Wiederholung. Diese Fragen sollten Sie ohne Skript beantworten können:

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1 Wiederholung Diese Fragen sollten Sie ohne Skript beantworten können: Was bedeutet ein negativer Eponent? Wie kann man den Grad einer Wurzel noch darstellen? Wie werden Potenzen potenziert? Was bewirkt eine Null im Eponenten? Wann kann man Potenzen addieren / subtrahieren? Wie lösen Sie verschachtelte Wurzelausdrücke? Was verstehen Sie unter der Hierarchie der Mathematik? Was ist ein Polynom vom Grade n? Was bedeutet der Begriff Gegenoperation? Wie Lösen Sie eine Gleichung mit einem höheren Operator? Wann sprechen Sie von einer Funktion? Auf welcher Achse wird der Wertebereich abgetragen? Was darf hinter einem Logarithmus nie stehen? Welche Einschränkungen gibt es in der Mathematik noch? Welche Arten der Symmetrie können Funktionen besitzen? Was ist eine Hyperbel und welche Varianten gibt es? Games Academy 05 Torsten Schreiber 0

2 Der Logarithmus dient zur Berechnung eines variablen Ausdrucks im Eponenten. Es gilt: a b log b a logb log a 0er-Logarithmus: Ein Logarithmus ohne Angabe einer Basis ist immer zur Basis 0. Beispiel: log0.000 log 0 Logarithmus naturalis: Der Logarithmus zur Basis e ist der natürliche Logarithmus. Beispiel: 0 ln log,77 e log log0 ln log e Logarithmus dualis: Ein Logarithmus zur Basis nennt man dualis. 5 Beispiel: ld() log 5 ld( ) log Games Academy 05 Torsten Schreiber 0

3 LOG log log log 6 a log + log log log 6 * : 8 log 8 log log log + - Games Academy 05 Torsten Schreiber 0

4 Die zu einem Logarithmusausdruck zugehörige Gegenoperation ist stets ein Eponentialoperator, wodurch sich beide neutralisieren. Die Zusammenhänge ergeben sich wie folgt: log0 0 Ψ log Ψ Ψ ln e e Ω ln Ω Ω ld Θ ldθ Θ Aufgrund dieser Vereinfachungen, muss die zugehörige Basis bzw. der Eponent im ersten Schritt mittels eponentieller/ logarithmischer Gesetze passend umgeformt werden. Beispiel: log 000 ln e + ld6 + 0, log 0,5 + e ln 8 ld log0 + ln e + + ld ( ) log + e ( ) ln ld Games Academy 05 Torsten Schreiber 05

5 Vereinfachen Sie folgende Ausdrücke soweit als möglich. ) log( y) + log( + y) log( y) ) log 5 y ( + y ) ) ln ln + ln + ln ) ln a b c d 5) 6 ld log e ln 5 ln e log 00 + ld 8 6) ld ln log ( e ) + 0,ld 0 log ,0 + 6ln 6 e Games Academy 05 Torsten Schreiber 06

6 Vereinfachen Sie folgende Ausdrücke soweit als möglich. ) log 00 e ln + ld ld0,5 00 log ln e + 0,5ld6 e ln ) ) 8 ld 6ln e + ld6 log e ln 7 ) e ln log 6 ld + log 0,00 ln e + ld 56 Games Academy 05 Torsten Schreiber 07

7 Positiver Logarithmus: Negativer Logarithmus: Ausschließlich positive Steigung Ausschließlich negative Steigung Gemeinsamer Punkt: (/0) Je größer die Basis, desto flacher ab Je größer die Basis, desto steiler vor Games Academy 05 Torsten Schreiber 08

8 Definitionsbereich: Wie man schon durch die Funktionsgraphen erkennen kann, darf man einen Logarithmus nur von positiven Zahlen ziehen. + { R > } R D 0, da 0 > 0 log( > 0) gilt. Beispiel: ln( ) y ( 5 + 6) ( ) ( ) > 0 D { R > < } Wertebereich: Aufgrund der Funktionsgraphen ist ersichtlich, dass ein Logarithmus alle reellen Werte annehmen kann. W y R ( > 0) ( 0), da 0 > 0 gilt. Beispiel: ln( 5 ) y ] ; [ R W y R Games Academy 05 Torsten Schreiber 09

9 Sofern eine reine Logarithmengleichung eistiert kann man diese mit der folgenden Methodik lösen, wobei primäres Ziel eine Isolierung des Logarithmus auf beiden Seiten der Gleichung ist: Methodik:. Die Faktoren vor dem Logarithmus in den Eponenten verschieben.. Alle positiven Terme über den Bruchstrich, alle negativen darunter schreiben.. Streichen der Logarithmen auf beiden Seiten.. Lösen der Gleichung. Beispiel: log log log log log( ) log log 8 8 log log 6 log 6 ( ) log log( ) Games Academy 05 Torsten Schreiber 0

10 I. Bestimmen Sie bei den folgenden Ausdrücken die Lösungsmenge. ) log log log 6 ( ) log 7 + log log 6 ) 6 ln 0,5 ln + ln8,5 ln 8 ln ln II. III. Berechnen Sie bei den folgenden Funktionen den Definitions- und Wertebereich. ) f ( ) ln( ) ) g( ) + log( ) 5) h( ) 5 ld + 6 Vereinfachen Sie folgende Ausdrücke soweit als möglich. ) ) log 000 ln + e + 6 ld + e ln log ( 0 + ld ) log ( ) ( ) ( ) ln ld 6 log 0 ln 0, ld e e 00 ( ) Games Academy 05 Torsten Schreiber

11 I. Bestimmen Sie bei den folgenden Ausdrücken die Lösungsmenge. ) ) 8 9 log(56 ) log 0,5 log,5 log(9 ) + log + log ln ln + ln ln 0,5 ln(6 ) + ln II. Berechnen Sie bei den folgenden Funktionen den Definitions- und Wertebereich. ) ) 5) ( 6 0) f ( ) ln ( 8) g( ) log + h( ) ln 5 ( ) Games Academy 05 Torsten Schreiber

12 Welche neuen Begriffe habe ich kennen gelernt? Games Academy 05 Torsten Schreiber

13 Wiederholung Diese Fragen sollten Sie ohne Skript beantworten können: Was können Sie durch die Art des Logarithmus erkennen? Wie ziehen Sie einen Logarithmus ma. auseinander? Worin liegt der Unterschied zwischen LOG und LN? Wie lautet der Definitionsbereich von Log(-)? Wie lautet die Umkehrfunktion von LD()? Wie können Sie einen LD eliminieren? Aus welchen Schritten besteht das Lösen von Log-Ausdrücken? Wie machen Sie eine Basis passend? Durch welchen Punkt verläuft jede Eponentialfunktion (Warum)? Wie kann man eine Ln-Funktion an beiden Achsen spiegeln? Worin besteht der Unterschied zwischen Ergebnis und Lösung? Wie verläuft die ln()-funktion im Vergleich zu Log()? Welchen Einfluss hat die Basis auf eine Eponentialfunktion? Was bewirkt das Addieren einer Konstanten zu einer Funktion? Welchen Definitions-/ Wertebereich hat die LN-Funktion? Wie machen Sie die Basis zum Logarithmus passend? Games Academy 05 Torsten Schreiber

14 Eine quadratische Gleichung/ Funktion stellt graphisch gesehen immer eine Parabel dar + p + q 0. Um eine quadratische Gleichung lösen zu können, bringt man diese auf die sogenannte Nullform. Die Lösungen dieser Gleichung (Schnittpunkte mit der -Achse) erhält man durch die folgenden Lösungsverfahren: Quadratische Ergänzung: ( + a) + b 0 S( a; b) p-q-formel: / p ± p q Satz von Vieta: + p + q ( + a) ( + b) 0 Games Academy 05 Torsten Schreiber 5

15 Um die p-q-formel zu beweisen, nutzt man das Verfahren der quadratischen Ergänzung auf die allgemeine quadratische Gleichung der Form. Es ist darauf zu achten, dass zum einen durch elementare Umformungen die NULL-Form der Gleichung entsteht und zum anderen kein Faktor vor dem auftauchen darf. Beweis: q p q p q p p Wurzel Halbierung Subraktion des Quadrats q p p + q p + ; p q p p ± / Aufgabe: Entwickeln Sie die Mitternachtsformel basierend auf c b a Games Academy 05 6 Torsten Schreiber

16 ; + + ( + ) + ( + ) 0 ( + ) + ± ± quadratische Ergänzung + + 0; p q / ± ± p-q-formel ( + ) + ( ) ( + ) ( + ) 0 0 Satz von Vieta Games Academy 05 Torsten Schreiber 7

17 Bei einer Parabel handelt es sich um die graphische Darstellung einer quadratischen Funktion. Die relevanten Punkte bzw. der Verlauf kann bereits im Vorfeld näher bestimmt werden. Allgemeine Form: f ( ) α + β + γ Verlauf: gestreckt α > bzw. gestaucht α < nach oben geöffnet α > 0 bzw. nach unten α < 0 Achsenschnittpunkte: y-achse: S ( 0 / γ ) bzw. -Achse: f ( ) 0 (p-q-formel) y Scheitelpunkt: Symmetrie: ( ) ( ) Scheitelpunktform: f ( ) α + a + b S a; b Tiefpunkt α > 0 bzw. Hochpunkt α < 0 Achsensymmetrie f ( ) α + γ Sonst Symmetrie zur parallelen zum Scheitelpunkt Games Academy 05 Torsten Schreiber 8

18 Funktionsgleichung: f ( ) Verlauf: Schnittpunkte: Scheitelpunkt: gestreckt, da α > nach unten geöffnet, daα < 0 S y (0;6) S : 0 8 ( ) ( + ) S ( ;0); S (;0) ( ) ) ( ) + 8 f ( ) 8 Scheitelpunkt (Hochpunkt): S(;8) Symmetrie: Achsensymmetrie zur Parallelen durch Games Academy 05 Torsten Schreiber 9

19 n Eine Bi-Quadratische Gleichung + p + q 0 ist dann vorhanden, wenn zwei Eponenten im Verhältnis : stehen und eine weitere Konstante eistiert. Nach der Substitution der Variablen stehen die bekannten Lösungsverfahren zur Verfügung und man erhält nach Resubstitution die Lösungsmenge. n Beispiel: Substitution: z z z 7 z z ( z 6) ( z ) 0 Resubstitution: ± z / ± 6 ± / ± ± Games Academy 05 Torsten Schreiber 0

20 I. Bestimmen Sie bei den folgenden Ausdrücken die Lösungsmenge. ) ) 0, ,5 ) ( 0) Wenden Sie je ein Verfahren an II. Bestimmen Sie alle relevanten Eigenschaften der gegebenen Parabeln. ) 5) 6) f ( ) + g( ) + + h( ) 00 Verlauf Achsenschnittpunkte Scheitelpunkt Symmetrie III. Bestimmen Sie die Lösung folgender Bi-Quadratischen Gleichungen. 7) ) Games Academy 05 Torsten Schreiber

21 I. Bestimmen Sie bei den folgenden Ausdrücken die Lösungsmenge. ) 8 0 ) 9 0 ) Wenden Sie je ein Verfahren an II. Bestimmen Sie alle relevanten Eigenschaften der gegebenen Parabeln. )f ( ) + 8 5) g( ) Verlauf Achsenschnittpunkte Scheitelpunkt Symmetrie III. Bestimmen Sie die Lösung folgender Bi-Quadratischen Gleichungen. 7) 5 8) Games Academy 05 Torsten Schreiber

22 Welche neuen Begriffe habe ich kennen gelernt? Games Academy 05 Torsten Schreiber

23 Wiederholung Diese Fragen sollten Sie ohne Skript beantworten können: Was versteht man unter der Nullform einer Gleichung? Wie / warum funktioniert der Satz von Vieta? Was sind Linearfaktoren? Warum ist p-q-formel und quadratische Ergänzung identisch? Warum muss bei der QE stets subtrahiert werden? Wann spricht man von einer biquadratischen Gleichung? Wann sollte man substituieren? Was versteht man unter einer Resubstitution? Games Academy 05 Torsten Schreiber

24 Beim Lösen einer beliebigen Gleichung kann abgesehen von der Fallunterscheidung (F) stets mit folgender Methodik gearbeitet werden: Fallunterscheidung: Je nach Aufgabenstellung muss definiert werden, für welchen Bereich die Betrachtung gilt. Rechnung: Die zugrundeliegende Gleichung wird mittels elementarer Umformungen gelöst. Ergebnis: Durch die Berechnungen ergeben sich eine oder auch mehrere Ergebnisse. Probe: Mittels Probe bzw. Abgleich mit dem Definitionsbereich wird der Ergebnisraum untersucht. Lösung: Aufgrund er Probe kann nun die Lösungsmenge angegeben werden. Games Academy 05 Torsten Schreiber 5

25 Da es sich bei dem Betrag einer Zahl um die reine positive Darstellung handelt, wird sie graphisch als sogenannte V-Funktion dargestellt. Die Betragsstriche können weggelassen werden, in dem man den negativen Bereich mit einem zusätzlichen Minus vor dem Term versieht. Beispiel: f ( ) < f ( ) ( ) + f ( ) Aufgrund der Knickstelle ist die Betragsfunktion an der Schnittstelle mit der X-Achse nicht differenzierbar, d.h. es kann keine Steigung berechnet werden. Games Academy 05 Torsten Schreiber 6

26 Ungleichungen, die auf einer Betragsfunktion basieren, können auch mittels (FREPL)-Methodik gelöst werden. Beispiel: 8 > 6 > 8 > 6 ( 8) > 6 Fallunterscheidung 8 > 6 > 7 > + 8 > 6 < > Rechnung > 7 < > > 6 Ergebnis Probe L { R > 7 < } Lösung Durch Multiplikation / Division mit negativen Zahlen dreht sich das Ungleichheitszeichen um. Games Academy 05 Torsten Schreiber 7

27 I. Skizzieren Sie folgende drei Betragsfunktionen ) f ( ) ) g( ) 7 + ) h ( ) cos( ) II. Geben Sie den zugehörigen Lösungsbereich der folgenden Ungleichungen an. ) 5) < > 8 Games Academy 05 Torsten Schreiber 8

28 Ungleichungen, die auf einem Bruch basieren, können ebenfalls mittels FREPL gelöst werden. Da für gewöhnlich im ersten Rechenschritt mit dem Nenner multipliziert wird, muss an dieser Stelle die Fallunterscheidung genutzt werden, um die Multiplikation mit einem negativen Ausdruck mathematisch korrekt darstellen zu können. Beispiel: > ( ) Umkehrung des Ungleichheitszeichen > > ( ) < < ( ) Fallunterscheidung > 6 > < 6 < Rechnung > < Ergebnis 0 > ( 5) 7 5 > ( 5) 8 Probe L { R > < } Lösung Games Academy 05 Torsten Schreiber 9

29 Handelt es sich um ein Polynom vom Grade >, so werden im ersten Schritt die Nullstellen der Gleichung bestimmt. Diese gefundenen Ergebnisse repräsentieren die Intervallgrenzen der Ungleichung, wodurch mittels Probe einer Zahl aus dem Intervall die Lösungsmenge bestimmt werden kann (REPL-Methodik). Beispiel: > 0 Polynomdivision liefert: ( ) ( ) ( + ) > 0 Rechnung ,5 5:( 5 ) ( 5 ) ( 5 + ) < 0 0:(0 ) (0 ) (0+ ) > 0,5:(,5 ) (,5 ) (,5 + ) < 0 :( ) ( ) (+ ) > 0 { R ( > < ) > } L falsch richtig falsch richtig Ergebnis Probe Lösung Games Academy 05 Torsten Schreiber 0

30 I. Lösen Sie die folgenden Gleichungen und geben die Lösungsmenge an. ) 5 > ) ) + + 5) ) ( + ) 6 > 8 > > 6 6) 5 ( ) ( + ) Games Academy 05 Torsten Schreiber

31 I. Lösen Sie die folgenden Gleichungen und geben die Lösungsmenge an. ) 5 > ) ) + < > Games Academy 05 Torsten Schreiber

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