4. Nichtstationarität und Kointegration

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1 4. Nichtstationarität und Kointegration 4.1 Einheitswurzeltests (Unit-Root-Tests) Spurious regression In einer Simulationsstudie haben Granger und Newbold (1974) aus zwei unabhängigen Random Walks (Unit-Root-Prozesse) ( 4.1) X t = X t 1 + ε1t und ( 4.2) Y t = Y t 1 + ε2t in der (ε 1t ) und (ε 1t ) unabhängige White-Noise-Prozesse sind, ein Regressionsmodell gebildet ( 4.3) Yt = ß0 + ß1 Xt + Ut Bei den Simulationen stellte sich heraus, dass die Nullhypothese H 0 : ß 1 = 0 bei einem Signifikanzniveau α von 5% in ca. 75% der Fälle abgelehnt werden musste. Außerdem nahm das Bestimmtheitsmaß R² hohe Werte an, während die Residuen autokorreliert waren. Substanziell lassen sich die Signifikanz und hohe Bestimmheit jedoch nicht interpretieren, da die Regression aus unabhängigen Prozessen gebildet worden ist. Der scheinbare Zusammenhang ( spurious regression ) ist ein Artefakt der Nichtstationarität. :

2 Dickey-Fuller-Tests und Integrationsordnung Mit Hilfe von Dickey-Fuller-Tests können Variablen (Zeitreihen) auf Nichtstationarität getestet werden. Wie bereits bei den ARIMA-Modellen erörtert, können nichtstationäre Variablen mit stochastischen Trends durch Differenzenbildung ( Differenzierung ) in stationäre Variablen überführt werden. Kann eine nichtstationäre Zeitreihe (y t ) nach einfacher Differenzenbildung in eine stationäre Reihe überführt werden, ist sie integriert von der Ordnung 1: Y t I(1). Allgemein ist eine Zeitreihe (y t ) integriert von der Ordnung d, Y t I(d), falls sie nach d-maliger Anwendung des Differenzenoperators Δ stationär wird. Eine stationäre Reihe (y t ) ist integriert von der Ordnung 0: Y t I(0). Die Dickey-Fuller-Tests geben Aufschluss über die Ordnung der Integration von Variablen (Zeitreihen), womit sie gleichzeitig anzeigen, ob eine Reihe stationär oder nichtstationär ist.

3 Trendstationarität und Differenzenstationarität Teststrategie von Elder und Kennedy (2001) bei Anwendung des Dickey-Fuller-Tests (DF- Test) zur Überprüfung einer Zeitreihe (y t ) auf Nichtstationarität: Ausnutzung theoretischer und empirischer Erkenntnisse (z.b. Zeitreihendiagramm), um die Zeitreihe als langfristig wachsend oder nicht wachsend zu bezeichnen. Beispiel: - Zeitreihen des BIP, des Einkommens, des Konsums wachsen im Zeitverlauf - Zeitreihen der Zinssätze, Inflationsraten, Arbeitslosenquoten folgen langfristig keinem Wachstumstrend Bei langfristig wachsenden Zeitreihen bleibt die Frage offen, ob die Zeitreihenwerte y t durch einen deterministischen Trend wie z.b. m t = α + β t und einer Überlagerung von White- Noise-Störgrößen U t, (4.4) Yt = α + β t + Ut, β 0, oder aber durch einen stochastischen Trend der Form (4.5) Yt erzeugt werden. = δ + Yt 1 + Ut, δ 0, Wie sich zeigt, unterscheiden sich die Prozesse (4.4) und (4.5) fundamental voneinander. Gleichung (4.4): Trendstationärer Prozess Gleichung (4.5): Differenzstationärer Prozess

4 Trendstationärer Prozess Y(t) 24 Trendstationärer Prozess: Y(t)= *t + U(t) 20 (U t ):White-Noise-Prozess mit E(U t ) = 0 und Var(U t ) = t Trendstationärer Prozess (4.4): Erwartungswert: E(Y t ) = α + β t Der deterministische Trend wird durch zufällige Abweichungen überlagert, die durch die White-Noise-Zufallsvariable U t hervorgerufen werden. Sie haben eine konstante Varianz Var(Y t ) = Var(U t ) = σ 2 und sind unkorreliert: Cov(Y t, Y t-τ ) = Cov(U t, U t-τ ) = 0. Eliminiert man den linearen Trend ß t, dann werden die Zeitreihenwerte näherungsweise zufällig um einen konstanten Mittelwert α streuen.

5 Differenzstationärer Prozess Y(t) 35 Differenzstationärer Prozess: Y(t) = Y(t-1) + U(t) (U t ):White-Noise-Prozess mit E(U t ) = 0 und Var(U t ) = t Differenzstationärer Prozess (4.5): Erwartungswert: E(Y t ) = δ t Stochastische Trends, die durch Kumulation der White-Noise-Zufallsvariablen U t erzeugt werden. Y t hat eine zeitvariable Varianz und weist eine von 0 verschiedene Kovarianz auf. Durch Differenzenbildung kann die Zeitreihe in eine Reihe überführt werden, die näherungsweise zufällig um einen konstanten Mittelwert δ streuen.

6 Substituieren wir nun in (4.5) Y t-1 durch Y t 1 = δ + Yt 2 + dann erhalten wir Y t = 2δ + Y U t 1 t 2 + Ut + U Substitution von Y t-2 durch t 1 Yt 2 = δ + Yt 3 + Ut 2 führt zu Yt = 3δ + Yt 3 + Ut + Ut 1 + Ut 2 Nach sukzessiver Substitution erhält man die Beziehung t-1 (4.6) Yt = δ t + U t-τ τ= 0 wenn man der Einfachheit halber einen Startwert y 0 =0 annimmt. Prozessvarianz: 2 Var(Y t ) = t σ t Autokorrelationskoeffizient: ρt,s =, t s s

7 Fall 1: Langfristig wachsende Zeitreihe (y t ) Um zwischen einem Random Walk mit Drift und einem trendstationären Prozess zu differenzieren, geht der Dickey-Fuller-Test (DF-Test) von der Schätzgleichung ( 4.7) ΔYt = ( ρ 1)Yt 1 + μ + ß t + Ut aus, die sich aus einer Verknüpfung der Trendgleichung (4.4) und (4.5) ergibt. Die beiden Konstanten α und δ sind dabei durch die einheitliche Konstante µ ersetzt worden. Für ρ=1 und ß=0 geht Gleichung (4.7) in einem Random Walk mit Drift über, während man für ρ=0 und ß 0 einen trendstationären Prozess erhält. Ein Random Walk mit Drift bei einem gleichzeitig vorhandenem determininistischen Zeittrend wird in der Ökonomie als unrealistisch ausgeschlossen. Wenn die Zeitreihe (y t ) aber trendbehaftet ist und das gleichzeitige Eintreten eines deterministischen und stochastischen Trends ausgeschlossen werden kann, lässt sich statt eines simultanen Tests der Regressionskoeffizienten ρ 1 und ß (auf Basis der F-Statistik) ein einfacher Test (auf Basis der t-statistik) durchgeführen. Der Dickey-Fuller-Test (DF-Test) stellt die Nullhypothese H 0 : ρ 1=0, d.h. ρ=1 (Random Walk mit Drift) der Alternativhypothese H 1 : ρ 1<0, d.h. ρ<1 (Trendstationarität) gegenüber. Da ρ>1 einen explosiven Prozess hervorrufen würde, ist der DF-Test ein einseitiger Test.

8 Die Prüfgröße des DF-Tests, ρˆ 1 (4.8) t = σˆ ρ ˆ folgt unter der Nullhypothese der Nichtstationarität allerdings nicht der t-verteilung. Die übliche Standardverteilung der t-statistik (4.8) gilt nur unter der Annahme der Stationarität, die hier nicht gegeben ist. Dickey und Fuller (1979) haben die Verteilung der Prüfgröße (4.8) unter der Annahme der Nichtstationarität durch Simulation hergeleitet. Hierbei hat sich gezeigt, dass die Dickey-Fuller-Verteilung linksseitig der t-verteilung liegt und stärker um einen negativen Erwartungswert konzentriert ist. Abb. 4.1 stellt die Dickey-Fuller-Verteilung der t-verteilung für n=100 gegenüber. Abb. 4.1: Dickey-Fuller-Verteilung und t-verteilung (n=100) f(t) 0,7 Dickey-Fuller-Verteilung t-verteilung 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0, t

9 Für große Stichproben beträgt der kritische Wert der t-verteilung bei einem Signifikanzniveau von 5% t ; 0,05 = 1,65, während der kritische Wert der Dickey-Fuller- Verteilung in dem hier betrachteten Fall 3,41 beträgt. Die Nullhypothese der Nichtstationarität wird daher bei einem großen Stichprobenumfang bei einem Signifikanzniveau von 5% angenommen, wenn die Prüfgröße (4.8) größer oder gleich dem kritischen Wert DF w ; 0,05 von 3,41 ist,[1] t DF w ; 0,05 = 3,41 => H 0 annehmen, d.h. Nichtstationarität (Random Walk mit Drift), und ablehnt, wenn die Prüfgröße (4.8) den kritischen Wert DF w ; 0,05 unterschreitet: (Trend) von 3,41 t < DF w ; 0,05 = 3,41 => H 0 ablehnen, d.h. Trendstationarität (zufällige Schwankungen um einen linearen Trend). Voraussetzung für die Anwendung des DF-Tests ist die White-Noise-Eigenschaft der Störgröße U t. Sie kann mit Hilfe eines Korrelogramms der Residuen oder dem Ljung-Box- Test überprüft werden. Allgemein könnte eine Systematik der Störgröße durch einen ARMA- Prozess modelliert werden. Beim DF-Test beschränkt man sich jedoch auf eine AR- Modellierung, d.h. man erweitert die Schätzgleichung (4.7) um zeitlich verzögerte Differenzen Y t-1, Y t-2,..., Y t-(p-1) in der y-variablen. Man bezeichnet den auf der Schätzgleichung p 1 (4.9) ΔYt = (1 ρ)yt 1 + μ + β t + βj ΔYt j + Ut j= 1 [1] Der Index w beim kritischen Wert steht für den Fall einer langfristig wachsenden Zeitreihe.

10 basierenden Unit-Root-Test als Augmented Dickey-Fuller-Test (ADF-Test). Bei der Wahl des maximalen Lags der differenzierten y-variablen hat man sich grundsätzlich an einer Herstellung der White-Noise-Eigenschaft von U t zu orientieren. Hierzu könnte ebenfalls wiederum das Korrelogramm der Residuen in Verbindung mit dem Ljung-Box-Test herangezogen werden. Man könnte sich aber bei der Wahl von p auch an dem gerade noch signifikanten Lag Y t-j orientieren. Da es sich als besser erwiesen hat, zu viele als zu wenige Lag-Terme einzubeziehen, erscheint der sich aus beiden Kriterien ergebende maximale Lag eine sich anbietende Strategie zu sein. In Ökonometrie-Programmen wie z.b. EViews lässt sich alternativ von Informationskriterien wie z.b. AIC oder BIC Gebrauch machen.

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13 Fall 2: Langfristig nicht wachsende Zeitreihe (y t ) Wenn eine Zeitreihe (y t ) langfristig nicht wächst, reduziert sich der hinter der Gleichung (4.4) stehende Determinismus wegen ß=0 zu einer Konstanten, die jetzt mit μ bezeichnet wird und die bei ökonomischen Variablen wie der Inflationsrate, der Arbeitslosenquote oder einem Zinssatz typischerweise ungleich null wäre (μ 0). In diesem Fall würde bei ρ=0 Stationarität offenbar bedeuten, dass die Zeitreihenwerte zufällig um eine von null verschiedene Konstante μ schwanken: (4.10) Y t = μ + U t. Entscheidend hierfür ist aber nicht, dass der autoregressive Parameter ρ gleich 0, sondern kleiner als 1 (ρ<1) ist. Denn in diesem Fall geht Gleichung (4.7) mit ß=0 nach Anwendung des Erwartungswertoperators, E(Y t ) = ρ E(Y t-1 ) + μ + E(U t ), ρ<1, wegen E(Y t ) = E(Y t-1 ) = μ y und E(U t ) = 0 in die Form (1-ρ) μ y = μ und damit μ ( 4.11) μy = 1 ρ über, so dass Y t ebenfalls um eine Konstante schwankt, die jetzt aber durch das Prozessmittel (4.11) gegeben ist. Die Fluktuationen um den Prozessmittelwert enthalten hier eine AR(1)- Systematik (allgemeiner: ARMA-Struktur möglich), die ein Abdriften ausschließt.

14 Sofern die langfristig nicht-wachsende Zeitreihe (y t ) dagegen nichtstationär ist, wird sie durch den stochastischen Prozess (4.12) Y t = Y t-1 + U t erzeugt, der sich aus Gleichung (4.5) mit δ = 0 (bei Prozesskombination µ) ergibt. Es handelt sich hierbei um einen Random Walk ohne Drift, dessen Nichtstationarität wir bereits gezeigt haben. Sie ergibt sich aus der nicht-konstanten Varianz des Prozesses, die für t über alle Grenzen wächst. Eine Verknüpfung des Random Walks ohne Drift [Gl. (4.12)] mit stationären Schwankungen um das Prozessmittel (4.11) ergibt die Schätzgleichung (4.13) Y t = μ + ρ Y t-1 + U t (allgemein, mit ρ=1: Random Walk), die in der Form (4.13 ) Y t = μ + (ρ-1) Y t-1 + U t dem DF-Test zugrunde liegt. Zu testen ist hier die Nullhypothese H 0 : ρ 1 = 0, d.h. ρ = 1 (Random Walk ohne Drift) gegen die Alternativhypothese H 1 : ρ 1 < 0, d.h. ρ < 1 (Stationarität).

15 Wie im Fall 1 folgt die Prüfgröße: (4.14) ρˆ 1 t = ˆ δ ρ ˆ einer Dickey-Fuller-Verteilung, die aber hier dichter bei der standardmäßigen t-verteilung liegt (Abb. 4.2). Der kritische Wert liegt in großen Stichproben z.b. bei einem Signifikanzniveau von 5% bei 2,86 und ist mithin größer als im Fall einer wachsenden Zeitreihe. Abb. 2: f(t) Dickey-Fuller-Verteilung und t-verteilung (n=100) 0,7 Dickey-Fuller-Verteilung t-verteilung 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0, t

16 Da bei Annahme der Nullhypothese H 0 : ρ = 1 eine Konstante μ 0 eine langfristig wachsende Zeitreihe (y t ) implizieren würde, was wir aber a priori ausgeschlossen haben, können wir in diesem Fall auf Nichtstationarität in Form eines Random Walks ohne Drift schließen: Bei Ablehnung der Nullhypothese gehen wir dagegen von einem stationärem Prozess aus, der allgemein um einen konstanten Mittelwert μ y schwankt. Speziell für ρ = 0 ergeben sich zufällige Schwankungen der Zeitreihenwerte um den Parameter μ. Bei großen Stichproben lassen sich die Testentscheidungen z.b. bei einem Signifikanzniveau von 5% wie folgt formalisieren:[1] t w DF,o,o5 =-2,86 => H 0 annehmen, d.h. Nichtstationarität (Random Walk ohne Drift) w DF,o,o5 t< =-2,86 => H 0 ablehnen, d.h. Stationarität (zufällige Schwankung um Konstante) Wenn (U t ) kein reiner Zufallsprozess (white noise) ist, sondern eine ARMA-Struktur enthält muss anstelle des DF-Tests der ADF-Test zur Überprüfung der Nullhypothese einer Einheitswurzel (Nichtstationarität) eingesetzt werden. [1] Der Index beim kritischen Wert steht für den Fall einer langfristigen nicht wachsenden Zeitreihe.

17 Beispiel: Stochastischer Prozess (Y t ) mit reversiblen Abweichungen von μ y Stochastischer Prozess: Y t = 0,8 Y t-1 + U t [AR(1)-Prozess] (U t ): White-Noise-Prozess mit E(U t ) = 0 und Var(U t ) = 1 Y(t) 4 Stochastischer Prozess mit reversiblen Abweichungen vom Prozessmittelwert_ Y(t) = 0,8*Y(t-1) + U(t) t

18 Null Hypothesis: XAR08A1 has a unit root Exogenous: Constant Lag Length: 0 (Automatic based on SIC, MAXLAG=12) t-statistic Prob.* Augmented Dickey-Fuller test statistic Test critical values: 1% level % level % level *MacKinnon (1996) one-sided p-values. Augmented Dickey-Fuller Test Equation Dependent Variable: D(XAR08A1) Method: Least Squares Sample (adjusted): Included observations: 99 after adjustments Variable Coefficient Std. Error t-statistic Prob. XAR08A1(-1) C R-squared Mean dependent var Adjusted R-squared S.D. dependent var S.E. of regression Akaike info criterion Sum squared resid Schwarz criterion Log likelihood F-statistic Durbin-Watson stat Prob(F-statistic)

19 Beispiel: Stochastischer Prozess (Y t ) mit nicht-reversiblen Abweichungen von μ y Stochastischer Prozess: Y t = Y t-1 + U t [AR(1)-Prozess] (U t ): White-Noise-Prozess mit E(U t ) = 0 und Var(U t ) = 1 Y(t) 8 Stochastischer Prozess mit nicht-reversiblen Abweichungen vom Prozessmittelwert: Y(t) = Y(t-1) + U(t) t

20 Null Hypothesis: X1AA has a unit root Exogenous: Constant Lag Length: 0 (Automatic based on SIC, MAXLAG=12) t-statistic Prob.* Augmented Dickey-Fuller test statistic Test critical values: 1% level % level % level *MacKinnon (1996) one-sided p-values. Augmented Dickey-Fuller Test Equation Dependent Variable: D(X1AA) Method: Least Squares Date: 07/31/08 Time: 19:02 Sample (adjusted): Included observations: 99 after adjustments Variable Coefficient Std. Error t-statistic Prob. X1AA(-1) C R-squared Mean dependent var Adjusted R-squared S.D. dependent var S.E. of regression Akaike info criterion Sum squared resid Schwarz criterion Log likelihood F-statistic Durbin-Watson stat Prob(F-statistic)