Erstabgabe Übung nicht abgegeben
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- Babette Weber
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1 Erstabgabe Übung nicht abgegeben T. Kießling: Auswertung von Messungen und Fehlerrechnung - Graphische Darstellungen, Etrapolation Vorlesung 10-1
2 Übungsaufgaben So soll es sein: sauber gearbeitet alle formalen Kriterien beachtet Achsenskalierung gut Verbesserungswürdig: unspezifisch, hier möglichst genau: Was wurde gemessen? Richtig getackert T. Kießling: Auswertung von Messungen und Fehlerrechnung - Graphische Darstellungen, Etrapolation Vorlesung 10-2
3 Übungsaufgaben Was ist ein e-tel Wert? Eponentieller Zusammenhang: U U e t/ 0 U e U e / t T. Kießling: Auswertung von Messungen und Fehlerrechnung - Graphische Darstellungen, Etrapolation Vorlesung 10-3
4 Polarkoordinaten T. Kießling: Auswertung von Messungen und Fehlerrechnung - Graphische Darstellungen, Etrapolation Vorlesung 10-4
5 Polarkoordinaten Viele Physikalische Eigenschaften zeigen eine Richtungsabhängigkeit (Winkelabhängigkeit) T. Kießling: Auswertung von Messungen und Fehlerrechnung - Graphische Darstellungen, Etrapolation Vorlesung 10-5
6 Beispiel: Polarisation elektromagnetischer Wellen Gesetz von Malus: I I cos o 2 T. Kießling: Auswertung von Messungen und Fehlerrechnung - Graphische Darstellungen, Etrapolation Vorlesung 10-6
7 Beispiel: Polarisation elektromagnetischer Wellen / o I / I o 0 1, ,970 I I cos Klassische Auftragung: 2 o 20 0, , , , , , , , , , , ,587 T. Kießling: Auswertung von Messungen und Fehlerrechnung - Graphische Darstellungen, Etrapolation Vorlesung 10-7
8 Polarkoordinaten: Winkelskala / o I / I o 90,0 o 80,0o 60,0 o 0 1, ,970 40,0 o 20 0, , ,587 20,0 o 50 0, , , ,0 o 0,0 o 80 0, , , , , , ,0 o T. Kießling: Auswertung von Messungen und Fehlerrechnung - Graphische Darstellungen, Etrapolation Vorlesung 10-8
9 / o I / I o Polarkoordinaten: Betragskala 80,0 o 0 1,000 60,0 o 10 0, ,883 40,0 o 30 0, ,587 20,0 o 50 0, , , , , , , ,413 1,0 0,5 0,0 0,0 o 140 0, ,0 o T. Kießling: Auswertung von Messungen und Fehlerrechnung - Graphische Darstellungen, Etrapolation Vorlesung 10-9
10 Polarkoordinaten: Betragskala / o I / I o 0 1, , , , , , , , , , , , , ,587 T. Kießling: Auswertung von Messungen und Fehlerrechnung - Graphische Darstellungen, Etrapolation Vorlesung 10-10
11 Polarkoordinaten: Gesetz von Malus / o I / I o 0 1, Gesetz von Mal 10 0, , , , , , , , , , , , , T. Kießling: Auswertung von Messungen und Fehlerrechnung - Graphische Darstellungen, Etrapolation Vorlesung 10-11
12 Beispiel: Optische Anisotropie von Quantenpunkten T. Kießling: Auswertung von Messungen und Fehlerrechnung - Graphische Darstellungen, Etrapolation Vorlesung 10-12
13 Weitere Beispiele Lichtemittierende Diode LED UMTS Antenne db = dezi bel I B 10lg I 0 Beispiel: I = I o /2 B 10lg 0, 5 3, 01dB Lautsprecher T. Kießling: Auswertung von Messungen und Fehlerrechnung - Graphische Darstellungen, Etrapolation Vorlesung 10-13
14 Polarkoordinaten Polarkoordinaten sind zur Darstellung das Mittel der Wahl, wenn eine Richtungsabhängigkeit der physikalischen Größen im Zentrum des Interesses steht. Es ist insbesondere für vektorielle Größen häufig eine aussagekräftige Darstellung. T. Kießling: Auswertung von Messungen und Fehlerrechnung - Graphische Darstellungen, Etrapolation Vorlesung 10-14
15 Graphische Etrapolation T. Kießling: Auswertung von Messungen und Fehlerrechnung - Graphische Darstellungen, Etrapolation Vorlesung 10-15
16 Beispiel: Kalorimetrie Kalorimetergefäße gibt es in verschiedenen Ausführungen. Es wird stets versucht, die Wärmeleitung, die Konvektion und die Wärmestrahlung zu minimieren, um einen Wärmeaustausch mit der Umgebung zu verhindern. T. Kießling: Auswertung von Messungen und Fehlerrechnung - Graphische Darstellungen, Etrapolation Vorlesung 10-16
17 Beispiel: Kalorimetrie Innere Energie Wärme bedeutet ungeordnete thermische Bewegung der Atome bzw. Moleküle Gase und Flüssigkeiten Festkörper Translation, Rotation und innere Schwingung von Molekülen Schwingung aller Atome um die feste Ruhelage Die damit verknüpfte Energie nennt man Wärme oder Wärmeenergie Q Q = C (T 2 T 1 ) = c m (T 2 T 1 ) Um die Temperatur eines Körpers zu erhöhen, ist eine bestimmte Wärmeenergie notwendig C: Wärmekapazität des Körpers c = C/m: spezifische Wärmekapazität des Körpers [C] = J / K [c] = J / (K kg) T. Kießling: Auswertung von Messungen und Fehlerrechnung - Graphische Darstellungen, Etrapolation Vorlesung 10-17
18 Beispiel: Kalorimetrie Zur Messung der Wärmekapazität führt man Q meist als elektrische Energie zu Q = U * I * t Vakuum Q kann aber auch als mechanische Arbeit (Reibung, Deformation) oder aus der Wärmeenergie anderer Körper stammen (Mischungskalorimeter) Probe Vakuum T. Kießling: Auswertung von Messungen und Fehlerrechnung - Graphische Darstellungen, Etrapolation Vorlesung 10-18
19 Beispiel: Kalorimetrie Bestimmungsgleichung der Wärmekapazität eines Körpers: Q m c ( T T ) AB K K K M Q m c ( T T ) AUF W W M W Q AUF = Q AB Probe Vakuum Massen: Wiegen c W : Literaturwert Temperaturen: Messen T. Kießling: Auswertung von Messungen und Fehlerrechnung - Graphische Darstellungen, Etrapolation Vorlesung 10-19
20 Beispiel: Kalorimetrie Q m c ( T T )? AUF W W M W QAUF, T mt ct ( TM TW ) QAUF, G mg cg ( TM TW ) Thermometer Gefäß Rührer QAUF, R mr cr ( TM TW ) Zusammenfassung: Wärmekapazität des Kalorimetergefäßes g mt ct mgcg mrcr... T. Kießling: Auswertung von Messungen und Fehlerrechnung - Graphische Darstellungen, Etrapolation Vorlesung 10-20
21 Beispiel: Kalorimetrie Q m c ( T T ) AB K K K M Q m c ( T T ) ( T T ) AUF W W M W g M W T W T A T A ist die Temperatur, die das Wasser am Anfang des Wärmeaustausches besitzt. Probe Vakuum c K m c T T W W g M A m ( T T ) K K M T. Kießling: Auswertung von Messungen und Fehlerrechnung - Graphische Darstellungen, Etrapolation Vorlesung 10-21
22 Graphische Korrektur der Wärmeverluste eines Kalorimetergefäßes Umwandlung des realen Verlaufs in einen idealen Verlauf. Knick?! T. Kießling: Auswertung von Messungen und Fehlerrechnung - Graphische Darstellungen, Etrapolation Vorlesung 10-22
23 Graphische Korrektur der Wärmeverluste eines Kalorimetergefäßes Umwandlung des realen Verlaufs in einen idealen Verlauf. T M T A T. Kießling: Auswertung von Messungen und Fehlerrechnung - Graphische Darstellungen, Etrapolation Vorlesung 10-23
24 Wahrscheinlichkeitspapier T. Kießling: Auswertung von Messungen und Fehlerrechnung - Graphische Darstellungen, Etrapolation Vorlesung 10-24
25 Eigenschaften der Normalverteilung Eigenschaften der Funktion: symmetrisch um M Der größte Wert wird an der Stelle = M eingenommen Die Funktion geht schnell gegen Null, sobald ( M) 2 groß wird Eigenschaften, die eine Verteilung von Messwerten darstellt. Der Vorfaktor dient der Normierung. G M e 2 T. Kießling: Auswertung von Messungen und Fehlerrechnung - Graphische Darstellungen, Etrapolation Vorlesung 10-25
26 Bedeutung der Standardabweichung Wir fragen, welcher Anteil der Messungen liegt zwischen M a und M + b? P innerhalb M a und M b M b M a e M 2 2σ 2 d Zunächst a = b = T. Kießling: Auswertung von Messungen und Fehlerrechnung - Graphische Darstellungen, Etrapolation Vorlesung 10-26
27 Bedeutung der Standardabweichung Wir fragen, welcher Anteil der Messungen liegt zwischen M und M +? P innerhalb M M e M d Vereinfachung durch Substitution ( M) / = z damit wird d = dz und die Integrationsgrenzen 1 P 1 2 innerhalb e dz z 2 T. Kießling: Auswertung von Messungen und Fehlerrechnung - Graphische Darstellungen, Etrapolation Vorlesung 10-27
28 Bedeutung der Standardabweichung P 1 2 innerhalb 1 e dz Dieses Integral ist ein Standardintegral der mathematischen Physik und wird oft als Fehlerfunktion bezeichnet, Bezeichnung erf(t) [errorfunction] z 2 P t 2 innerhalb tσ e dz 1 2 t z 2 T. Kießling: Auswertung von Messungen und Fehlerrechnung - Graphische Darstellungen, Etrapolation Vorlesung 10-28
29 Die Fehlerfunktion P t 2 innerhalb t e dz 1 2 t Dieses Integral kann nicht analytisch ausgewertet werden. Es liegt in tabellarischer Funktion vor. z 2 t P (%) T. Kießling: Auswertung von Messungen und Fehlerrechnung - Graphische Darstellungen, Etrapolation Vorlesung 10-29
30 Die Fehlerfunktion allgemeine Form Häufig auftretende Fragestellungen: Wie viel % der Messwerte liegen oberhalb (unterhalb) eines bestimmten Messwertes? Wie groß ist das Integral bis zu einem bestimmten Wert? t z 1 2 t e zwischen und σ 2 2 dz T. Kießling: Auswertung von Messungen und Fehlerrechnung - Graphische Darstellungen, Etrapolation Vorlesung 10-30
31 Die Fehlerfunktion allgemeine Form t z 1 2 t e zwischen und σ 2 2 dz Dies führt zum Wahrscheinlichkeitspapier Letztlich zur graphischen Beantwortung der Frage: Ist Messreihe normalverteilt? T. Kießling: Auswertung von Messungen und Fehlerrechnung - Graphische Darstellungen, Etrapolation Vorlesung 10-31
32 Wahrscheinlichkeitspapier Linearisierte Darstellung T. Kießling: Auswertung von Messungen und Fehlerrechnung - Graphische Darstellungen, Etrapolation Vorlesung 10-32
33 Wahrscheinlichkeitspapier Linearisierte Darstellung T. Kießling: Auswertung von Messungen und Fehlerrechnung - Graphische Darstellungen, Etrapolation Vorlesung 10-33
34 Wahrscheinlichkeitspapier Linearisierte Darstellung T. Kießling: Auswertung von Messungen und Fehlerrechnung - Graphische Darstellungen, Etrapolation Vorlesung 10-34
35 Wahrscheinlichkeitspapier T. Kießling: Auswertung von Messungen und Fehlerrechnung - Graphische Darstellungen, Etrapolation Vorlesung 10-35
36 Wahrscheinlichkeitspapier Urliste: Aulenbacher, Paditz: Lehr und Übungsbuch Mathematik, Band 3. Lineare Algebra Stochastik, Hanser Verlag T. Kießling: Auswertung von Messungen und Fehlerrechnung - Graphische Darstellungen, Etrapolation Vorlesung 10-36
37 Wahrscheinlichkeitspapier T. Kießling: Auswertung von Messungen und Fehlerrechnung - Graphische Darstellungen, Etrapolation Vorlesung 10-37
38 Wahrscheinlichkeitspapier Vergessen Sie diese Balken, die sind UNSINN!!! T. Kießling: Auswertung von Messungen und Fehlerrechnung - Graphische Darstellungen, Etrapolation Vorlesung 10-38
39 Wahrscheinlichkeitspapier Gerade am rechten Rand des Intervalls MW = 13, T. Kießling: Auswertung von Messungen und Fehlerrechnung - Graphische Darstellungen, Etrapolation Vorlesung 10-39
40 Wahrscheinlichkeitspapier Die Gerade wird durch die rechte Grenze des Intervalls gelegt. Und es werden die Werte auch nur für die rechte Grenze eingezeichnet T. Kießling: Auswertung von Messungen und Fehlerrechnung - Graphische Darstellungen, Etrapolation Vorlesung 10-40
41 Wahrscheinlichkeitspapier MW = 13, T. Kießling: Auswertung von Messungen und Fehlerrechnung - Graphische Darstellungen, Etrapolation Vorlesung 10-41
42 Wahrscheinlichkeitspapier MW = 13,75 bis 3 0,135% bis 2 2,28% bis 1 15,87% bis 1 84,13% bis 2 97,72% bis 3 99,865% + +: 16,30 -: 11,19 - = 2, T. Kießling: Auswertung von Messungen und Fehlerrechnung - Graphische Darstellungen, Etrapolation Vorlesung 10-42
43 Verwerfen von Daten T. Kießling: Auswertung von Messungen und Fehlerrechnung - Graphische Darstellungen, Etrapolation Vorlesung 10-43
44 Verwerfen von Daten Messreihe: 3.8, 3.5, 4.0, 3.9, 3.4, 1.8 Ist der Wert 1.8 ein Messfehler, ein Rechenfehler oder ein legitimer Messwert? Mittelwert: 3.40 Stichprobenstandardabweichung = 0.82 Der Messwert 1.8 unterscheidet sich vom Mittelwert 3.40 um 1.95 Standardabweichungen. Gauß Verteilung: P (außerhalb 1.95 ) = 1 P(innerhalb 1.95 ) =? T. Kießling: Auswertung von Messungen und Fehlerrechnung - Graphische Darstellungen, Etrapolation Vorlesung 10-44
45 Verwerfen von Daten T. Kießling: Auswertung von Messungen und Fehlerrechnung - Graphische Darstellungen, Etrapolation Vorlesung 10-45
46 Verwerfen von Daten Messreihe: 3.8, 3.5, 4.0, 3.9, 3.4, 1.8 Ist der Wert 1.8 ein Messfehler, ein Rechenfehler oder ein legitimer Messwert? Mittelwert: 3.40 Stichprobenstandardabweichung = 0.82 Der Messwert 1.8 unterscheidet sich vom Mittelwert 3.40 um 1.95 Standardabweichungen. Gauß Verteilung: P (außerhalb 1.95 ) = 1 P(innerhalb 1.95 ) = 5.12 % T. Kießling: Auswertung von Messungen und Fehlerrechnung - Graphische Darstellungen, Etrapolation Vorlesung 10-46
47 Verwerfen von Daten Ist der Wert 1.8 ein Messfehler? Rechenfehler? Legitimer Messwert? Wir erwarten bei einer Normal Verteilung, dass 5% der Messwerte den gleichen oder einen größeren Abstand vom Mittelwert besitzen 5% bedeutet 1 Messwert bei etwa 20 Messungen. Wir haben aber nur 6 Messungen durchgeführt. Bei sechs Messungen und 5 % Wahrscheinlichkeit hätten wir im Mittel etwa 0.3 Messwerte erwarten können, die ähnlich schlecht sind wie 1.8. Wie glaubwürdig ist der Messwert 1.8? T. Kießling: Auswertung von Messungen und Fehlerrechnung - Graphische Darstellungen, Etrapolation Vorlesung 10-47
48 Verwerfen von Daten das Chauvenet sche Kriterium Wie glaubwürdig ist der Messwert 1.8? Entscheidung des Eperimentators Das Chauvenet sche Kriterium Das Chauvenetsche Kriterium sagt, wenn die erwartete Anzahl von Messwerten, die ebenso schlecht sind wie der verdächtige Messwert, kleiner als 1/2 ist, dann ist der Messwert zu verwerfen. Wir verwerfen also den Wert 1.8 Neue Berechnung des Mittelwertes T. Kießling: Auswertung von Messungen und Fehlerrechnung - Graphische Darstellungen, Etrapolation Vorlesung 10-48
49 Verwerfen von Daten Das Chauvenet sche Kriterium 3.8, 3.5, 4.0, 3.9, (3.40) 0.26 (0.82) Wiederholung des Kriteriums? Außerhalb von 1 liegen 32 % der Messwerte, also 0.32 * 5 = 1.6 von 5 Messwerten sollten außerhalb dieses Intervalls liegen. Wir haben zwei, was akzeptabel ist. T. Kießling: Auswertung von Messungen und Fehlerrechnung - Graphische Darstellungen, Etrapolation Vorlesung 10-49
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