Allpass-Transformation

Transkript

1 Grundidee: Allpass-Transformation Entwurf eines IIR-Filters H p (z) mit bekanntem Verfahren Abbildung des Frequenzgangs durch Transformation der Frequenzvariablen Transformation durch Substitution ζ = f(z) in H p (ζ) Bedingung: Einheitskreis muss auf sich selbst abgebildet werden! f(e j )! = f(z) muss der Übertragungsfunktion eines Allpasses entsprechen Neue Übertragungsfunktion: H(z) = H p (f(z)) bzw. H(e j ) = H p (e jg() ) mit g() = arg ( f(e j ) )

2 Allpass-Transformation Realisierungsmöglichkeit: Ersetzen jedes Verzögerungselements z durch einen stabilen Allpass A(z) = f(z) g() = arg ( A(e j ) ) Achtung: In der Regel bei rekursiven Systemen nicht direkt anwendbar wegen verzögerungsfreier Schleifen! Neue Übertragungsfunktion muss berechnet und realisiert werden

3 Allpass-Transformation - Beispiel-Filter H p (z) = z z b H p(e j ) = b b cos mit b =, 9: Hp

4 Allpass-Transformation - Beispiel-Allpässe ) A (z) = z g () = π + 9 H p H H

5 Allpass-Transformation - Beispiel-Allpässe ) Allpass. Ordnung: A (z) = az + z a a sin g () = + arctan a cos mit a < X(z) a z Y (z) a 5

6 Allpass-Transformation - Beispiel-Allpässe g() Verzerrung der Frequenzachse für verschiedene Werte von a 6

7 Allpass-Transformation - Beispiel H Resultierende Frequenzgänge 7

8 Allpass-Transformation - Beispiel ) Allpass. Ordnung: A (z) = ρ z ρ cos ϕz + z ρ cos ϕz + ρ mit ρ < 7 6 ϕ = π/ g()

9 Allpass-Transformation - Beispiel g () = + arctan 7 6 ρ sin ϕ sin ρ sin ρ cos ϕ cos + ρ cos ϕ = π/ g()

10 Allpass-Transformation - Beispiel ϕ = π/ H

11 Allpass-Transformation - Beispiel ϕ = π/ H

12 Allpass-Transformation - Beispiel 4) Allpass. Ordnung: A 4 (z) = ρ z ρ cos ϕz + z ρ cos ϕz + ρ mit ρ < 4 ϕ = π/ g4()

13 Allpass-Transformation - Beispiel g 4 () = π + + arctan 4 ρ sin ϕ sin ρ sin ρ cos ϕ cos + ρ cos ϕ = π/ g4()

14 Allpass-Transformation - Beispiel ϕ = π/ H

15 Allpass-Transformation - Beispiel ϕ = π/ H

16 Allpass-Transformation - Beispiel Butterworth.8.6 Hp Betragsfrequenzgang Butterworthfilter Ordnung 8 6

17 Allpass-Transformation - Beispiel Butterworth.8 ϕ = π/ H Betragsfrequenzgang resultierender Bandpass 7

18 Allpass-Transformation - Beispiel Butterworth.8 ϕ = π/ H Betragsfrequenzgang resultierender Bandpass 8

19 Allpass-Transformation Tiefpass-Bandpass-Transformation mit Allpass. Ordnung: Vorgaben aus Toleranzschema: Eckfrequenzen Übergangsbereichsbreiten max. Abweichung im Durchlassbereich Sperrdämpfung(en) Wahl geeigneter Parameter ρ, ϕ, c Übertragung in Toleranzschema für Tiefpass-Entwurf 9

20 Zeitdiskrete Systeme bei stochastischer Anregung Stochastische Prozesse (Zufallsprozesse) - Formale Definition: Ein stochastischer Prozess x besteht aus einer Menge indizierter Zufallsvariablen {x n }. Er wird charakterisiert durch die Menge der zugehörigen Verteilungsfunktionen, die im allgemeinen vom Index n abhängen können: P xn (u, n) = P (x n < u). Alternativ können auch die Verteilungsdichtefunktionen angegeben werden: p xn (u, n) = P x n (u, n) u Zufallssignale: n ist der Zeitindex und ein Signal, dessen Abtastwerte x(n) durch die entsprechenden Verteilungsfunktionen charakterisiert sind, heißt Realisierung des stochastischen Prozesses x

21 Verbundverteilungen Stochastische Prozesse Abhängigkeiten zwischen zwei oder mehreren Zufallsvariablen lassen sich mit Verbundverteilungen analysieren. Beispiel für Verbundverteilung zweier Zufallsvariablen x n und x m : P xn,x m (u, n, v, m) = P (x n < u, x m < v) Verbundverteilungsdichte: p xn,x m (u, n, v, m) = P xn,x m (u, n, v, m) u v Verbundverteilung zweier Zufallsvariablen aus verschiedenen Prozessen x und y: P xn,y m (u, n, v, m) = P (x n < u, y m < v)

22 Statistische Unabhängigkeit Stochastische Prozesse Zwei Zufallsvariablen sind statistisch unabhängig, wenn gilt P xn,y m (u, n, v, m) = P xn (u, n) P ym (v, m) bzw. p xn,y m (u, n, v, m) = p xn (u, n) p ym (v, m) Stationarität Ein Prozess x ist stationär, wenn alle Verteilungsfunktionen unabhängig von einer Verschiebung sind, z.b. P xn+k (u, n + k) = P xn (u, n) P xn+k,x m+k (u, n + k, v, m + k) = P xn,y m (u, n, v, m)

23 Stochastische Prozesse Momente (Ensemble-)Mittelwert: m xn = E[x n ] = u p xn (u, n)du Quadratischer Mittelwert: E[x n] = u p xn (u, n)du Varianz: σ x n = E[(x n m xn ) ] = E[x n] m x n Höhere Momente: E[x k n] = u k p xn (u, n)du Verbundmomente: E[x k ny l m] = u k v l p xn,y m (u, n, v, m)dudv

24 Stochastische Prozesse Wichtige Verbundmomente Autokorrelation: φ xx (n, m) = E[x n x m ] (bzw. E[x n x m] für kompl. x) für stationären Prozess: φ xx (m n) = E[x n x m ] Autokovarianz: γ xx (n, m) = E[(x n m xn )(x m m xm )] für stationären Prozess: γ xx (m n) = E[(x n m xn )(x m m xm )] Kreuzkorrelation: φ xy (n, m) = E[x n y m ] für stationären Prozess: φ xy (m n) = E[x n y m ] Kreuzkovarianz: γ xy (n, m) = E[(x n m xn )(y m m ym )] für stationären Prozess: γ xy (m n) = E[(x n m xn )(y m m ym )] 4