Formel für Fukoe: Ee Fuko, de aus zwe Fukoe ee dre bereche. Termerug der Rekurso: De Ierpolao eer ezge Süzselle, y lefer rvalerwese de kosae Polyome p, y SS 7 Ierpolao D Prof. U. Rüde - Algorhmk kouerlcher Syseme
13 Rekursosformel vo Ake-Nevlle * SS 7 We ma ee Daeyp Polyom class Polyom Pyho/C ha, ka ma dese Formel zur Kosruko des erpolerede Polyoms verwede. esoders arakv wäre des aürlch fukoale Programmerprache we Lsp, Maple, auch Pyho,. Am efachse ud effzeese geh es, we ma ee geegee Daesrukur mahemasch gesehe: Polyombass verwede, ämlch de Polyomdarsellug ach Newo. Da komm ma auf de Newosche Ierpolaosformel sehe heue späer der Vorlesug. Aber zuächs s de Rekursosformel och ubrauchbar: Der Aufwad eploder, we ma de Rekursosformel av verwede: e Polyomgrad sd O Aufrufe erforderlch! Das s vel zu euer. Nur we ma uz, dass de Rekurso mmer weder de gleche Polyome bereche, ka ma e effzee Algorhmus erhale. Das führ auf das Ake-Nevlle-Dreecksschema ud de Newoerpolao: sehe ue. Ierpolao D Prof. U. Rüde - Algorhmk kouerlcher Syseme 3
14 Alerave Polyombase sher : Darsellug der Taylor-ass bzw. Moom-ass {,,, 3,..., - } zu specher: De Koeffzee Effzee Auswerug m dem Horer-Schema s.u. Alerave:. erse-polyome. Lagrage-Polyome 3. Newo-Polyome blde jewels ee ass vo P SS 7 Ierpolao D Prof. U. Rüde - Algorhmk kouerlcher Syseme 4
15 Alerave Polyombase: erse Alerave : ass aus erse-polyome P spa,,... ass für Polyome vom Grad - Sehr beleb Graphk bem geomersche Modellere à Gegesad der akuelle Übugsaufgabe Für Polyomerpolao eher ch geege SS 7 Ierpolao D Prof. U. Rüde - Algorhmk kouerlcher Syseme 5
16 SS 7 Prof. U. Rüde - Algorhmk kouerlcher Syseme Ierpolao D Alerave : ass aus Lagrage-Polyome zu gegebee Süzselle {,,..., } Egeschafe der Lagrage-Polyome: De L sd lear uabhägg ud blde ee ass vo L j δ k Kroeckersymbol à das edeuge Ierpolaospolyom s gegebe durch Haupawedug der Lagrage-Polyome sd heoresche Überleguge z.. zur Ewcklug vo spezelle Algorhme. Für de algorhmsche erechug des Ierpolaospolyoms selbs sd se eher schlech geege!.. L L y p IP 6 Alerave Polyombase: Lagrage
17 SS 7 Prof. U. Rüde - Algorhmk kouerlcher Syseme Ierpolao D Alerave : ass aus Lagrage-Polyome zu gegebee Süzselle {,,..., } 7 Alerave Polyombase: Lagrage.. L ;.5,, 3 L L L ;.75,.5,.5,, sos falls j L j
18 Alerave Polyombase: Newo Alerave 3: ass aus Newo-Polyome zu gegebee Süzselle {,,..., } N..,.5, 3 ;,.5,,.5, ; N N N 3,,.5 SS 7 Ierpolao D.5;!, N N 4 5.5,.5.5; Prof. U. Rüde - Algorhmk kouerlcher Syseme 8
19 Alerave Polyombase: Newo Alerave 3: ass aus Newo-Polyome zu gegebee Süzselle {,,..., } N.. Verwede de ass { N, N,..., N } zur Lösug der Ierpolaosaufgabe, Asaz: p a a - a - -. a M deser ass läß sch des Ierpolaosproblem effze ud sabl löse Algorhmus vo Ake-Nevlle Weerer Vorel: I deser ass s das Ierpolaospolyom effze für alle m eem Horer-arge Schema auswerbar. SS 7 Ierpolao D Prof. U. Rüde - Algorhmk kouerlcher Syseme 9
20 SS 7 Prof. U. Rüde - Algorhmk kouerlcher Syseme Ierpolao D Alerave 3: ass aus Newo-Polyome zu gegebee Süzselle {,,..., } p a a - a - -. a De Ierpolaosbedguge p j y j führe auf e Glechugssysem m uerer Dreecksmar: Alerave Polyombase: Newo y y y y a a a a N!! "!!!! " #
21 Alerave Polyombase: Newo Der Algorhmus vo Ake-Nevlle a a a p, k p, k, k k p a 3 a - SS 7 Ierpolao D Prof. U. Rüde - Algorhmk kouerlcher Syseme
22 Alerave Polyombase: Newo Der Algorhmus vo Ake-Nevlle p a a - a - -. a Pseudo-Code zur erechug der Koeffzee a : # Ialserug: for.. p, y # Spaleweses Vorgehe: for k..- # Durchlaufe der Spale: for..-k- p,k p k- - p k- / k - # Rückgabe der Ergebssee: a p, ;..- Aufwad: O SS 7 Ierpolao D Prof. U. Rüde - Algorhmk kouerlcher Syseme
23 SS 7 Prof. U. Rüde - Algorhmk kouerlcher Syseme Ierpolao D Effzee Auswerug des Newo-Polyoms m Horer-argem Schema: Klasssches Horerschema für PseudoCode : Modfzeres Horerschema PseudoCode 3 Horerschema a a a a a a a p!! a a a a a a a p sum a[-] for -.. sum sum*a[] sum a[-] for -.. sum sum*-[]a[]
24 SS 7 Prof. U. Rüde - Algorhmk kouerlcher Syseme Ierpolao D De erse-polyome vom Grad blde e ass der Polyome vom Grad De omal-koeffzee Rekursve Defo Pascalsches Dreeck omsche Formel 4 erse-polyome!!! b a b a,,,...,
25 SS 7 Prof. U. Rüde - Algorhmk kouerlcher Syseme Ierpolao D Alerave : ass aus erse-polyome Egeschafe: 5 Alerave Polyombase: erse < < falls lear quadrasch quarsch P spa,,...
26 erse-polyome erse-polyome vom Grad, ; SS 7 Ierpolao D Prof. U. Rüde - Algorhmk kouerlcher Syseme 6
27 erse-polyome erse-polyome vom Grad 3 kubsche erse-polyome , 3, 3, 3 3 ; SS 7 Ierpolao D Prof. U. Rüde - Algorhmk kouerlcher Syseme 7
28 erse-polyome erse-polyome vom Grad 9,,..., ; SS 7 Ierpolao D Prof. U. Rüde - Algorhmk kouerlcher Syseme 8
29 SS 7 Prof. U. Rüde - Algorhmk kouerlcher Syseme Ierpolao D Es gl 9 Egeschafe der erse-polyome,,,..., für [,] ha ee -fache Nullselle ha ee --fache Nullselle für alle
30 ézer-kurve - espele D-Kurve 3D-Kurve SS 7 Ierpolao D Prof. U. Rüde - Algorhmk kouerlcher Syseme 3
31 Formegeschafe vo ézer-kurve Geomere des Korollpolygos spegel grob de Geomere der Kurve wder Formegeschafe. Ierpolao der Edpuke. I de Edpuke ageal a das Korollpolygo 3. ézer-kurve leg der kovee Hülle der Korollpuke 4. affe Ivaraz 5. Varaosreduzered Kosequez: Modfkao der Korollpuke führ zu vorhersehbarer uver Äderug der ézer-kurve. SS 7 Ierpolao D Prof. U. Rüde - Algorhmk kouerlcher Syseme 3
32 Formegeschafe vo ézer-kurve Edpuk-Ierpolao C b b, C b b Tageebedgug C ' b ', ', dabe ', ' > folglch C ' b ' b b C ' b ' b b SS 7 Ierpolao D Prof. U. Rüde - Algorhmk kouerlcher Syseme 3
33 Kovee Hülle: ézer-kurve leg koveer Hülle hrer Korollpuke espele SS 7 Ierpolao D Prof. U. Rüde - Algorhmk kouerlcher Syseme 33
34 SS 7 Prof. U. Rüde - Algorhmk kouerlcher Syseme Ierpolao D Rekursve Auswerug der erse Polyome: euer oder durch Horer-ézer: effze 34 Auswerug vo ézer-kurve C b b b b b b b b b b ~ ~... ~ ~ ~ ~... ~ ~ sos falls r r r
35 Auswerug vo ézer-kurve Oder durch forgeseze leare Ierpolao: der Algorhmus vo de Caseljau sabl SS 7 Ierpolao D Prof. U. Rüde - Algorhmk kouerlcher Syseme 35
36 Auswerug vo ézer-kurve Oder durch forgeseze leare Ierpolao: der Algorhmus vo de Caseljau sabl SS 7 Ierpolao D Prof. U. Rüde - Algorhmk kouerlcher Syseme 36
37 Auswerug vo ézer-kurve der Algorhmus vo de Caseljau geomersch b 3 3 C / 3 Algorhmus vo de Caseljau für / 3 ud 3 SS 7 Ierpolao D Prof. U. Rüde - Algorhmk kouerlcher Syseme 37
38 Auswerug vo ézer-kurve Algorhmus vo de Caseljau: PseudoCode # Ialserug for.. b b ; # decaseljau Pyramde/Dreeck for k.. for k.. b k -*b k- - *b k- reur b # Kurvepuk C SS 7 Ierpolao D Prof. U. Rüde - Algorhmk kouerlcher Syseme 38
39 Polyomerpolao - Fehlerabschäzug Gegebe Süzselle {,,..., }, de Were sd Samples eer f : y f. Falls f -mal dfferezerbar s, gl für das Ierpolaospolyom p : f p dabe s ξ e Wer zwsche m{,,,..., } ud ma{,,,..., } f ξ! Spezell : leare Ierpolao f p f folglch h f p apple h 8 ma{ f } SS 7 Ierpolao D Prof. U. Rüde - Algorhmk kouerlcher Syseme 39
40 Polyomerpolao - Fehlerabschäzug Verlauf der Fuko w w oszller ud wächs zu de Räder h ud über de Räder haus, we ma Erapolao mache möche sark a w Dor muss m sehr vel größere Rekosrukos- fehler gereche werde! SS 7 Ierpolao D Prof. U. Rüde - Algorhmk kouerlcher Syseme 4
41 Polyomerpolao - Fehlerabschäzug E espel : Ruge Fuko f, [,] 5 äqudsae Süzselle m Iervall [-,] Polyomerpola vom Grad Selbs be Verwedug vo mehr äqudsae Süzselle wrd das Ergebs ch besser kee Kovergez! SS 7 Ierpolao D Prof. U. Rüde - Algorhmk kouerlcher Syseme 4
42 Polyomerpolao - Fehlerabschäzug E espel : Ruge Fuko f, [,] 5 Ausweg desem Fall: Verwedug ch äqudsaer Süzselle sog. Tschebycheff-Süzselle cos π,,,... I der Pras of de Lösug: Vermede Polyomerpolao für größeres Verwede alerave Verfahre: Camull-Rom -Sple Ierpolao SS 7 Ierpolao D Prof. U. Rüde - Algorhmk kouerlcher Syseme 4
43 Zusammefassug Polyomerpolao Polyome sd zur Ierpolao/Rekosruko geege, aber ur we der Polyomgrad ch zu hoch s. Aderfalls Wrd das Glechugssysem für de Polyomkoeffzee sehr schlech kodoer Der Fehler oszller ud wrd a de Räder des Ierpolaoservalls sehr groß Ma ka dese Probleme durch geegee adere Wahl der Süzselle elwese kompesere. Lagrage-Polyome für heoresche Uersuchuge hlfrech aber ugeege zur umersche ehadlug Adere Polyom-ase erse, Lagrage, Newo Praksche erechug: Algorhmus vo Ake-Nevlle umersch sabl ud Aufwad O Effzee Auswerug mels Horerschema SS 7 Ierpolao D Prof. U. Rüde - Algorhmk kouerlcher Syseme 43
44 Kodoszahl bzgl. Eukldscher Norm für Vadermode- Mar ud Newo - Mar für äqudsae Süzselle: {,,,,-} κm Vadermode κm Newo κm N / κm V E E E E E E E E-4.455E E E E E E.94E E.65633E.378E-8 SS 7 Ierpolao D Prof. U. Rüde - Algorhmk kouerlcher Syseme 44
Das Verfahren von Godunov. Seminar Numerik 25.11.2010 Anja Bettendorf
Das Verfahre vo Goduov Semar Numerk 5..00 Aja Beedorf Das Verfahre vo Goduov Übersch Goduov - Goduovs Verfahre für Leare Syseme Aweduge & Folgeruge aus Goduovs Verfahre - De Numersche Fluss-Fuko m Goduov
Oesterreichische Kontrollbank AG. Pensionskassen. Performanceberechnung Asset Allocation. Berechnungsmethoden
Oeserrechsche Korollbak AG esoskasse erformaceberechug Asse Allocao Berechugsmehode Jul 200 Ihal erformaceberechug der OeKB...3 2 erformace...3 2. Defo der erformace...3 2.2 Berechugsmehode...4 2.3 Formel...4
Entladung Wanderung Entladung Wanderung H + --- Q -t - F OH - - F. Q --- +t - F
B - - Überführgszahle d Wadergsgeschwdgke fgabe: Besmmg der orfsche Überführgszahle vo - d O - -oe 0N O oder vo 2 - d SO 4 -oe 0N 2SO 4 d Berechg hrer oeäqvalelefähgkee 2 Besmmg der Wadergsgeschwdgkee
2. Die Elementarereignisse sind die Kombinationsmöglichkeiten von: Wappen = W und:
1 L - Hausaufgabe Nr. 55 Sotag, 1. Ju 2003 Ee Müze werde dremal geworfe. Was st das Zufallsexpermet, das Elemetareregs, das zusammegesetzte Eregs, der Eregsraum ud de Wahrschelchket? Lösugs kte.: 1 De
(Markowitz-Portfoliotheorie)
Thema : ortfolo-selekto ud m-s-rzp (Markowtz-ortfolotheore) Beurtelugskrtere be quadratscher Nutzefukto: Beroull-rzp + quadratsche Nutzefukto Thema Höhekompoete: Erwartugswert µ Rskokompoete: Stadardabwechug
Grundlagen der Energietechnik Energiewirtschaft Kostenrechnung. Vorlesung EEG Grundlagen der Energietechnik
Prof. Dr. Ig. Post Grudlage der Eergetechk Eergewrtschaft Kosterechug EEG. Vorlesug EEG Grudlage der Eergetechk De elektrsche Eergetechk st e sogeates klasssches Fach. Folglch st deses Fach vele detallert
Einführung Fehlerrechnung
IV Eführug Fehlerrechug Fehlerrechuge werde durchgeführt, um de Vertraueswürdgket vo Meßergebsse beurtele zu köe. Uter dem Fehler eer Messug versteht ma de Abwechug ees Meßergebsses vom (grudsätzlch ubekate
Sitzplatzreservierungsproblem
tzplatzreserverugsproblem Be vele Zugsysteme Europa müsse Passagere mt hrem Zugtcet ee tzplatzreserverug aufe. Da das Tcetsystem Kude ee ezele Platz zuwese muss, we dese e Tcet aufe, ohe zu wsse, welche
Multiple Regression (1) - Einführung I -
Multple Regreo Eführug I Mt eem Korrelatokoeffzete ud der efache leare Regreo köe ur varate Zuammehäge zwche zwe Varale uterucht werde. Beutzt ma tatt dee mehrere Varale zur Vorherage, egt ma ch auf da
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ezer II: Realserug vo ézer-fläche Mar Sommer, Elvs Corbo Geschche Paul ézer 1910 1999 Réaul: Drekor Mascheabelug Rechssre: ézer De Caseljau Folge: ézer Kurve ud De Caseljau Alg. Kurve zu Fläche assfuko
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Strtte Auffassue zu Aforderusrofl ud Betrebsart be der Neufassu der IEC 6508-3 ud -7 Vortra a der TU Brauschwe m November 205 vo Wolfa Ehreberer, Hochschule Fulda 7..205 Ehreberer, IEC 6508, Strtte Auffassue...
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Iegrere Scherhesechk Scherhesechsche Archekur o MOISAFE UCS..B 2 2 Iegrere Scherhesechk De acholged beschrebee Scherhesechk des MOISAFE UCS..B erüll olgede Scherhesaorderuge: Kaegore 4 ud erorace Leel
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Festverzslche Wertaere Kurse ud Redte be gazzahlge Restlaufzete Glederug. Rückblck: Grudlage der Kursrechug ud Redteermttlug 2. Ausgagsstuato 3. Herletug der Formel 4. Abhäggket vom Marktzsveau 5. Übugsaufgabe
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Letfade zu de Idexkezahle der Deutsche Börse Verso.5 Deutsche Börse AG Verso.5 Letfade zu de Idexkezahle der Deutsche Börse Page Allgemee Iformato Um de hohe Qualtät der vo der Deutsche Börse AG berechete
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Dpl.-Kaufm. Wolfgag Schmtt Aus meer Skrpterehe: " Kee Agst vor... " Ausgewählte Theme der deskrptve Statstk Geometrsches Mttel ud durchschttlche Wachstumsrate Modellaufgabe Übuge Lösuge www.f-lere.de Geometrsches
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= T. 1.1. Jährliche Ratentilgung. 1.1. Jährliche Ratentilgung. Ausgangspunkt: Beispiel:
E Tilgugsrechug.. Jährliche Raeilgug Ausgagspuk: Bei Raeilgug wird die chuldsumme (Newer des Kredis [Aleihe, Hypohek, Darleh]) i gleiche Teilberäge T geilg. Die Tilgugsrae läss sich ermiel als: T =.. Jährliche
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Webull & Wöhler 0 CRGRAPH Wöhlerdagramm Im Wöhlerdagramm wrd de Lebesdauer ( oder Laufzet) ees Bautels Abhägget vo der Belastug dargestellt. Kurzetfestget Beaspruchug Zetfestget auerfestget 0 5 3 4 6 0
Lösungen zum Übungs-Blatt 7 Wahrscheinlichkeitsrechnung
Lösuge zum Übugs-Blatt 7 Wahrschelchketsrechug BMT Bostatstk Prof. Dr. B. Grabowsk ----------------------------------------------------------------------------------------------- Bedgte Wahrschelchket
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Deskriptive Statistik - Aufgabe 3
Desrptve Statst - Aufgabe 3 De Überachtugszahle der Fremdeverehrsgemede "Bachstadt" für de Moate ud zege auf de erste Blc scho deutlche Uterschede de ezele Ortschafte. We seht e etsprecheder Verglech der
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FH Wedel Prof. Dr. Sebasta Iwaows D5 Fole Dsrete athemat Sebasta Iwaows FH Wedel ap.5: ombator Refereze zum Nacharbete: Lag 5. 5. 7. (Bsp. 4) Beutelspacher 4 (außer Fxpute vo Permutatoe) eel 8 Hacheberger
Die Binomialverteilung als Wahrscheinlichkeitsverteilung für die Schadenversicherung
De Bomalvertelg al Wahrchelchketvertelg für de Schadevercherg Für da Modell eer Schadevercherg e gegebe: = Schade ee Verchergehmer, we der Schadefall etrtt w = Wahrchelchket dafür, da der Schadefall etrtt
Hochschule Furtwangen University Sommersemester Prof. Dr. Thomas Schneider Medien und Informatik 2. Übungsblatt 5. dar.
Hochschle Frtwage Uversty Sommersemester 0 Fakltät Dgtale Mede Mathematk Prof. Dr. Thomas Scheder Mede d Iformatk Übgsblatt. Elemetares Reche mt komplexe Zahle Es se w= +. a) Blde Se de komplex Kojgerte
1.1. Jährliche Rentenzahlungen 1.1.1. Vorschüssige Rentenzahlungen. 1.1. Jährliche Rentenzahlungen 1.1.1. Vorschüssige Rentenzahlungen
.. Jährlche Retezahluge... Vorschüssge Retezahluge Ausgagspukt: Über ee edlche Zetraum wrd aus eem Kaptal (Retebarwert v, ), das zseszslch agelegt st, jewels zu Beg ees Jahres ee bestmmte Reterate ř gezahlt
Investmentfonds. Kennzahlenberechnung. Performance Risiko- und Ertragsanalyse, Risikokennzahlen
Ivestmetfods Kezahleberechug erformace Rsko- ud Ertragsaalyse, Rskokezahle Gültg ab 01.01.2007 Ihalt 1 erformace 4 1.1 Berechug der erformace über de gesamte Beobachtugzetraum (absolut)... 4 1.2 Aualserug
Zum Problem unterjähriger Zinsen und Zahlungen in der Zinseszinsrechnung
Zu Proble urjährger Zse ud Zahluge der Zsessrechug Gewöhlch geht a der Zsessrechug davo aus, dass de Zse ach ee Jahr de Kapl ugeschlage werde ud da weder Zse trage. Der Zssat, t de das Kapl ultplert wrd,
6 Folgen. 6.4 Folgen reeller Zahlen. Mathematik für Informatiker B, SS 2012 Dienstag 5.6. $Id: folgen.tex,v /06/05 11:12:18 hk Exp $
Mathematik für Iformatiker B, SS 0 Diestag 5.6 $Id: folge.tex,v. 0/06/05 ::8 hk Exp $ 6 Folge 6.4 Folge reeller Zahle I der letzte Sitzug habe wir de Begriff des Grezwerts eier Folge i eiem metrische Raum
Übungen zur Wahrscheinlichkeitsrechnung und Schliessenden Statistik
Übuge zur Wahrschelchketsrechug ud Schlessede Statstk Aufgabe ud Lösuge vo Peter M Schulze, Verea Dexhemer. Auflage Übuge zur Wahrschelchketsrechug ud Schlessede Statstk Schulze / Dexhemer schell ud portofre
WIB 2 Mathematik und Statistik Formelsammlung. Z Menge der ganzen Zahlen {...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...}
1 Allgeme Geometrsche Rehe: q t = 1 q1 t=0 1 q Mtterachtsformel: ax 2 bxc=0 x 1/ 2 = b±b2 4ac 2a Bomsche Formel: 1. ab 2 =a 2 2abb 2 2. a b 2 =a 2 2abb 2 3. ab a b=a 2 b 2 Wurzel: ugerade 1 Ergebs gerade
Korrelations- und Assoziationsmaße
k m χ : j l r +. Zusammehagsmaße ( o e ) jl jl e jl Korrelatos- ud Assozatosmaße e jl 5 Merkmal Y Summe X b b m a H (a,b) H (a,b). a H (a,b) H (a,b). Summe.. Zusammehagsmaße Eführug Sche- ud Noses-Korrelato
Carl Friedrich Gauß (Deutscher Mathematiker, 1777 bis 1855) formulierte die folgende Formel n
mthphys-ole Alyss. Klsse Techk Itegrlrechug Vertefug des Itegrlegrffs De Itegrlrechug ht ds Zel, de Flächehlt krummlg egrezter Flächestücke zu ereche. Be der äherugswese Berechug der Fläche uter Polyomfuktoe
6. Zusammenhangsmaße (Kovarianz und Korrelation)
6. Zuammehagmaße Kovaraz ud Korrelato Problemtellug: Bher: Ee Varable pro Merkmalträger, Stchprobe x,, x Geucht: Maße für Durchchtt, Streuug, uw. Jetzt: Zwe metrche! Varable pro Merkmalträger, Stchprobe
2. Mittelwerte (Lageparameter)
2. Mttelwerte (Lageparameter) Bespele aus dem täglche Lebe Pro Hemspel hatte Borussa Dortmud der letzte Saso durchschttlch 7.2 Zuschauer. De deutsche Akte sd m Durchschtt um 0 Zähler gefalle. I Ide wurde
TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN
TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN Zetrum Mathematik PROF. DR.DR. JÜRGEN RICHTER-GEBERT, VANESSA KRUMMECK, MICHAEL PRÄHOFER Höhere Mathematik für Iformatiker II (Sommersemester 004 Lösuge zu Aufgabeblatt 7
Praktikumsbericht AUSFALLRATEN
Praumsberch AUSALLATEN.7. Clauda Hallau Tel.: 5-95- E-Mal: verehrssysemech@dlr.de> Copyrgh ach DIN beache. Weergabe sowe Vervelfälgug deses Doumes, Verwerug ud Melug sees Ihales sd verboe, sowe ch ausdrüclch
b) Rentendauer Anzahl der Rentenzahlungen 1) endliche Renten 2) ewige Renten (z.b. Verpachtung an Verpächter bzw. seinen Rechtsnachfolgern)
HTL Jebach. eeechug Maheak Sask.. Gudbegffe ee = egeläßg wedekehede Zahlug 4 weselche Mekale ee ee a) eehöhe ) glechblebede ee ) veädelche ee a) egeläßg (z.b. Idex-ageaß) ) egellos b) eedaue Azahl de eezahluge
Tutorium Investition & Finanzierung Tutorium 1: Kostenvergleichs und Gewinnvergleichsrechnung
Fachhochschule Schmalkalde Fakulä Iformak Professur Wrschafsformak, sb. Mulmeda Markeg Prof. Dr. rer. pol. Thomas Urba Tuorum Iveso & Fazerug Tuorum : oseverglechs ud Gewverglechsrechug T : Der Tu Fru
Software-Partner-Itzehoe-GmbH
oftware-parter-itehoe-gmbh ehr geehrter Kude, sehr geehrter Iteresset, das achfolged dargestellte Dokumet st ledglch e espel für de Darstellug der erechug ach der Rchtle DI 077. Her hadelt es sch um e
MC Datenexport und Übernahme in Excel
MC Daenexpor und Übernahme n Excel Schr-für-Schr-Anleung zur Daenübernahme aus der MC- Applkaon und Überführung der Daen n en lokales Excel-Fle. Tel A: Daenübernahme aus MC (Wndows XP):. See 1 Tel B: Daenkonverson
Stoffwerte von Flüssigkeiten. Oberflächenspannung (PHYWE)
Stoffwerte vo Flüssgkete Oberflächespaug (PHYWE) Zel des Versuches st, de Platzbedarf ees Ethaol-Moleküls der Grezfläche zwsche Dapfphase ud Lösug aus der Kozetratosabhäggket der Oberflächespaug be wässrge
Statistik für Ingenieure (IAM) Version 3.0/21.07.2004
Stattk fü Igeeue (IAM) Veo 74 Vaazaalye Mt de efache Vaazaalye (ANOVA Aaly of Vaace) wd de Hypothee gepüft, ob de Mttelwete zwee ode mehee Stchpobe detch d, de au omaletelte Gudgeamthete gezoge wede, de
TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN
TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN Zetrum Mathemati PROF DRDR JÜRGEN RICHTER-GEBERT, VANESSA KRUMMECK, MICHAEL PRÄHOFER Höhere Mathemati für Iformatier I Witersemester 2003/2004 Aufgabeblatt 8 12 Dezember
5.3 Wachstum von Folgen
53 Wachstum vo Folge I diesem Abschitt betrachte wir (rekursiv oder aders defiierte) Folge {a } = ud wolle vergleiche, wie schell sie awachse, we wächst Wir orietiere us dabei a W Hochstättler: Algorithmische
2 Regression, Korrelation und Kontingenz
Regresso, Korrelato ud Kotgez I desem Kaptel lerst du de Zusammehag zwsche verschedee Merkmale durch Grafke zu beschrebe, Maßzahle ür de Stärke des Zusammehags zu bereche ud dese zu terpretere, das Wsse
Thema 11: Lineare Einfachregression
Thema : Leare Efachregresso E uverselles Isrume zur emprsche Uersuchug vo heoresche Zusammehäge (Falsfkaosversuche vo Hypohese) Alehekurse ud Zssaz Bedeuede Eflussgröße für Kursewcklug vo Alehe s der Zssaz
Tutorium Mathematik I, M Lösungen
Tutorium Mathematik I, M Lösuge 16. November 2012 *Aufgabe 1. Ma utersuche die folgede Reihe auf Kovergez (a) ( 1) (1 ) (b) ( ) 2 +1 (c) (!) 3 10 (3)! (d) (e) (f) 2 +3 3 2 +1 3 ( 2 +1) 2 + 3 ( 2 +3) (g)
Eine einfache Formel für den Flächeninhalt von Polygonen
Ee efache Formel für de Flächehalt vo Polygoe Peter Beder Set ege Jahre hat der Mathematkddaktk de sogeate emprsche Uterrchtsforschug mt quattatve ud qualtatve Methode Kojuktur, währed stoffddaktsche Arbete
1.6 Energie 1.6.1 Arbeit und Leistung Wird ein Körper unter Wirkung der Kraft F längs eines Weges s verschoben, so wird dabei die Arbeit
3.6 Energe.6. Arbe und Lesung Wrd en Körper uner Wrkung der Kraf F längs enes Weges s verschoben, so wrd dabe de Arbe W = F s Arbe = Kraf Weg verrche. In deser enfachen Form gülg, wenn folgende Voraussezungen
Optimale Steuerung von Rüst- und Produktionsprozessen
JOHANNES KEPLER UNIVERSITÄT LINZ Nezwerk für Forschug, Lehre ud Praxs Opale Seuerug vo Rüs- ud Produkosprozesse DISSERTATION zur Erlagug des akadesche Grades DOKTOR DER NATURWISSENSCHAFTEN Ageferg a Isu
Formelsammlung zur Zuverlässigkeitsberechnung
Formelsmmlug zur Zuverlässgetsberechug zusmmegestellt vo Tt Lge Fchhochschule Merseburg Fchberech Eletrotech Ihlt:. Zuverlässget vo Betrchtugsehete.... Zuverlässget elemetrer, chtreprerbrer ysteme... 3.
Preisindex. und. Mengenindex
Dpl.-Kaufm. Wolfgag Schmtt Aus meer Skrpterehe: " Kee Agst vor... " Ausgewählte Theme der deskrptve Statstk resdex ud Megedex Übuge Aufgabe ösuge www.f-lere.de resdex 1 De Etwcklug der rese wrd der Öffetlchket
Lorenz' sche Konzentrationskurve und Disparitätsindex nach Gini
Dpl.-Kaufm. Wolfgag Schmtt Aus meer Skrpterehe: " Kee Agst vor... " Ausgewählte Theme der deskrptve Statstk Lorez' sche Kozetratoskurve ud Dspartätsdex ach G Übuge Aufgabe Lösuge www.f-lere.de Begrff Lorez'
Ergebnis- und Ereignisräume
I Ergebs- ud Eregsräume Zufallsexpermete Defto: E Expermet, welches belebg oft uter gleche Bedguge wederholbar st ud desse Ergebs cht mt Bestmmthet vorhergesagt werde ka (d.h. es gbt md. 2 Mgk.), heßt
Sinus- + Cosinus-Funktion und komplexe Wurzel
Dr. Siegfried Echterhoff Aalysis 1 Vorlesug WS 08 09 6 Polarkoordiate Sius- + Cosius-Fuktio ud komplexe Wurzel 6.1 Im folgede seik 1 1 := {z C z = 1} der Kreis i C mit Radius 1 ud Mittelpukt 0. Wir defiiere
Indizieren Sie die folgenden Summen und Produkte gemäß der Vorgabe um und schreiben Sie sie einmal explizit aus: 5
FU Berli: WiSe 13-14 (Aalysis 1 - Lehr.) Übugsaufgabe Zettel 9 Aufgabe 37 Idiziere Sie die folgede Summe ud Produte gemäß der Vorgabe um ud schreibe Sie sie eimal explizit aus: 5 (a) + 1) 0( Lösug. Die
Übungen zur Vorlesung Funktionentheorie Sommersemester 2012. Musterlösung zu Blatt 11. c n (z a) n,
f : a P UNIVERSIÄ DES SAARLANDES FACHRICHUNG 6. MAHEMAIK Prof. Dr. Rolad Speicher M.Sc. obias Mai Übuge zur Vorlesug Fuktioetheorie Sommersemester 202 Musterlösug zu Blatt Aufgabe. Zeige Sie durch Abwadlug
1 Mathe Formeln Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung
1 Mathe Formel Statstk ud Wahrschelchketsrechug Jör Horstma, 6.10.003. Alle Agabe ohe Gewähr. http://www.ba-stuttgart.de/ w017/ 1.1 Grudlage Ezelklasse [a ; b [ Klassewete Klassemtte Mttelwert b a = w
Nennenswertes zur Stetigkeit
Neeswertes zur Stetigkeit.) Puktweise Stetigkeit: Vo Floria Modler Defiitio der pukteweise Stetigkeit: Eie Fuktio f : D R ist geau da i x D stetig, we gilt: ε > δ >, so dass f ( x) f ( x ) < ε x D mit
2. Zusammenhangsanalysen: Korrelation und Regression
2. Zusammehagsaalse: Korrelato ud Regresso Dowloads zur Vorlesug 2. Zusammehagsaalse: Korrelato ud Regresso 2 Grudbegrffe zwedmesoale Stchprobe De Gewug vo mehrere Merkmale vo eer Beobachtugsehet führt
2 Vollständige Induktion
8 I. Zahle, Kovergez ud Stetigkeit Vollstädige Iduktio Aufgabe: 1. Bereche Sie 1+3, 1+3+5 ud 1+3+5+7, leite Sie eie allgemeie Formel für 1+3+ +( 3)+( 1) her ud versuche Sie, diese zu beweise.. Eizu5% ZiseproJahragelegtes
Physikalisch-Technische Bundesanstalt, Braunschweig
Üerscht üer essuscherhetserechuge vo der Darstellug der Ehet des Drehmometes üer de Wetergae s h zur Aedug ud Bespel eer Ope-ource-Aedug dafür Drk Röske Physkalsch-Techsche Budesastalt, Brauscheg Darstellug
n (n + 1) = 1(1 + 1)(1 + 2) 3 Induktionsschritt: Angenommen die Gleichung gilt für n N. Dann folgt: 1 2 = 2 =
Aufgabe 1: (6 Pukte) Zeige Sie für alle N die Formel: 1 2 + 2 3 + 3 4 +... + ( + 1) = ( + 1)( + 2). 3 Lösug: Beweis durch vollstädige Iduktio. Iduktiosafag: Für = 1 gilt: 1 2 = 2 = 1(1 + 1)(1 + 2) 3 Iduktiosschritt:
von solchen Abbildungen. Eine solche Folge bestimmt für jedes x M die Folge der Werte f n. Schreibt man dies noch einmal formal hin, so erhält man:
Gleichmäßige Kovergez Wir betrachte im Folgede Abbilduge f : M N, wobei M eie Mege ud N ei metrischer Raum ist. Isbesodere iteressiere ud Folge f vo solche Abbilduge. Eie solche Folge bestimmt für jedes
6. Übungsblatt Aufgaben mit Lösungen + Selbsttest-Auflösung
6. Übugsblatt Aufgabe mit Lösuge + Selbsttest-Auflösug Aufgabe 6: Utersuche Sie die Folge, dere Glieder ute für N agegebe sid, auf Beschräktheit, Mootoie ud Kovergez bzw. Beschräktheit, Mootoie ud Kovergez
Inhaltsübersicht. Kapitel 8: Die Kür: Integralrechnung. Notizen zur Vorlesung Mathematik für Ingenieure I 1
Ihlsüersch Kpel 8: De Kür: Iegrlrechug Ds Iegrl ls Flächehl Der Hupsz der Ifeesmlrechug Iegro vo role Fukoe Numersche Iegrosverfhre Läge- ud Volumeerechuge Uegelche Iegrle Noze zur Vorlesug Mhemk für Igeeure
7/7/06. Formulierung mittels Dynamischer Programmierung. Berechnungsbeispiel. Gewinnung der optimalen Reihenfolge
Formulerug mttels Dyamscher Programmerug Berechugsbespel Beobachtug: de Azahl der Telprobleme A j mt j st ur Folgerug: der aïve rekursve Algo berechet vele Telprobleme mehrfach! Idee: Bottom-up-Berechug
Regressionsrechnung und Korrelationsrechnung
Regressosrechug ud Korrelatosrechug Beschrebede Statstk Modul : Probleme be der Abhäggketsaalyse Problem : Es gbt mest cht ur ee Eflussfaktor (Probleme sd selte mookausal ) A Ursache() Wrkug B C - efache
Regressionsverfahren haben viele praktische Anwendungen. Die meisten Anwendungen fallen in eine der folgenden beiden Kategorien:
Regressoslse De Regressoslse st ee Slug vo sttstshe Alseverfhre. Zel e de häufgste egesetzte Alseverfhre st es Bezehuge zwshe eer hägge ud eer oder ehrere uhägge rle festzustelle. Se wrd sesodere verwedet
D. Plappert Die Strukturgleichheit verschiedener physikalischer Gebiete gezeigt am Beispiel Hydraulik-Elektrizitätslehre
D. Plappert De Strukturglechhet verschedeer physkalscher Gebete gezegt am Bespel Hydraulk-Elektrztätslehre Erschee Kozepte ees zetgemäße Physkuterrchts, Heft 3, Schroedel Verlag 979. Eletug De megeartge
Grundgesamtheit handelt, stellt sich die Frage nach der Unsicherheit dieser Schatzung.
R Lösug zu Aufgabe 4: Kofideziervall a) Abschäzug vo Erwarugswer ud adardabweichug: Wie bereis i Übugsaufgabe eigeführ, selle der Mielwer ud die reuug eier ichprobe die bese chäzwere für de Erwarugswer
MST Übung 3 Mathematik 2 Prof.Dr.B.Grabowski Tel.:
MST Übug Mthemtk Prof.Dr.B.Grbowsk e-ml: grbowsk@htw-srld.de Tel.: 87- Iverse Mtrze ufgbe : Bereche Se de Iverse Mtr zu folgede Mtrze. Prüfe Se Ihr Ergebs, dem Se - bereche! b dg-,,-,,-, c 7 d ufgbe :
Induktion am Beispiel des Pascalschen Dreiecks
Iduto am Bespel des Pascalsche Dreecs Alexader Rehold Coldtz 0.02.2005 Eletug vollstädge Iduto De vollstädge Iduto st ebe dem drete ud drete Bewesverfahre ees der wchtgste der Mathemat. Eher bespelhaft
Übungsaufgaben zur Finanzmathematik - Lösungen
Wshfsmhemk II Übugsufgbe zu Fzmhemk - Lösuge. Ee Bk lok m dem Agebo " W vedoppel h pl Jhe!! ". ) Welhe Vezsug bee Ihe de Bk? ( ) Edkpl od. Ede : Lufze od. Läge des Algezeumes Zse " Zseszsehug" z. B.: (
= 0 i n S ( ) ) Aufgabe 2. Aufgabe 2. Aufgabe 2. Aufgabe 4. E. Tilgungsrechnungen. E. Tilgungsrechnungen
Aufgabe Ee chuld vo 4. se 5 Jahre m kosae Tlgugsrae zu lge; de Verzsug erfolge zu 7,5% p.a. a) Welche Zahluge sd sgesam zu lese? umme der Tlgugszahluge chuldsumme 4. Zszahluge: arhmesche Folge (Raeschuld)
1 Elementare Finanzmathematik
Elemetare Fazmathemat 4 Elemetare Fazmathemat Zel: Bewertug ud Verglech atueller ud zuüftger Geldströme. Determstsche Zahlugsströme Defto: E determstscher Zahlugsstrom st ee Futo Z: N R, de jedem Zetput
Musterlösung zu Übungsblatt 2
Prof. R. Padharipade J. Schmitt C. Schießl Fuktioetheorie 25. September 15 HS 2015 Musterlösug zu Übugsblatt 2 Aufgabe 1. Reelle Fuktioe g : R R stelle wir us üblicherweise als Graphe {(x, g(x)} R R vor.
Teil IV Musterklausuren (Univ. Essen) mit Lösungen
Tel IV Musterklausure (Uv. Esse) mt Lösuge Hauptklausur WS 9/9 Aufgabe : a) Revolverheld R stzt m Saloo ud pokert. De Wahrschelchket, daß er dabe ee seer Mtspeler bem Falschspel erwscht (Eregs F), bezffert
$Id: reihen.tex,v /06/14 13:59:06 hk Exp $
Mathematik für Iformatiker B, SS 202 Doerstag 4.6 $Id: reihe.tex,v.9 202/06/4 3:59:06 hk Exp $ 7 Reihe 7.4 Kovergezkriterie für Reihe 7.4. Alterierede Reihe Wir hatte gesehe das die harmoische Reihe divergiert,
Messfehler, Fehlerberechnung und Fehlerabschätzung
Apparatves Praktkum Physkalsche Cheme der TU Brauschweg SS1, Dr. C. Maul, T.Dammeyer Messfehler, Fehlerberechug ud Fehlerabschätug 1. Systematsche Fehler Systematsche Fehler et ma solche Fehleratele, welche
Statistik I Februar 2005
Statistik I Februar 2005 Aufgabe 0 Pukte Ei Merkmal X mit de mögliche Auspräguge 0 ud, das im Folgede wie ei kardialskaliertes Merkmal behadelt werde ka, wird a Merkmalsträger beobachtet. Dabei bezeichet
Arbeitsblatt A 8-4 Polynom-& Wurzel-& Winkelfunktionen Teil 1/2
Schule Budesgymasiu um ür Berustätige Salzburg Modul Thema Mathematik 8 Arbeitsblatt A 8-4 Polyom-& Wurzel-& Wikeluktioe Teil 1/2 Polyomuktioe Eie wichtige Klasse vo Fuktioe bilde die Polyomuktioe (x =
Physikalische Chemie T Fos
Physkalsche Cheme T Fos ISCHPHSEN.... ZUSENSETZUNG VO ISCHPHSEN.... EXTENSIVE - UND INTENSIVE GRÖßEN... 4.. Partelles olvolume V m... 7.3 DS ROULTSCHE GESETZ... 0.4 KOLLIGTIVE EIGENSCHFTEN....4. De Sedeuktserhöhug...
Tilgungsrechnung 2. Bearbeitet von Martin Kubsch. 12.01.2005 Tilgungsrechnung 2 1. Formelsammlung. Jahres-, Quartals,- Halbjahres oder Monatsrechnung
Tlgugsrechug Bearbetet vo Mart Kubsch.0.00 Tlgugsrechug Formelsammlug Uterjährge Tlgug a) m r = m z Azahl glech Jahres-, Quartals,- Halbjahres oder Moatsrechug b) m z > m r (mehr Zs- als Tlgugsperode)
Aufgaben zur Analysis I
Aufgabe zur Aalysis I Es werde folgede Theme behadelt:. Logik, Iduktio, Mege, Abbilduge 2. Supremum, Ifimum 3. Folge, Fuktioefolge 4. Reihe, Potezreihe 5. Mootoie ud Stetigkeit 6. Differetialrechug 7.