ÜBUNG 3: SYSTEMFUNKTIONEN, FOURIER-SYNTHESE, HAMMING-FENSTER

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Renate Hermann
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1 Elektrotechik ud Iformatiostechik Istitut für Nachrichtetechik, Vodafoe Chair Dr. Emil Matus - Digitale Sigalverarbeitugssysteme I/II - Übug 3 ÜBUNG 3: SYSTEMFUNKTIONEN, FOURIER-SYNTHESE, HAMMING-FENSTER. AUFGABE Gegebe sei das folgede digitale System: X(z) z a + A(z) z b + Y (z) a) Zeige Sie durch Bestimmug der Systemfuktio, dass es sich um ei ichtrekursives Filter hadelt! b) Wie müsse die Kostate a ud b gewählt werde, damit ei liearer Phaseverlauf realisiert werde ka? (Hiweis: zwei Möglichkeite!) c) Bereche Sie für beide Möglichkeite de Amplitudegag ud ermittel Sie für =, welche der Stadardfilter (Tiefpass, Hochpass, Badpass, Badsperre) sich für beide Fälle durch Wahl vo a ud b realisiere lasse! 3. AUFGABE Es solle mit der Fourier-Etwurfsmethode je ei ichtrekursives Filter mit folgede Systemfuktioe etworfe werde: a) b) D() j j D() a) Bereche Sie die Koeffiziete h der Impulsatwort für 0 5 ud gebe Sie die Systemfuktio H(z) des FIR-Filters a! b) Bereche Sie die Koeffiziete h der Impulsatwort für 0 ud gebe Sie die lieare Differezegleichug des FIR-Filters a!. AUFGABE Bereche Sie die Festerkoeffiziete eies -Pukte-Hammig-Festers ud wede Sie diese auf die Filterkoeffiziete vo Aufgabe 3a a!

2 Elektrotechik ud Iformatiostechik Istitut für Nachrichtetechik, Vodafoe Chair Dr. Emil Matus - Digitale Sigalverarbeitugssysteme I/II - Übug 3 LÖSUNGEN ZUR 3. ÜBUNG. AUFGABE a) A(z) = X(z)( + az ) Y (z) = A(z)( + bz ) = X(z)( + bz )( + az ) H(z) = Y (z) X(z) = ( + bz )( + az ) = + (a + b)z + abz Das Neerpolyom ist, daher ist das Filter ichtrekursiv. Es fidet irgeds im System eie Rückkopplug statt. X(z) + Y (z) z a + b + z ab b) liearer Phaseverlauf: ϕ = arg H(j) = c + 0 c, 0 R Für de komplexe Frequezgag muss also gelte: H(j) = H(j) e jϕ = H(j) e jc e j 0 Lieare Phase wird geau da erreicht, we die Impulsatwort des Systems eier zeitliche Symmetrie uterliegt. Die Art der Symmetrie ist beliebig, daher gibt es vier Möglichkeite. Nach diese werde die vier FIR-Grudtype beat.

3 Elektrotechik ud Iformatiostechik Istitut für Nachrichtetechik, Vodafoe Chair Dr. Emil Matus - Digitale Sigalverarbeitugssysteme I/II - Übug 3 FIR- Grudtyp Azahl Koeff. (Ordug N des Filters) Art der Symmetrie gerade symmetrisch gerade atisymmetrisch 3 ugerade symmetrisch ugerade atisymmetrisch Die Impulsatwort des hier betrachtete Systems lautet: h(k) = b 0 x() + b x(k ) + b x(k ) mit b 0 =, b = a + b, b = ab Im Folgede seie b 0, b, b i.a. icht gleich ull. Da besitzt die Impulsatwort drei Werte (ugerade Azahl Koeffiziete, Fälle 3 ud i obiger Tabelle) ud die beide Möglichkeite für Symmetrie um de Wert b laute: (3) b 0 = b, b beliebig () b 0 = b, b = 0 = ab = ab a + b = 0 c) Für die beide Fälle bereche sich die Amplitudegäge wie folgt: Fall 3: H(z) = + (a + b)z + z H(e j ) = + (a + b)e j + e j = e j (e j + (a + b) + e j ) = e j ((a + b) + cos() Damit bereche sich Betrag ud Phase zu H(e j ) = a + b + cos() arg H(e j ) = 3

4 Elektrotechik ud Iformatiostechik Istitut für Nachrichtetechik, Vodafoe Chair Dr. Emil Matus - Digitale Sigalverarbeitugssysteme I/II - Übug 3 Ud mit = zu H(e j ) = a + b + cos arg H(e j ) = Es gilt i Abhägigkeit vo (a+b) mehrere Fälle für das Iere des Betrags im Bereich [0; ] zu uterscheide: 3a) a + b Betragsieres ist immer positiv (TP) 3b) < a + b < Betragsieres wechselt das Vorzeiche (BS) 3c) a + b Betragsieres ist immer egativ (HP) 3a) 3b) 3c) H() a + b 3 H() a + b 3 H() 3 a + b + cos a + b a + b + cos Fall : H(z) = + z H(e j ) = e j = e j (e j e j ) = e j (j si()) Damit bereche sich Betrag ud Phase zu Ud mit = zu H(e j ) = si() arg H(e j ) = + H(e j ) = si arg H(e j ) = + Der Frequezgag ist uabhägig vo a ud b ud besitzt Badpasscharakteristik.

5 Elektrotechik ud Iformatiostechik Istitut für Nachrichtetechik, Vodafoe Chair Dr. Emil Matus - Digitale Sigalverarbeitugssysteme I/II - Übug 3 ) H() 3 3. AUFGABE Die Fourier-Reihe zu D() mit der Periode 0 lautet D() = 0 j h e 0 mit de Koeffiziete h = D()e j 0 d 0 0 a) Die Periode ist 0 =. Bereche die Koeffiziete h = = ( / D()e j d = e j d + / e j d = (e +j e +j + e j e j ) j ( = j si( j ) j si()) = (si() si( )) = sic() sic( si() ) mit sic() = Da gazzahlig ist, vereifacht sich die Spaltfuktio wie folgt: ) = 5

6 Elektrotechik ud Iformatiostechik Istitut für Nachrichtetechik, Vodafoe Chair Dr. Emil Matus - Digitale Sigalverarbeitugssysteme I/II - Übug 3 sic( ) = sic() = { = 0 0 sost = 0 0 gerade ( ) ugerade Damit ergibt sich für die Koeffiziete = 0 h = 0 gerade ( ) ugerade 0.5 sic() sic( ) h h Die Systemfuktio des so gewoee FIR-Filters ist da H(z) = h z = 5 z z 3 z + z + 3 z3 5 z5 Durch eie Zeitverschiebug um = 5 Samples wird das Filter kausal ud damit realisierbar: H (z) = z 5 h z = 5 z z 8 z 6 + z 5 z + 3 z 5 Der Amplitudegag verädert sich dadurch icht, die Ausgabe fidet lediglich verzögert statt ( Totzeitglied). 6

7 Elektrotechik ud Iformatiostechik Istitut für Nachrichtetechik, Vodafoe Chair Dr. Emil Matus - Digitale Sigalverarbeitugssysteme I/II - Übug 3 b) Es gilt D() = j = j. Die Periode ist wieder 0 =. Bereche die Koeffiziete h = = j D()e j d e j d das Itegral berechet sich durch partielle Itegratio zu: e j d = u()v ()d mit u() =, v() = = u()v() u ()v() = = j e j j e j d = = ( ) j e j e j j ( = e j j + ) = e j (j + ) j e j Da gazzahlig ist, gilt h = j [ e j (j + ) ] = = j ( e j (j + ) e +j ( j + ) ) = = j ( e j e +j + j(e j + e +j ) ) = = j ( j si() + j cos()) = = (si() cos()) = = ( ) si() cos() = sic() cos() = sic() = { = 0 cos() = ( ) h = 0 sost { 0 = 0 ( ) sost 7

8 Elektrotechik ud Iformatiostechik Istitut für Nachrichtetechik, Vodafoe Chair Dr. Emil Matus - Digitale Sigalverarbeitugssysteme I/II - Übug h h Das damit gewoee Filter hat die Differezegleichug y[] = x[ + ] + 3 x[ + 3] x[ + ] + x[ + ]+ x[ ] x[ ] + 3 x[ 3] x[ ] oder durch Hizufüge eies Totzeitgliedes mit Verzögerug = die kausale Variate: y [] = y[ ] = x[] + 3 x[ ] x[ ] + x[ 3]+ x[ 5] x[ 6] + 3 x[ 7] x[ 8]. AUFGABE Das Hammig-Fester ist ei spezielles Cosius-Fester. Für allgemeie Cosius-Fester der Breite m + gilt: { α + ( α) cos w = m i m 0 sost Mit α = 0.5 wird daraus das Hammig-Fester. Für Pukte gilt m = 5 ud die Rechevorschrift lautet: w = cos = w Da der Cosius eie gerade Fuktio ist, reicht die Bestimmug für eie Hälfte des Festers (i = ). Das Fester wird auf die Impulsatwort aus 3a) agewedet: 8

9 Elektrotechik ud Iformatiostechik Istitut für Nachrichtetechik, Vodafoe Chair Dr. Emil Matus - Digitale Sigalverarbeitugssysteme I/II - Übug w h w Die Übertragugsfuktio des Filters lautet da: H (z) = 0.005z z 8 0.9z z 5 0.9z + 0.0z Im Folgede sid das ursprügliche Filter h (rot), das beutzte Hammig-Fester w (gelb) ud das resultierede Filter h (blau) abgebildet. Ma erket die starke Dämpfug der Impulsatwort a ihre Räder: h h w h = h w

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