Klausur zur Vorlesung Digitale Signalverarbeitung

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1 INSTITUT FÜR INFORMATIONSVERARBEITUNG UNIVERSITÄT HANNOVER Appelstraße 9A 067 Hannover Klausur zur Vorlesung Digitale Signalverarbeitung Datum: Uhrzeit: 09:00 Uhr Zeitdauer: Stunden Hilfsmittel: Formelsammlung Taschenrechner nicht programmiert) eine DIN A-Seite mit beliebigem Text oder Formeln beidseitig) Name: Matrikelnummer: Aufgabe Summe Punkte Bewertung: Es können nur Ergebnisse und Aufgabenteile berücksichtigt werden, die nachvollziehbar bzw. begründet sind. Jedes abzugebende Blatt ist mit Namen und Matrikelnummer zu kennzeichnen. Bitte nicht mit Bleistift oder Rotstift schreiben!

2 Aufgabe : 5 Punkte) Gegeben sind das Eingangssignal xn) und das Ausgangssignal yn) eines kausalen und linearen zeitinvarianten Systems: xn) = ) n un) yn) = ) n un ) ) n un) a) Bestimmen Sie die Systemfunktion Hz) und die Impulsantwort hn). 7) b) Geben Sie die Differenzengleichung für das System an. ) c) Zeichnen Sie das Pol-Nullstellen-Diagramm und bestimmen Sie den Konvergenzbereich von Hz). 5) d) Prüfen Sie die Kausalität, Stabilität und Minimalphasigkeit des Systems. ) e) Geben Sie eine Realisierung mit minimalen Speicher für das System an. ) f) Das System wird mit einem System der Impulsantwort h n) in Reihe geschaltet. hn) h n) wobei h ges n) h n) = ) n un) Ist das gesamte System kausal? Begründen Sie). Berechnen Sie die Impulsantwort h ges n) des gesamten Systems. 6)

3 Aufgabe : 0 Punkte) Gegeben sind die Impulsantwort eines linearen zeitinvarianten Systems hn) und drei endliche Folgen x n), x n), x n): hn) = {, } x n) = {0,,, } x n) = {,, 0, } x n) = {,,, } a) Geben Sie die -Punkte-DFT X i k) und Hk) für k = 0,,, und i =,, an. ) b) Berechnen Sie die inverse -Punkte-DFT von Y k) = X k)hk), um die zyklische Faltung y n) = x n) hn) zu erhalten. Geben Sie y n) für n = 0,,, an. ) c) Berechnen Sie die lineare Faltung y lf n) = x n) hn). Ist y lf n) identisch mit y n)? Begründen Sie die Antwort) ) d) Bestimmen Sie die minimale DFT-Länge, wenn Sie die lineare Faltung y lf n) = x n) hn) mit Hilfe der DFT berechnen. ) e) Berechnen Sie die inversen -Punkte-DFTs von Y k) = X k)hk) und Y k) = X k)hk). 6) f) Um die Systemantwort für die Eingangsfolge xn) zu berechnen, wird nun die Select- Saving-Methode angewendet. xn) = {,,,, 0,,,, } Verwenden Sie die Ergebnisse aus b) und e). )

4 Aufgabe : Punkte) I. Das Signal xn) ist in der Abbildung dargestellt. Führen Sie nachfolgende Rechnungen aus, ohne die Fourier-Transformierte des Signals Xe jω ) explizit auszurechnen: xn) n a) Berechnen Sie Xe jω ) ω=0 und Xe jω ) ω=π. 5) b) Bestimmen und skizzieren Sie das Signal, dessen Fourier-Transformierte Re{Xe jω )} ist. ) II. Eine gleichmäßige Analysefilterbank in der Abbildung zerlegt das Eingangssignal xn) in zwei Teilbandsignale x 0 n) und x n). Die Teilbandzerlegung erfolgt durch die Faltung mit h 0 n) und h n) und anschließende Abtastratenreduktion um den Faktor. h n) = h 0 n)e jπn xn) h 0 n) x 0 n) h n) x n) Der Frequenzgang des Filters H 0 e jω ) und das Spektrum des Eingangssignals sind in der folgenden Abbildung gegeben: H 0 e jω ) Xe jω ) Y e jω ) Y u e jω ) π π π π π π Hinweis: Das Ausgangsignal der Abtastratenreduktion um den Faktor von ergibt sich: Y u e jω ) = ) Y e jω jω π) ) + Y e )

5 a) Geben Sie den Frequenzgang H e jω ) in Abhängigkeit von H 0 e jω ) an. Skizzieren Sie H e jω ). Welche Frequenzcharakteristik hat das Filter H e jω )? 5) b) Geben Sie die Teilbandsignale X 0 e jω ) und X e jω ) in Abhängigkeit von H 0 e jω ) und Xe jω ) an. ) c) Skizzieren Sie X 0 e jω ) in π < ω < π und X e jω ) in 0 < ω < π. 6) 5

6 Aufgabe : Punkte) Der Betragsfrequenzgang He jω ) und das zugehörige Pol-Nullstellen-Diagramm eines digitalen Filters sind durch folgende Abbildungen gegeben: a) Ist das Filter reellwertig? Begründen Sie Ihre Antwort). Geben Sie die Frequenzcharakteristik des Filters Tiefpass, Hochpass, Bandpass, Bandsperr) und Filtersordnung an. 6) b) Ist die Impulsantwort des Filters zeitlich begrenzt oder unbegrenzt? Mit welchem Verfahren könnte das Filter entworfen worden sei? Begründen Sie Ihre Antworten) ) c) Die Eckfrequenzen des Durchlassbereichs und des Sperrbereichs sind ω D = π und ω S = π. Geben die maximalen Abweichungen σ 5 D des Durchlassbereichs und σ S des Sperrbereichs an. ) d) Um ein digitales Tiefpassfilter mit den gleichen Eckfrequenzen ω D, ω S und den gleichen maximalen Abweichungen σ D, σ S zu entwerfen, wird zuerst ein analoges Tiefpassfilter entworfen. Danach wird das digitale Tiefpassfilter aus dem analogen Tiefpassfilter mit Hilfe der Bilinear-Transformation gewonnen. Die Abtastfrequenz ist 8kHz. Geben Sie die Eckfrequenzen Ω D und Ω S des entsprechenden analogen Tiefpassfilters H T P jω) an. ) e) Ein Butterworth-Filter ist mathematisch beschrieben: HjΩ) = + ) n Ω : Grenzfrequenz n: Filterordnung Geben Sie die Filterordnung des analogen Tiefpassfilters H T P jω) an, wenn H T P jω) ein Butterworth-Filter ist. 5) 6

7 Aufgabe : Lösung Herbst 007 a) Y z) = Hz) = z Xz) = z z z z z ) z ) = + z ) z n ) n hn) = un) + un) b) Hz) = z 7 z + = zz ) z z 7 z + yn) 7 yn ) + yn ) = xn) xn ) c) Konvergenzbereich von Hz): z > d) Hz) ist kausal, da Nennergrad < Zählergrad. Hz) ist stabil, da Pole im Einheitkreis liegen. Die Nullstelle z o = liegt innerhalb des Einheitkreises. Deshalb ist auch stabil. Hz) Daraus folgt, dass Hz) minimalphasig ist. e) Signalflussgraph in Direkte Form II: j Im{z} xn) yn) / / xx / Re{z} 7 z z j f) h ges n) = k= hk)h n k) = k= ) k + ) ) k uk) ) n k un k) uk) = 0, k < 0 und uk)un k) = 0, n < 0 h ges n) = 0, n < 0 h ges kausal uk)un k) 0, n k 0 n ) k ) ) k ) n k n h ges n) = + = k=0 k=0 ) n + ) k ) n

8 ) n h ges n) = n+) + ) n n k=0 h ges n) = 0 n) ) k = n+) ) n ) n 9 ) n + ) n ) ) n+

9 Aufgabe : Lösung Herbst 007 a) X k) = n=0 x n)w kn = W k + W k W k W = e j π X k) = {, j,, + j} b) X k) = X k) = n=0 X k) = {,,, } n=0 X k) = {, j,, j} Hk) = x n)w kn = + W k + W k x n)w kn = + W k + W k W k n=0 hn)w kn = + W k Hk) = {, j,, + j} Y k) = X k)hk) = {, + j,, j} y n) = n=0 y n) = {,,, } Y k)w kn = + + j)w n W n + n j)w ) c) y lf = x n) hn) = {,,,, } Nein, in der zyklischen Faltung tritt Aliasing im ersten Element auf. d) Die minimale DFT-Länge: N + = 5 e) x n) hn) = {0,,,, } y n) = {,,, } x n) hn) = {,, 5, 0, } y n) = {,, 5, 0} f) yn) = {,,,,,,, 5, 0}

10 Aufgabe : Lösung Herbst 007 I. a) Xe jω ) ω=0 = n= xn) = = 7 F{e jπn xn)} = Xe jω+π) ) Xe jω ) ω=π = Xe jω+π) ) ω=0 = n= e jπn xn) = b) F{ [xn) + x n)]} = Re{Xe jω )} / n II. a) h n) ist ein Hochpassfilter. H e jω ) H e jω ) = H 0 e jω+π) ) X 0 e jω ) X e jω ) ω ω ω 0 π π 0 π 0 π π b) X 0 e jω ) = X e jω ) = X e jω ) = ) Xe j ω )H0 e j ω ) + Xe j ω π )H 0 e j ω π ) ) Xe j ω )H e j ω ) + Xe j ω π )H e j ω π ) ) Xe j ω )H0 e j ω+π ) + Xe j ω π )H 0 e j ω π )

11 Aufgabe : Lösung Herbst 007 a) Das Filter ist reellwertig, da Pole und Nullstellen konjugiert komplex sind. Das Filter ist ein Tiefpassfilter und hat die Ordnung von Pole). b) IIR Filter, da Pole nicht im Ursprung sind. Cauer-Filter, da Welligkeit im Durchlass- und Sperrbereich. c) Von der Abbildung ablesen: σ D = 0. und σ S = 0.05 d) Ω D,T P = T tan ω D ) = 6000 tan π 8 ) = 667.Hz Ω S,T P = T tan ω S ) = 6000 tan π 5 ) = 6.68Hz e) Butterworth-Filter: HjΩ) = + ) n Ω : Grenzfrequenz, n : Ordnung) Abweichung im Durchlassbereich: σ D ) HjΩ D,T P ) = + ΩD,T P ) n ΩD,T P ) n ) σ D ) Abweichung im Sperrbereich HjΩ S,T P ) = + ΩS,T P ) n σ S ΩS,T P ) n σ S ) ) n ) ) ΩS,T P Ω D,T P σ S ΩS,T P σ D ) σs log σ D) σ S σ D σd n Ω D,T P ) n σ S σ D) σ S σ D σ D log Ω S,T P Ω D,T P = n = 7 =. 5