Stochastik-Praktikum
|
|
- Roland Bastian Lange
- vor 6 Jahren
- Abrufe
Transkript
1 Stochastik-Praktikum Zeitreihenanalyse Peter Frentrup Humboldt-Universität zu Berlin 19. Dezember 2017 (Humboldt-Universität zu Berlin) Zeitreihenanalyse 19. Dezember / 13
2 Übersicht 1 Zeitreihen Weißes Rauschen (WN) Moving Average (MA) Autoregressive (AR, ARMA) Autoregressiv mit bedingter Heteroskedastizität (ARCH) 2 Vorhersagen Yule-Walker-Schätzer (Humboldt-Universität zu Berlin) Zeitreihenanalyse 19. Dezember / 13
3 Zeitreihen Definition Ein stochastischer Prozess (X t ) t T mit diskretem T = N 0 oder T = Z heißt Zeitreihe. Eine Zeitreihe (X t ) heißt (strikt) stationär, falls n N, t 1,..., t n, t T : (X 1t,..., X tn ) d = (X t1 +t,..., X tn+t). Eine Zeitreihe (X t ) mit X t L 2 (P) heißt schwach stationär falls r, s, t T : E[X s ] = E[X s+t ], Cov(X r, X s ) = Cov(X r+t, X s+t ). In diesem Fall heißt t c(t) := Cov(X s, X s+t ) Autokovarianzfunktion (s T beliebig) und t ρ(t) := c(t)/c(0) Autokorrelationsfunktion. (Humboldt-Universität zu Berlin) Zeitreihenanalyse 19. Dezember / 13
4 Zeitreihen Stationäre Zeitreihen 1 Jährliche Regenmengen 2 Umtauschkurs Euro Dollar 3 Anzahl Autounfälle 4 Herzfrequenz einer gesunden Person Nicht-Stationäre Zeitreihen 1 Jährliche Marienkäferpopulation 2 Tägliche Regenmengen 3 Stündliches Verkehrsaufkommen an der Rudower Chaussee Nach herausrechnen von Trends und saisonalen Komponenten können letztere teilweise auch als strationär angenommen werden. (Humboldt-Universität zu Berlin) Zeitreihenanalyse 19. Dezember / 13
5 Zeitreihen Stationäre Zeitreihen 1 Jährliche Regenmengen 2 Umtauschkurs Euro Dollar 3 Anzahl Autounfälle 4 Herzfrequenz einer gesunden Person Nicht-Stationäre Zeitreihen 1 Jährliche Marienkäferpopulation 2 Tägliche Regenmengen 3 Stündliches Verkehrsaufkommen an der Rudower Chaussee Nach herausrechnen von Trends und saisonalen Komponenten können letztere teilweise auch als strationär angenommen werden. (Humboldt-Universität zu Berlin) Zeitreihenanalyse 19. Dezember / 13
6 Definition Ein schwach stationärer Prozess (ε t ) t Z mit E[ε t ] = 0 und Autokovarianzfunktion { σ 2 t = 0, c(t) = 0 t 0 heißt weißes Rauschen (engl. white noise), (ε t ) WN(0, σ 2 ). Falls zudem die ε t i.i.d. sind, so schreiben wir (ε t ) IID(0, σ 2 ). 4 Weißes Rauschen t U [ 3, 3] 4 Weißes Rauschen t (0, 1) (Humboldt-Universität zu Berlin) Zeitreihenanalyse 19. Dezember / 13
7 Definition (MA) Für (ε t ) WN(0, σ 2 ) und b 1,..., b q R, q N, definiert X t := ε t + b 1 ε t b q ε t q, t Z, eine stationäre Zeitreihe, genannt Moving Average Zeitreihe (X t ) MA(q). MA(7)-Zeitreihe (Humboldt-Universität zu Berlin) Zeitreihenanalyse 19. Dezember / 13
8 Definition (AR und ARMA) Eine Zeitreihe (X t ) t Z heißt Autoregressiv mit Ordnung p N, (X t ) AR(p), falls X t := a 1 X t 1 + a 2 X t a p X t p + ε t, t Z, für (ε t ) WN(0, σ 2 ) und Parameter a 1,..., a p R, p N. Mit b 1,..., b q R, q N, heißt eine Lösung von X t := a 1 X t a p X t p + ε t + b 1 ε t b q ε t q, t Z, Autoregressive Moving Average Zeitreihe, (X t ) ARMA(p, q) (Humboldt-Universität zu Berlin) Zeitreihenanalyse 19. Dezember / 13
9 X ARMA(p, q): X t := a 1 X t a p X t p + ε t + b 1 ε t b q ε t q, t Z. Lemma Sei (ε t ) WN(0, σ 2 ). Falls a < 1, so gibt genau eine schwach stationäre AR(1)-Zeitreihe X t = ax t 1 + ε t, t Z. (nämlich X t = j=0 aj ε t j ) Für viele konkrete (ε t ) t Z WN(0, σ 2 ) und Parameter a j, b j lassen sich die Anfangswerte X p+1,..., X 0 einer (schwach) stationären ARMA(p, q)-zeitreihe (X t ) t N explizit berechnen/simulieren, ohne alle (ε t ) t 0 simulieren zu müssen. (Humboldt-Universität zu Berlin) Zeitreihenanalyse 19. Dezember / 13
10 Autoregressiv mit bedingter Heteroskedastizität (ARCH) Definition (ARCH(1)-Zeitreihe) Für zufälliges X 0 mit E[X0 2] <, unabhängiges (ε t) IID(0, 1), und Parameter a 0 > 0 und a 1 (0, 1) heißt X t = a 0 + a 1 Xt 1 2 ε t, t N, (1) autoregressiv mit bedingter Heteroskedastizität (engl. ARCH(1)). ARCH-Prozesse wurden 1982 von Robert Engle zur Modellierung finanzieller Zeitreihen (z.b. Renditen eines Finanzgutes) eingeführt. Lemma X t aus (1) ist ein weißes Rauschen (bei geeignet gewähltem X 0 ). Beweis: Übung. (Humboldt-Universität zu Berlin) Zeitreihenanalyse 19. Dezember / 13
11 Autoregressiv mit bedingter Heteroskedastizität (ARCH) Definition (ARCH(1)-Zeitreihe) Für zufälliges X 0 mit E[X0 2] <, unabhängiges (ε t) IID(0, 1), und Parameter a 0 > 0 und a 1 (0, 1) heißt X t = a 0 + a 1 Xt 1 2 ε t, t N, (1) autoregressiv mit bedingter Heteroskedastizität (engl. ARCH(1)). ARCH-Prozesse wurden 1982 von Robert Engle zur Modellierung finanzieller Zeitreihen (z.b. Renditen eines Finanzgutes) eingeführt. Lemma X t aus (1) ist ein weißes Rauschen (bei geeignet gewähltem X 0 ). Beweis: Übung. (Humboldt-Universität zu Berlin) Zeitreihenanalyse 19. Dezember / 13
12 Übersicht 1 Zeitreihen Weißes Rauschen (WN) Moving Average (MA) Autoregressive (AR, ARMA) Autoregressiv mit bedingter Heteroskedastizität (ARCH) 2 Vorhersagen Yule-Walker-Schätzer (Humboldt-Universität zu Berlin) Zeitreihenanalyse 19. Dezember / 13
13 Vorhersagen AR(p)-Zeitreihe X t+1 = a 1 X t a p X t p+1 + ε t+1, (ε t ) WN(0, σ 2 ). Die beste lineare Vorhersage für X t+1 gegeben der Beobachtungen X 0,..., X t (t p) ist ˆX t+1 := a 1 X t a p X t p+1 + E[ε t+1 ], }{{} =0 d.h. E[( ˆX t+1 X t+1 ) 2 X 0,..., X t ] ist minimal für diesen Schätzer. Problem: Parameter a 1,..., a p unbekannt. (Humboldt-Universität zu Berlin) Zeitreihenanalyse 19. Dezember / 13
14 Vorhersagen AR(p)-Zeitreihe X t+1 = a 1 X t a p X t p+1 + ε t+1, (ε t ) WN(0, σ 2 ). Die beste lineare Vorhersage für X t+1 gegeben der Beobachtungen X 0,..., X t (t p) ist ˆX t+1 := a 1 X t a p X t p+1 + E[ε t+1 ], }{{} =0 d.h. E[( ˆX t+1 X t+1 ) 2 X 0,..., X t ] ist minimal für diesen Schätzer. Problem: Parameter a 1,..., a p unbekannt. (Humboldt-Universität zu Berlin) Zeitreihenanalyse 19. Dezember / 13
15 Empirisches Mittel gegeben X 1,..., X n : ˆµ n := 1 n n X i. i=1 Empirische Autokovarianz gegeben X 1,..., X n : ĉ(h) := 1 n h (X i ˆµ n )(X i+h ˆµ n ), c( h) := c(h), h N 0. n i=1 Empirische Autokorrelation gegeben X 1,..., X n : ˆρ(h) := ĉ(h) ĉ(0). (Humboldt-Universität zu Berlin) Zeitreihenanalyse 19. Dezember / 13
16 Yule-Walker-Schätzer X : schwach stationärer, kausaler (d.h. X t hängt nur von Vergangenheit ab) AR(1)-Prozess mit (ε t ) WN(0, σ 2 ). Problem: Parameter a 1,..., a p Schätzen. E[X t ] = 0, Autokovarianz: c(h) = Cov(X t, X t h ) = Cov(a 1 X t a p X t p + ε t, X t h ) = a 1 c(h 1) a p c(h p) für h 1, c(0) = Cov(X t, X t ) = Cov(a 1 X t a p X t p + ε t, X t ) = a 1 c( 1) a p c( p) + σ 2. c(1) = a 1 c(0) + + a p c(p 1). c p = C p a c(p) = a 1 c(p 1) + + a p c(0) mit c p = (c(1),..., c(p)), C p = ( c(i j) ) 1 i,j p, a = (a 1,..., a p ). (Humboldt-Universität zu Berlin) Zeitreihenanalyse 19. Dezember / 13
17 Yule-Walker-Schätzer X : schwach stationärer, kausaler (d.h. X t hängt nur von Vergangenheit ab) AR(1)-Prozess mit (ε t ) WN(0, σ 2 ). Problem: Parameter a 1,..., a p Schätzen. E[X t ] = 0, Autokovarianz: c(h) = Cov(X t, X t h ) = Cov(a 1 X t a p X t p + ε t, X t h ) = a 1 c(h 1) a p c(h p) für h 1, c(0) = Cov(X t, X t ) = Cov(a 1 X t a p X t p + ε t, X t ) = a 1 c( 1) a p c( p) + σ 2. c(1) = a 1 c(0) + + a p c(p 1). c p = C p a c(p) = a 1 c(p 1) + + a p c(0) mit c p = (c(1),..., c(p)), C p = ( c(i j) ) 1 i,j p, a = (a 1,..., a p ). (Humboldt-Universität zu Berlin) Zeitreihenanalyse 19. Dezember / 13
18 Yule-Walker-Schätzer X : schwach stationärer, kausaler (d.h. X t hängt nur von Vergangenheit ab) AR(1)-Prozess mit (ε t ) WN(0, σ 2 ). Problem: Parameter a 1,..., a p Schätzen. E[X t ] = 0, Autokovarianz: c(h) = Cov(X t, X t h ) = Cov(a 1 X t a p X t p + ε t, X t h ) = a 1 c(h 1) a p c(h p) für h 1, c(0) = Cov(X t, X t ) = Cov(a 1 X t a p X t p + ε t, X t ) = a 1 c( 1) a p c( p) + σ 2. c(1) = a 1 c(0) + + a p c(p 1). c p = C p a c(p) = a 1 c(p 1) + + a p c(0) mit c p = (c(1),..., c(p)), C p = ( c(i j) ) 1 i,j p, a = (a 1,..., a p ). (Humboldt-Universität zu Berlin) Zeitreihenanalyse 19. Dezember / 13
19 Yule-Walker-Schätzer X : schwach stationärer, kausaler (d.h. X t hängt nur von Vergangenheit ab) AR(1)-Prozess mit (ε t ) WN(0, σ 2 ). Problem: Parameter a 1,..., a p Schätzen. c(1) = a 1 c(0) + + a p c(p 1). c p = C p a c(p) = a 1 c(p 1) + + a p c(0) mit c p = (c(1),..., c(p)), C p = ( c(i j) ) 1 i,j p, a = (a 1,..., a p ). Definition (Yule-Walker-Schätzer) Mit empirischer Autokovarianz ĉ(h) = 1 n h n i=1 X ix i+h (da E[X i ] = 0) heißt die Lösung â von Ĉp â = ĉ p Yule-Walker-Schätzer. (Humboldt-Universität zu Berlin) Zeitreihenanalyse 19. Dezember / 13
Analyse von Zeitreihen in der Umweltphysik und Geophysik Stochastische Prozesse
Analyse von Zeitreihen in der Umweltphysik und Geophysik Stochastische Prozesse Yannik Behr Gliederung 1 Stochastische Prozesse Stochastische Prozesse Ein stochastischer Prozess ist ein Phänomen, dessen
MehrHauptseminar zum Thema:
Fakultät Informatik Institut für angewandte Informatik Professur Technische Informationssysteme Hauptseminar zum Thema: Vergleich ARCH- und GARCH- Modelle bei der Analyse von Zeitreihen mit veränderlichen
MehrInstitut für Statistik und Mathematische Wirtschaftstheorie Universität Augsburg. PROGNOSE II - Vertiefung Aufgaben und Lösungen Sommersemester 2004
Institut für Statistik und Mathematische Wirtschaftstheorie Universität Augsburg PROGNOSE II - Vertiefung Aufgaben und Lösungen Sommersemester 2004 Aufgabe 1 U t bedeute weißes Rauschen und B den Backshift
MehrHauptseminar Technische Informationssysteme
Hauptseminar Technische Informationssysteme Thema: Vergleich verschiedener Prognosestrategien von Tobias Fochtmann Betreuer: Dr. Ribbecke 24.01.2008 Gliederung I. Einleitung II. Prognose allgemein und
Mehr6. Statistische Schätzung von ARIMA Modellen
6. Statistische Schätzung von ARIMA Modellen Vorschau: ARIMA Modelle Modellidentifikation verschiedene Schätzverfahren Modelldiagnostik Fallstudien Zeitreihenanalyse 1 6.1 ARIMA Modelle Bisher: ARMA(p,q)-Modelle:
MehrEine zeitreihenanalytische Untersuchung der Industrieproduktion in Deutschland
Eine zeitreihenanalytische Untersuchung der Industrieproduktion in Deutschland Klaus Neusser 2. Dezember 2010 Zusammenfassung Ziel dieses Beitrags ist es, den fortgeschrittenen Studierenden eine Einführung
MehrKointegration. Kapitel 19. Angewandte Ökonometrie / Ökonometrie III Michael Hauser
1 / 28 Kointegration Kapitel 19 Angewandte Ökonometrie / Ökonometrie III Michael Hauser 2 / 28 Inhalt I(d), Trends, Beispiele Spurious Regression Kointegration, common trends Fehlerkorrektur-Modell Test
MehrARCH- und GARCH-Modelle
ARCH- und GARCH-Modelle Thomas Simon Analyse und Modellierung komplexer Systeme 04.11.2009 homas Simon (Analyse und Modellierung komplexerarch- Systeme) und GARCH-Modelle 04.11.2009 1 / 27 Ausgangssituation
MehrEinführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik
Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik Dr. C.J. Luchsinger 9 Crash-Course in Statistics IV: Zeitreihenanalyse (MA, AR und ARMA) Literatur Kapitel 9 auf www.math-jobs.com/timeseriesanalysis.html
MehrEinleitung. Kapitel 1
Kapitel 1 Einleitung Die mathematische Analyse von Zeitreihen gewinnt wegen ihrer vielseitigen Anwendungsmöglichkeiten zunehmend an Bedeutung. Zu den wichtigsten Zeitreihen in der Ökonometrie zählen Preisverläufe,
Mehr5. Zeitreihenanalyse und Prognoseverfahren
5. Zeitreihenanalyse und Prognoseverfahren Stichwörter: Trend, Saisonalität, Noise, additives Modell, multiplikatives Modell, Trendfunktion, Autokorrelationsfunktion, Korrelogramm, Prognosehorizont, Prognoseintervall,
MehrVarianz und Kovarianz
KAPITEL 9 Varianz und Kovarianz 9.1. Varianz Definition 9.1.1. Sei (Ω, F, P) ein Wahrscheinlichkeitsraum und X : Ω eine Zufallsvariable. Wir benutzen die Notation (1) X L 1, falls E[ X ]
MehrEinführung in die Maximum Likelihood Methodik
in die Maximum Likelihood Methodik Thushyanthan Baskaran thushyanthan.baskaran@awi.uni-heidelberg.de Alfred Weber Institut Ruprecht Karls Universität Heidelberg Gliederung 1 2 3 4 2 / 31 Maximum Likelihood
Mehr7.2 Moment und Varianz
7.2 Moment und Varianz Def. 21 Es sei X eine zufällige Variable. Falls der Erwartungswert E( X p ) existiert, heißt der Erwartungswert EX p p tes Moment der zufälligen Variablen X. Es gilt dann: + x p
MehrKapitel 2.1: Die stochastische Sicht auf Signale Georg Dorffner 67
Kapitel 2.1: Die stochastische Sicht auf Signale 215 Georg Dorffner 67 Stochastische Prozesse Stochastische Prozesse sind von Zufall geprägte Zeitreihen x n f x, n 1 xn2,... n vorhersagbarer Teil, Signal
MehrAnalysis und Lineare Algebra mit MuPAD
Analysis und Lineare Algebra mit MuPAD Dehling/Kubach Mögliche Themen für Abschlussprojekte 1 Fourier-Reihen Zu einer integrierbaren Funktion f : [0,2π] R definieren wir die Fourier-Reihe wobei a 0 = 1
MehrLösungen zur Klausur GRUNDLAGEN DER WAHRSCHEINLICHKEITSTHEORIE UND STATISTIK
Institut für Stochastik Dr. Steffen Winter Lösungen zur Klausur GRUNDLAGEN DER WAHRSCHEINLICHKEITSTHEORIE UND STATISTIK für Studierende der INFORMATIK vom 17. Juli 01 (Dauer: 90 Minuten) Übersicht über
MehrDas GARCH Modell zur Modellierung von Finanzmarktzeitreihen. Seminararbeit von Frauke Heuermann Juni 2010
Das GARCH Modell zur Modellierung von Finanzmarktzeitreihen Seminararbeit von Frauke Heuermann Juni 2010 i Inhaltsverzeichnis 0 Einleitung 1 1 Der ARCH-Prozess 1 1.1 Das ARCH(1)-Modell........................
MehrZeitreihenanalyse. Prof. Dr. Hajo Holzmann Fachbereich Mathematik und Informatik, Universität Marburg. Wintersemester 2008/09 (Stand: 26.
Zeitreihenanalyse Prof. Dr. Hajo Holzmann Fachbereich Mathematik und Informatik, Universität Marburg Wintersemester 2008/09 (Stand: 26. Januar 2009) ii INHALTSVERZEICHNIS Inhaltsverzeichnis 1 Beispiele
MehrWirtschaftsmathematik Wirtschaftsstatistik
Wirtschaftsmathematik Wirtschaftsstatistik Ökonometrie ARMA-Prozesse Prof. Dr. Franz Seitz, Weiden / Dr. Benjamin R. Auer, Leipzig Neben den formalen Grundlagen von ARMA-Prozessen (Autoregressive Moving
MehrSatz 2.8.3: Sei Q eine Intensitätsmatrix. Dann hat die
Satz 2.8.3: Sei Q eine Intensitätsmatrix. Dann hat die Rückwärtsgleichung P (t) = QP (t), P (0) = E eine minimale nicht negative Lösung (P (t) : t 0). Die Lösung bildet eine Matrix Halbgruppe, d.h. P (s)p
MehrStochastische Prozesse und Zeitreihenmodelle
Kapitel 12 Stochastische Prozesse und Zeitreihenmodelle Department of Statistics and Mathematics WU Wien c 2008 Statistik 12 Stochastische Prozesse und Zeitreihenmodelle 0 / 53 Inhalt Notation Zusammenhang
Mehr3. Einführung in die Zeitreihenanalyse
3. Einführung in die Zeitreihenanalyse Dr. Johann Burgstaller Finance Department, JKU Linz (Dieser Foliensatz wurde zuletzt aktualisiert am 25. Dezember 2007.) Dr. Johann Burgstaller IK Empirische Kapitalmarktforschung
Mehracf(y) pacf(y) Series y Series y Index ACF Lag Partial ACF Lag
Aufgabe 47: Parameterschätzung und Modellwahl im ARMA-Modell (Software) Analysieren Sie die in der Datei aufgabe47.txt gegebene Zeitreihe (y t ), t = 1,..., 100. Nehmen Sie an, dass diese Realisation eines
MehrAngewandte Ökonometrie Übung. Endogenität, VAR, Stationarität und Fehlerkorrekturmodell
Angewandte Ökonometrie Übung 3 Endogenität, VAR, Stationarität und Fehlerkorrekturmodell Zeitreihenmodelle Zeitreihenmodelle Endogenität Instrumentvariablenschätzung Schätzung eines VARs Tests auf Anzahl
MehrI. Deskriptive Statistik 1
I. Deskriptive Statistik 1 1. Einführung 3 1.1. Grundgesamtheit und Stichprobe.................. 5 1.2. Merkmale und Verteilungen..................... 6 1.3. Tabellen und Grafiken........................
Mehr5 Erwartungswerte, Varianzen und Kovarianzen
47 5 Erwartungswerte, Varianzen und Kovarianzen Zur Charakterisierung von Verteilungen unterscheidet man Lageparameter, wie z. B. Erwartungswert ( mittlerer Wert ) Modus (Maximum der Wahrscheinlichkeitsfunktion,
Mehr11. Zeitreihen mit Trend und Saisonalität
In diesem Abschnitt geht es um ZR, die in eine Trend-, eine Saisonund eine Restkomponente zerlegt werden können. (Das Niveau sei in der Trendkomponente enthalten.) Beispiele für solche ZR sind in Abb.
Mehr4. Zeitreihenanalyse, ARCH & GARCH
4. Zeitreihenanalyse, ARCH & GARCH Nach einführenden Bemerkungen wenden wir uns der Beschreibung von Zeitreihen zu. Die gängigen Modelle werden präsentiert. Dann werden wir uns mit der statistischen Analyse
MehrVertiefung NWI: 13. Vorlesung zur Wahrscheinlichkeitstheorie
Fakultät für Mathematik Prof. Dr. Barbara Gentz SS 2013 Vertiefung NWI: 13. Vorlesung zur Wahrscheinlichkeitstheorie Mittwoch, 10.7.2013 13. Markoffketten 13.1 Beispiele 1. Irrfahrt auf dem zweidimensionalen
Mehr5.6 Empirische Wirtschaftsforschung
5.6.0 Vorbemerkungen Literatur Winker, P. (2010): Empirische Wirtschaftsforschung und Ökonometrie. 3. Auflage. Springer. Insbesondere Kapitel 1, 4 und 10. Volltext-Download im Rahmen des LRZ-Netzes. Rinne,
MehrFachhochschule Aachen, Abteilung Jülich Seminararbeit Thema: Prognose von Zeitreihen
Fachhochschule Aachen, Abteilung Jülich Seminararbeit Thema: Prognose von Zeitreihen Vorgelegt von: Hans Nübel Matrikel-Nr.: 827052 Studiengang: Scientific Programming Datum: 14.12.2010 1. Betreuer: Prof.
MehrZeitreihenanalyse mit R
Zeitreihenanalyse mit R Matti Schneider, Sebastian Mentemeier SS 2010 Inhaltsverzeichnis 1 Klassische Zeitreihenanalyse 4 1.1 Einführung...................................... 4 1.1.1 Das klassische Komponentenmodell.....................
MehrZeitreihenanalyse. Teil III: Nichtlineare Zeitreihenmodelle. Prof. Dr. W. Zucchini, Dr. O. Nenadić, A. Schlegel. Göttingen, Januar 2008 DAX
Zeitreihenanalyse Teil III: Nichtlineare Zeitreihenmodelle Prof. Dr. W. Zucchini, Dr. O. Nenadić, A. Schlegel DAX -10-5 0 5 10 0 200 400 600 800 1000 trading day Göttingen, Januar 2008 Inhaltsverzeichnis
MehrZeitreihenanalyse. H.P. Nachtnebel. Institut für Wasserwirtschaft, Hydrologie und konstruktiver Wasserbau
Zeitreihenanalyse H.P. Nachtnebel Institut für Wasserwirtschaft, Hydrologie und konstruktiver Wasserbau Ziel Aus der statistischen Analyse von Beobachtungen in der Zeit (Zeitreihen) lassen sich kennzeichnende
MehrLösungen zur Klausur WAHRSCHEINLICHKEITSTHEORIE UND STATISTIK (STOCHASTIK)
Institut für Stochastik Dr. Steffen Winter Lösungen zur Klausur WAHRSCHEINLICHKEITSTHEORIE UND STATISTIK (STOCHASTIK) für Studierende des Maschinenbaus vom 7. Juli (Dauer: 8 Minuten) Übersicht über die
MehrETWR Teil B. Spezielle Wahrscheinlichkeitsverteilungen (stetig)
ETWR Teil B 2 Ziele Bisher (eindimensionale, mehrdimensionale) Zufallsvariablen besprochen Lageparameter von Zufallsvariablen besprochen Übertragung des gelernten auf diskrete Verteilungen Ziel des Kapitels
MehrVorlesung 8a. Kovarianz und Korrelation
Vorlesung 8a Kovarianz und Korrelation 1 Wir erinnern an die Definition der Kovarianz Für reellwertige Zufallsvariable X, Y mit E[X 2 ] < und E[Y 2 ] < ist Cov[X, Y ] := E [ (X EX)(Y EY ) ] Insbesondere
MehrKlausur zu Statistik II
GOETHE-UNIVERSITÄT FRANKFURT FB Wirtschaftswissenschaften Statistik und Methoden der Ökonometrie Prof. Dr. Uwe Hassler Wintersemester 03/04 Klausur zu Statistik II Matrikelnummer: Hinweise Hilfsmittel
MehrKapitel 6 Martingale
Kapitel 6 Martingale Martingale spielen eine große Rolle in der Finanzmathematik, und sind zudem ein wichtiges Hilfsmittel für die statistische Inferenz stochastischer Prozesse, insbesondere auch für Zählprozesse
MehrZeitreihen. Statistische Modellierung, Schätzung und Prognose. von. Prof. Dr. Horst Rinne. und. Dr. Katja Specht. Justus-Liebig-Universität Giessen
Zeitreihen Statistische Modellierung, Schätzung und Prognose von Prof. Dr. Horst Rinne und Dr. Katja Specht Justus-Liebig-Universität Giessen Verlag Franz Vahlen München Inhaltsverzeichnis Statt eines
MehrWahrscheinlichkeitstheorie und Statistik vom
INSTITUT FÜR STOCHASTIK SS 2007 UNIVERSITÄT KARLSRUHE Priv.-Doz. Dr. D. Kadelka Dipl.-Math. oec. W. Lao Klausur (Maschineningenieure) Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik vom 2.9.2007 Musterlösungen
MehrKapitel 8. Einfache Regression. Anpassen des linearen Regressionsmodells, OLS. Eigenschaften der Schätzer für das Modell
Kapitel 8 Einfache Regression Josef Leydold c 2006 Mathematische Methoden VIII Einfache Regression 1 / 21 Lernziele Lineares Regressionsmodell Anpassen des linearen Regressionsmodells, OLS Eigenschaften
Mehr1.1.1 Ergebnismengen Wahrscheinlichkeiten Formale Definition der Wahrscheinlichkeit Laplace-Experimente...
Inhaltsverzeichnis 0 Einführung 1 1 Zufallsvorgänge und Wahrscheinlichkeiten 5 1.1 Zufallsvorgänge.......................... 5 1.1.1 Ergebnismengen..................... 6 1.1.2 Ereignisse und ihre Verknüpfung............
MehrMathematik IV für Maschinenbau und Informatik (Stochastik) Universität Rostock, Institut für Mathematik Sommersemester 2007
Mathematik IV für Maschinenbau und Informatik Stochastik Universität Rostock, Institut für Mathematik Sommersemester 007 Prof. Dr. F. Liese Dipl.-Math. M. Helwich Serie Termin: 9. Juni 007 Aufgabe 3 Punkte
MehrKlausur zum Fach GRUNDLAGEN DER WAHRSCHEINLICHKEITSTHEORIE UND STATISTIK. für Studierende der INFORMATIK
Institut für Stochastik Prof. Dr. Daniel Hug Name: Vorname: Matr.-Nr.: Klausur zum Fach GRUNDLAGEN DER WAHRSCHEINLICHKEITSTHEORIE UND STATISTIK für Studierende der INFORMATIK Datum: 08. Februar 0 Dauer:
MehrAufgaben zu Kapitel 38
Aufgaben zu Kapitel 38 Aufgaben zu Kapitel 38 Verständnisfragen Aufgabe 38. Welche der folgenden vier Aussagen sind richtig:. Kennt man die Verteilung von X und die Verteilung von Y, dann kann man daraus
MehrAllgemeine Regressionsanalyse. Kovariablen / Prädiktoren / unabhängige Variablen X j R d, evtl. deterministisch
Prof. Dr. J. Franke Statistik II für Wirtschaftswissenschaftler 9.1 Allgemeine Regressionsanalyse Daten (X j, Y j ), j = 1,..., N unabhängig Kovariablen / Prädiktoren / unabhängige Variablen X j R d, evtl.
MehrÜbungen zu bedingten Erwartungswerten. Tutorium Stochastische Prozesse 13. Dezember 2016
Übungen zu bedingten Erwartungswerten Tutorium Stochastische Prozesse 13. Dezember 2016 Bedingter Erwartungswert Definition Sei X eine reellwertige Zufallsvariable auf (Ω, A, P), so dass E[ X ]
MehrLösungsvorschläge Blatt 4
Theoretische Informatik Departement Informatik Prof. Dr. Juraj Hromkovič http://www.ita.inf.ethz.ch/theoinf16 Lösungsvorschläge Blatt 4 Zürich, 21. Oktober 2016 Lösung zu Aufgabe 10 (a) Wir zeigen mit
MehrKap. 12: Regression mit Zeitreihendaten und Prognosemodelle
Kap. 12: Regression mit Zeitreihendaten und Prognosemodelle Motivation Grundbegriffe Autoregressionen (AR-Modelle) Dynamische Regressionsmodelle (ADL-Modelle) Nichstationarität Ausblick 12.1 Motivation
MehrVorlesung 8b. Bedingte Erwartung, bedingte Varianz, bedingte Verteilung, bedingte Wahrscheinlichkeiten
Vorlesung 8b Bedingte Erwartung, bedingte Varianz, bedingte Verteilung, bedingte Wahrscheinlichkeiten 1 Wie gehabt, denken wir uns ein zufälliges Paar X = (X 1,X 2 ) auf zweistufige Weise zustande gekommen:
MehrK8 Stetige Zufallsvariablen Theorie und Praxis
K8 Stetige Zufallsvariablen Theorie und Praxis 8.1 Theoretischer Hintergrund Wir haben (nicht abzählbare) Wahrscheinlichkeitsräume Meßbare Funktionen Zufallsvariablen Verteilungsfunktionen Dichten in R
MehrFORMELSAMMLUNG. Analyse longitudinaler Daten und Zeitreihen WS 2003/04
FORMELSAMMLUNG Analyse longitudinaler Daten und Zeitreihen WS 2003/04 Inhaltsverzeichnis 1 Zeitreihenanalyse 3 1.1 Grundlagen................................ 3 1.1.1 Notation..............................
MehrGrundgesamtheit und Stichprobe
Grundgesamtheit und Stichprobe Definition 1 Die Menge der Untersuchungseinheiten {U 1,U 2,...,U N } heißt Grundgesamtheit. Die Anzahl N der Einheiten ist der Umfang der Grundgesamtheit. Jeder Einheit U
MehrZeit Umsatz. t U=U(t) BS - 13 BS Modul : Analyse zeitabhängiger Daten z.b. Prof. Dr. W. Laufner Beschreibende Statistik
BS - 1 1 Modul 1 : Analyse zeitabhängiger Daten z.b. Zeit Umsatz t UU(t) BS - 1 2 Modul 1: Zeitreihenanalyse 0 70 60 Zeitreihenanalyse Umsatz (Mio ) 0 40 0 0 Q1 Q2 Q Q4 Q1 Q2 Q Q4 Q1 Q2 Q Q4 Q1 Q2 Q Q4
MehrSBWL Tourismusanalyse und Freizeitmarketing, Vertiefungskurs 2
Inhalt SBWL Tourismusanalyse und Freizeitmarketing, Vertiefungskurs 2 1. Teil: Zerlegungsmodelle und naive Prognosemethoden für Zeitreihen Regina Tüchler Einleitung 1. Einführung in das Modellieren von
MehrDie Volatilität von Finanzmarktdaten
Die Volatilität von Finanzmarktdaten Theoretische Grundlagen und empirische Analysen von stündlichen Renditezeitreihen und Risikomaßen Inauguraldissertation zur Erlangung des Doktorgrades der Wirtschafts-
Mehr3.4 Asymptotische Evaluierung von Sch atzer Konsistenz Konsistenz Definition 3.4.1: konsistente Folge von Sch atzer
3.4 Asymptotische Evaluierung von Schätzer 3.4.1 Konsistenz Bis jetzt haben wir Kriterien basierend auf endlichen Stichproben betrachtet. Konsistenz ist ein asymptotisches Kriterium (n ) und bezieht sich
Mehr2 Die Dimension eines Vektorraums
2 Die Dimension eines Vektorraums Sei V ein K Vektorraum und v 1,..., v r V. Definition: v V heißt Linearkombination der Vektoren v 1,..., v r falls es Elemente λ 1,..., λ r K gibt, so dass v = λ 1 v 1
MehrAutomaten, Spiele, und Logik
Automaten, Spiele, und Logik Woche 2 25. April 2014 Inhalt der heutigen Vorlesung 1. Reguläre Ausdrücke 2. der Satz von Kleene 3. Brzozowski Methode 4. grep und perl Reguläre Ausdrücke Rekursive Definition,
MehrUnivariates Datenmaterial
Univariates Datenmaterial 1.6.1 Deskriptive Statistik Zufallstichprobe: Umfang n, d.h. Stichprobe von n Zufallsvariablen o Merkmal/Zufallsvariablen: Y = {Y 1, Y 2,..., Y n } o Realisationen/Daten: x =
MehrScheinklausur Stochastik 1 für Studierende des Lehramts und der Diplom-Pädagogik
Universität Karlsruhe (TH) Institut für Stochastik Dr. Bernhard Klar Dipl.-Math. oec. Volker Baumstark Name Vorname Matr.-Nr.: Scheinklausur Stochastik für Studierende des Lehramts und der Diplom-Pädagogik
MehrNachhol-Klausur - Schätzen und Testen - Wintersemester 2013/14
Prof. Dr. Rainer Schwabe 08.07.2014 Otto-von-Guericke-Universität Magdeburg Institut für Mathematische Stochastik Nachhol-Klausur - Schätzen und Testen - Wintersemester 2013/14 Name:, Vorname: Matr.-Nr.
MehrSchätzer und Konfidenzintervalle
Kapitel 2 Schätzer und Konfidenzintervalle Bisher haben wir eine mathematische Theorie entwickelt, die es uns erlaubt, gewisse zufällige Phänomene zu modellieren. Zum Beispiel modellieren wir die Anzahl
Mehr5.8 Anpassungstests. W. Kössler (IfI HU Berlin) Werkzeuge der empirischen Forschung 389 / 419
5.8 8.1 Einführung empirische Verteilungsfunktion 8.2 EDF- Kolmogorov-Smirnov-Test Anderson-Darling-Test Cramer-von Mises-Test 8.3 Anpassungstest auf Normalverteilung - Shapiro-Wilk-Test 8.4. auf weitere
MehrQUANTITATIVE STATISTICAL METHODS: REGRESSION AND FORECASTING JOHANNES LEDOLTER VIENNA UNIVERSITY OF ECONOMICS AND BUSINESS ADMINISTRATION SPRING 2013
QUANTITATIVE STATISTICAL METHODS: REGRESSION AND FORECASTING JOHANNES LEDOLTER VIENNA UNIVERSITY OF ECONOMICS AND BUSINESS ADMINISTRATION SPRING 2013 ZEITREIHEN 1 Viele Beobachtungen in den Wirtschaftswissenschaften
MehrSeminar im Wintersemester 2010/2011: Quantitative und implementierte Methoden der Marktrisikobewertung
M.Sc. Brice Hakwa hakwa@uni-wuppertal.de Seminar im Wintersemester 2010/2011: Quantitative und implementierte Methoden der Marktrisikobewertung - Zusammenfassung zum Thema: Berechnung von Value-at-Risk
MehrVorbereitung auf 3. Übungsblatt (Präsenzübungen) - Lösungen
Prof Dr Rainer Dahlhaus Statistik 1 Wintersemester 2016/2017 Vorbereitung auf Übungsblatt (Präsenzübungen) - Lösungen Aufgabe P9 (Prognosen und Konfidenzellipsoide in der linearen Regression) Wir rekapitulieren
MehrZusammenfassung Stochastik I + II
Zusammenfassung Stochastik I + II Stephan Kuschel Vorlesung von Dr. Nagel Stochastik I: WS 007/08 Stochastik II: SS 008 zuletzt aktualisiert: 7. Juli 009 Da diese Zusammenfassung den Menschen, die sie
MehrÜberschrift. Titel Prognosemethoden
Überschrift Prognosemethoden Überschrift Inhalt 1. Einleitung 2. Subjektive Planzahlenbestimmung 3. Extrapolierende Verfahren 3.1 Trendanalyse 3.2 Berücksichtigung von Zyklus und Saison 4. Kausale Prognosen
MehrBedingte Wahrscheinlichkeiten und Unabhängigkeit
Kapitel 5 Bedingte Wahrscheinlichkeiten und Unabhängigkeit Mitunter erhält man über das Ergebnis eines zufälligen Versuches Vorinformationen. Dann entsteht die Frage, wie sich für den Betrachter, den man
MehrSimulation von Zufallsvariablen und Punktprozessen
Simulation von Zufallsvariablen und Punktprozessen 09.11.2009 Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung 2 Pseudozufallszahlen 3 Punktprozesse Zufallszahlen Definition (Duden): Eine Zufallszahl ist eine Zahl, die
Mehr2. Spezielle anwendungsrelevante Funktionen
2. Spezielle anwendungsrelevante Funktionen (1) Affin-lineare Funktionen Eine Funktion f : R R heißt konstant, wenn ein c R mit f (x) = c für alle x R existiert linear, wenn es ein a R mit f (x) = ax für
MehrAdaptive Systeme. Sommersemester Prof. Dr. -Ing. Heinz-Georg Fehn. Prof. Dr. rer. nat. Nikolaus Wulff
Adaptive Systeme Sommersemester 2015 Prof. Dr. -Ing. Heinz-Georg Fehn Prof. Dr. rer. nat. Nikolaus Wulff Prof. Dr. H.-G. Fehn und Prof. Dr. N. Wulff 1 Adaptive Systeme Adaptives System: ein System, das
Mehr3.3 Bedingte Wahrscheinlichkeit
28 3.3 Bedingte Wahrscheinlichkeit Oft ist die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses B gesucht unter der Bedingung (bzw. dem Wissen), dass ein Ereignis A bereits eingetreten ist. Man bezeichnet diese Wahrscheinlichkeit
Mehr+ 2 F2 (u) X 1 F1 (u)) Der Koeffizient der unteren Tail-Abhängigkeit von (X 1,X 2 ) T wird folgendermaßen definiert:
Tail Abhängigkeit Definition 12 Sei (X 1,X 2 ) T ein Zufallsvektor mit Randverteilungen F 1 und F 2. Der Koeffizient der oberen Tail-Abhängigkeit von (X 1,X 2 ) T wird folgendermaßen definiert: λ U (X
MehrKlausur zur Mathematik für Biologen
Mathematisches Institut der Heinrich-Heine-Universität DÜSSELDORF WS 2002/2003 12.02.2003 (1) Prof. Dr. A. Janssen / Dr. H. Weisshaupt Klausur zur Mathematik für Biologen Bitte füllen Sie das Deckblatt
MehrStochastik. 1. Wahrscheinlichkeitsräume
Stochastik 1. Wahrscheinlichkeitsräume Ein Zufallsexperiment ist ein beliebig oft und gleichartig wiederholbarer Vorgang mit mindestens zwei verschiedenen Ergebnissen, bei dem der Ausgang ungewiß ist.
MehrMinimale Anzahl von Hinweisen bei Sudoku
Minimale Anzahl von Hinweisen bei Sudoku Sascha Kurz sascha.kurz@uni-bayreuth.de (basierend auf Arbeiten von Ariane Papke und Gary McGuire et al.) Oberseminar Effizienz dezentraler Strukturen, Bayreuth,
MehrÜbung zur Empirischen Wirtschaftsforschung V. Das Lineare Regressionsmodell
Universität Ulm 89069 Ulm Germany Dipl.-WiWi Christian Peukert Institut für Wirtschaftspolitik Fakultät für Mathematik und Wirtschaftswissenschaften Ludwig-Erhard-Stiftungsprofessur Sommersemester 2010
MehrÜbungen zur Stochastik, Blatt Nr. 1
Prof. Dr. A. Stoffel SS 202 Übungen zur Stochastik, Blatt Nr. ) Zwei Würfel werden gleichzeitig oder nacheinander geworfen. a) Schreiben Sie alle Elemente des Grundraums in Form einer Matrix auf. b) Wie
Mehr2. Optimierungsprobleme 6
6 2. Beispiele... 7... 8 2.3 Konvexe Mengen und Funktionen... 9 2.4 Konvexe Optimierungsprobleme... 0 2. Beispiele 7- Ein (NP-)Optimierungsproblem P 0 ist wie folgt definiert Jede Instanz I P 0 hat einen
MehrEinführung in die Statistik Kapitel 6: Crash-Course in Statistik: Testtheorie
Einführung in die Statistik Kapitel 6: Crash-Course in Statistik: Testtheorie Jung Kyu Canci Universität Basel HS2015 1 / 15 Literatur Kapitel 6 Statistik in Cartoons : Kapitel 8 Krengel : 6 und 14 Storrer
MehrKapitel 6. Kapitel 6 Mehrstufige Zufallsexperimente
Mehrstufige Zufallsexperimente Inhalt 6.1 6.1 Mehrstufige Experimente 6.2 6.2 Bedingte Wahrscheinlichkeiten Seite 2 6.1 Mehrstufige Experimente Grundvorstellung: Viele Viele Experimente werden der der
MehrUnabhängigkeit KAPITEL 4
KAPITEL 4 Unabhängigkeit 4.1. Unabhängigkeit von Ereignissen Wir stellen uns vor, dass zwei Personen jeweils eine Münze werfen. In vielen Fällen kann man annehmen, dass die eine Münze die andere nicht
MehrKorrektur: Lineare Regression in Excel
Korrektur: Lineare Regression in Excel Doppelsummenkurve 1 8 kum. Abfluss 6 4 2 Juni 1987 5 1 15 2 kum. Niederschlag 1 PDFA Abfluss Lange Bramke 4 kum. Stabw. 3 2 1 Feb. 1981 1.8 1.82 1.84 1.86 1.88 1.9
MehrVektor und Matrixnormen Vorlesung vom
Vektor und Matrixnormen Vorlesung vom 18.12.15 Grundlagen: Matrix Vektor und Matrixprodukt. Lineare Räume. Beispiele. Problem: Berechne die Lösung x von Ax = b zu gegebenem A R n,n und b R n. Ziele: Konditionsanalyse
Mehr1 Stochastische Konvergenz 2. 2 Das Gesetz der grossen Zahlen 4. 3 Der Satz von Bernoulli 6
Wirtschaftswissenschaftliches Zentrum 0 Universität Basel Mathematik Dr. Thomas Zehrt Grenzwertsätze Benötigtes Vorwissen: Der Stoff der Vorlesung,,Statistik wird als bekannt vorausgesetzt, insbesondere
MehrÜbungen zu Meteorologische Modellierung Teil 'Grundlagen der Numerik'
Übungen zu Meteorologische Modellierung Teil 'Grundlagen der Numerik' 1. Diskretisierung in der Zeit: Die Evolutionsgleichung Kurzzusammenfassung Zur Erprobung der Verfahren zur zeitlichen Diskretisierung
MehrEinführung in die (induktive) Statistik
Einführung in die (induktive) Statistik Typische Fragestellung der Statistik: Auf Grund einer Problemmodellierung sind wir interessiert an: Zufallsexperiment beschrieben durch ZV X. Problem: Verteilung
MehrCopula Funktionen. Eine Einführung. Nils Friewald
Copula Funktionen Eine Einführung Nils Friewald Institut für Managementwissenschaften Abteilung Finanzwirtschaft und Controlling Favoritenstraße 9-11, 1040 Wien friewald@imw.tuwien.ac.at 13. Juni 2005
Mehr3.3 Methoden zur Evaluierung von Schätzern
3.3 Methoden zur Evaluierung von Schätzern Bis jetzt haben wir nur glaubwürdige Techniken zur Konstruktion von Punktschätzern besprochen. Falls unterschiedliche Schätzer für einen Parameter resultieren,
Mehr2. Übung zur Vorlesung Statistik 2
2. Übung zur Vorlesung Statistik 2 Aufgabe 1 Welche der folgenden grafischen Darstellungen und Tabellen zeigen keine (Einzel-)Wahrscheinlichkeitsverteilung? Kreuzen Sie die richtigen Antworten an und begründen
Mehr1 Gemischte Lineare Modelle
1 Gemischte Lineare Modelle Wir betrachten zunächst einige allgemeine Aussagen für Gemischte Lineare Modelle, ohne zu tief in die mathematisch-statistische Theorie vorzustoßen. Danach betrachten wir zunächst
MehrLineare Gleichungssysteme (Teschl/Teschl 11.1)
Lineare Gleichungssysteme (Teschl/Teschl.) Ein Lineares Gleichungssystem (LGS) besteht aus m Gleichungen mit n Unbekannten x,...,x n und hat die Form a x + a 2 x 2 +... + a n x n b a 2 x + a 22 x 2 +...
Mehr8 Extremwerte reellwertiger Funktionen
8 Extremwerte reellwertiger Funktionen 34 8 Extremwerte reellwertiger Funktionen Wir wollen nun auch Extremwerte reellwertiger Funktionen untersuchen. Definition Es sei U R n eine offene Menge, f : U R
MehrÜ b u n g s b l a t t 13
Einführung in die Stochastik Sommersemester 06 Dr. Walter Oevel 5. 6. 006 Ü b u n g s b l a t t 3 Mit und gekennzeichnete Aufgaben können zum Sammeln von Bonuspunkten verwendet werden. Lösungen von -Aufgaben
MehrDefinition Sei V ein Vektorraum, und seien v 1,..., v n V. Dann heißt eine Linearkombination. n λ i = 1. mit. v = v i λ i.
Kapitel Geometrie Sei V ein Vektorraum, z.b. V = R 3. Wenn wir uns für geometrische Eigenschaften von R 3 interessieren, so stört manchmal die Ausnahmerolle des Nullvektors, die es ja in V gibt. Beispielsweise
MehrSignale und Systeme Reaktion linearer Systeme auf stationäre stochastische Signale
Signale und Systeme Reaktion linearer Systeme auf stationäre stochastische Signale Gerhard Schmidt Christian-Albrechts-Universität zu Kiel Technische Faculty of Engineering Fakultät Elektrotechnik Institute
Mehr