Vorlesung Mathematik für Ingenieure 1 (Wintersemester 2008/09)

Transkript

1 Vorlesung Mathematik für Ingenieure Wintersemester 8/9 Kapitel 4: Matrizen, lineare Abbildungen und Gleichungssysteme Volker Kaibel Otto-von-Guericke Universität Magdeburg Version vom 5. November 8 Page-Rank Sergey Brin & Lawrence Page, 998 Zufalls-Surferin: Klickt immer gleichverteilt zufällig einen der Links auf der aktuellen Seite an. p w k: Wahrscheinlichkeit, dass sie nach genau k Klicks auf Seite w ist Idee: Für k konvergiert? p w k gegen eine Gleichgewichtswahrscheinlichkeit oder einen Besuchs-Anteil p w. Sortiere die WWW-Seiten nach ihren p w -Werten.

2 Ein kleines mit Klick-Wahrscheinlichkeiten

3 Im Gleichgewicht p = p 4 p = p p 3 = p + p 4 p 4 = p 5 p 5 = p + p + p 3 = p + p + p 3 + p 4 + p 5 Relevante Daten Bedeutung des Eintrags in Zeile 3, Spalte 4: Wahrscheinlichkeit, auf Seite 3 zu klicken, wenn der Surfer auf Seite 4 ist.

4 Matrizen 7 Definition 4. Eine m n-matrix ist ein rechteckiges Schema a, a, a,n A = a, a, a,n a m, a m, a m,n mit m Zeilen und n Spalten. Bemerkungen 8 a i,j ist also der Eintrag in Zeile i und Spalte j. Schreibweisen: A = a i,j = a i,j i =,..., m j =,..., n Menge R m n der reellen Matrizen: a i,j R für alle i, j Menge C m n der komplexen Matrizen: a i,j C für alle i, j Hier: Beschränkung auf reelle Matrizen komplexe Matrizen analog

5 Beispiele A = a i,j = 3 4 Z.B.: a, =, a,3 = 4 Die Matrix I n = R 3 = c i,j 9 mit c i,j = für i = j und c i,j = für i j heißt die n n-einheitsmatrix. Beispiele Die Matrix O = O m,n R m n mit lauter Nullen ist die m n-nullmatrix. B = b, R ist eine -Matrix; wir können R mit R identifizieren. Vektoren aus R k kann man als einspaltige k -Matrizen oder als einzeilige k-matrizen auffassen. Konvention: Im Kontext der Matrizenrechnung identifizieren wir R k mit R k Spaltenvektoren

6 Transponierte Definition 4. Die Transponierte einer Matrix A = a i,j R m n ist die Matrix A T = b k,l R n m mit b k,l = a l,k für alle k {,..., n}, l {,..., m} Vertauschung der Rollen von Zeilen und Spalten. A = 3 4 R 3 A T = 3 4 R 3 Addition und skalare Multiplikation Definition 4.3 Für A = a i,j R m n, B = b i,j R m n und λ R definieren wir A + B := a i,j + b i,j R m n Matrizenaddition und λa := λa ij R m n skalare Multiplikation.

7 Beispiele = = Rechenregeln 4 Für A, B, C R m n und λ, µ R gelten: A + B + C = A + B + C A + B = B + A A + O = A λµa = λµa λa + B = λa + λb λ + µa = λa + µa Wie R k bildet auch R m n einen Vektorraum.

8 Zeilen und Spalten Für A R m n : A i, R n ist der aus der i-ten Zeile von A gebildete Vektor der Länge n. 5 i A,j R m ist der aus der j-ten Spalte von A gebildete Vektor der Länge m. j Matrizenmultiplikation Definition 4.4 Für zwei Matrizen A = a i,j R m n und B = b j,k R n p definiere AB = c ik R m p mit n c i,k = a i,j b j,k = A i,, B,k j= für alle i {,..., m}, k {,..., p}. 6 k k i Länge: n Länge: n * = i

9 Beispiel = = 5 8 Formate müssen passen 8 A = 3 5 und B = kann man nicht multiplizieren A hat Spalten, aber B hat 3 Zeilen.

10 Weitere Beispiele = = 3 5 Weitere Beispiele 3 4 = = 4 3 Bemerkung 4.5 Matrizenmultiplikation ist i.a. nicht kommutativ!

11 Rechenregeln Für Matrizen A, B, C jeweils passender Formate und λ R gelten: ABC = ABC AB + C = AB + AC A + BC = AC + BC AλB = λab = λab AB T = B T A T AI n = A = I m A O m,m A = O m,n = AO n,n Multiplikation von Matrizen mit Vektoren Sei A = a i,j R m n. Fasse x R n mit Komponenten x,..., x n als n -Matrix auf Spaltenvektor. Definiere Ax R m als den Vektor mit m Komponenten, der als m -Matrix aufgefasst x A,, x A. =. x n A m,, x a, x + a, x + + a,n x n = a m, x + a m, x + + a m,n x n ist.

12 Lineare Abbildungen 3 Definition 4.6 Eine mittels einer Matrix A R m n definierte Abbildung R n R m, x Ax heißt eine lineare Abbildung. Beispiel 4 f : R R 3 mit f x = 3 5 x x = x + 3x 5x + x x + x für alle x = x, x R, also f x, x = x + 3x, 5x, x.

13 Bildmenge Bild f R des Rechtecks R = [, ] [, ] unter f. Koordinatenprojektion 6 g : R 3 R mit gx, x, x 3 = x x x 3 = x x Projektion auf die ersten beiden Koordinaten.

14 Drehungen 7 Für einen Winkel Φ [, π]: x cosφ sinφ y = sinφ cosφ x y entsteht durch Drehung gegen Uhrzeigersinn um den Winkel Φ um den Ursprung, denn: x + iye iφ = x + iycosφ + i sinφ = x cosφ y sinφ + ix sinφ + y cosφ 8 Beispiel mit Φ = π

15 Mit anschließender x-streckung cosφ sinφ x sinφ cosφ y m = und n = Lineare Funktionen f : R R mit 3 für eine Konstante a R. f x = a x = ax Graph der Funktion f x = 3 x Die Graphen von linearen Funktionen R R sind Geraden durch den Ursprung.

16 m = und n beliebig 3 Lineare Funktionen f : R n R mit f x = f x,..., x n = a,..., a n = a x + + a n x n = a, x x. x n für einen konstanten Vektor a = a,..., a n R n. Graphen f : R R mit f x, y = x + 4y Die Graphen von linearen Funktionen R n R sind Hyper-Ebenen im R n+ durch den Ursprung.

17 Nicht-lineare Abbildung 33 f x, y = 3yx, 3xy Charakterisierung linearer Abbildungen Satz 4.7 Für jede lineare Abbildung f : R n R m mit f x = Ax für eine Matrix A R m n gilt für alle x, y R n und λ R: f x + y = f x + f y und f λx = λf x 34 Bemerkung 4.8 Wir werden später sehen: Zu jeder Abbildung f : R n R m, die für alle x, y R n und λ R erfüllt, gibt es eine Matrix A R m n mit f x = Ax für alle x R n.

18 Lineare Gleichungssysteme Definition 4.9 Ein lineares Gleichungssystem LGS in den Variablen x,..., x n hat die Form 35 a x a n x n = b... a m x a mn x n = b m mit konstanten Koeffizienten a ij R und konstanten rechten Seiten b i R für i {,..., m} und j {,..., n}. Es heißt homogen, wenn b = = b m = ist, sonst heißt es inhomogen. Äquivalenz von LGS 36 Die Lösungsmenge von Ax = b ist {z R n Az = b}. Zwei lineare Gleichungssysteme Ax = b und Ãx = b mit A R m n, b R m, Ã R m n, b R m heißen äquivalent, wenn sie die gleiche Lösungsmenge haben.

19 Zeilenoperationen 37 Die folgenden elementaren Zeilenoperationen überführen ein LGS Ax = b in ein äquivalentes LGS Ãx = b: a Vertauschung von Zeilen b Addition des λ-fachen einer Zeile A i, zu einer anderen Zeile A k, mit k i für ein λ R Das gleiche gilt für die Multiplikation einer Zeile mit einem Skalar λ Skalierung. Strategie: Bringe Ax = b durch elementare Zeilenoperationen und evtl. Skalierung in eine Form, an der man die Lösungen leicht ablesen kann. Köpfe 38 Definition 4. Sei A R m n eine Matrix und i {,..., m}. Falls A i, O n, so heißt i, j mit a i, = = a i,j = und a ij der Kopf der i-ten Zeile von A; die Zahl a ij R ist dann die Kopfzahl der i-ten Zeile. Ist A i, = O n, so hat die i-te Zeile keinen Kopf.

20 Zeilenstufenform Definition 4. Eine Matrix A R m n hat Zeilenstufenform ZSF wenn für ein p {,..., m} A,,..., A p, O n und A p+, = = A m, = O n gilt und für alle i, k {,..., p} mit i < k der Kopf der k-ten Zeile weiter rechts als der Kopf der i-ten Zeile steht insbesondere stehen unter jedem Kopf nur Nullen.Die Spalten, die Köpfe enthalten, heißen Basis-Spalten. Sind zusätzlich alle Kopfzahlen gleich und stehen auch über allen Köpfen nur Nullen, so hat die Matrix A normierte Zeilenstufenform NZSF. 39 Zeilenstufenform 4 #: Zahl, : beliebige Zahl # # #.. #.....

21 Normierte Zeilenstufenform Gauß-Algorithmus für ZSF 4 Eingabe: Ausgabe: A R m n à R m n in ZSF, die durch elementare Zeilenoperationen aus A entstanden ist Falls A = O : à A fertig Sonst suche eine Zeile, deren Kopf am weitesten links steht und vertausche diese Zeile mit der ersten Zeile.

22 Gauß-Algorithmus für ZSF 43 3 Ist, j der Kopf der ersten Zeile, so addiere für alle i {,..., m} das a ij -fache der ersten zur i-ten Zeile a j unter, j stehen in der j-ten Spalte jetzt nur noch Nullen. 4 Sei à R m n j die entstandene Matrix ohne die erste Zeile und die ersten j Spalten; wende das Verfahren rekursiv auf à an. ZSF-Transformation 44 Bemerkung 4. Mit dem Gauß-Algorithmus kann man jede Matrix A in eine Matrix à in ZSF transformieren. Diese ZSF-Matrix à ist aber durch A i. A. nicht eindeutig bestimmt wegen der Wahlmöglichkeiten in Schritt. Die Anzahl der Rechenoperationen ist dabei beschränkt durch const mn min{m, n}.

23 Gauß-Algorithmus für NZSF 45 Eingabe: Ausgabe: à R m n in ZSF à R m n in NZSF, die durch elementare Zeilenoperationen und Skalierung aus à entstanden ist. Dividiere jede Nicht-Null-Zeile durch ihre Kopfzahl. Für i = m, m,..., falls à i, O n : Subtrahiere geeignetes Vielfaches der i-ten Zeile von den Zeilen,..., i, so dass über dem Kopf der i-ten Zeile nur noch Nullen stehen. NZSF-Transformation 46 Bemerkung 4.3 Mit dem Gauß-Algorithmus kann man jede Matrix à Rm n, die in ZSF ist, in eine Matrix in NZSF transformieren. Die Anzahl der Rechenoperationen ist dabei beschränkt durch const mn min{m, n}.

24 Erweiterte Koeffizientenmatrix 47 Definition 4.4 Für ein LGS Ax = b mit A R m n, b R m heißt A, b R m n+ die erweiterte Koeffizientenmatrix von Ax = b. Das LGS Ax = b hat NZSF, wenn A, b NZSF hat. Lösungsstruktur bei NZSF Satz 4.5 Sei Ax = b ein LGS in NZSF; sei r die Anzahl der Nicht-Null-Zeilen von A. Falls b r+ oder b i für i r +, so hat Ax = b keine Lösung. Ansonsten d. h. b r+ = = b m = :. Falls r = n jede Spalte ist Basisspalte: Ax = b hat die eindeutige Lösung x = b,..., x n = b n.. Falls r < n: Ax = b hat unendlich viele Lösungen, die man erhält, indem man den Nicht-Basis-Variablen beliebige Werte zuweist und die Werte der Basis-Variablen anschließend jeweils mit Hilfe der Zeile ausrechnet, deren Kopf in der zugehörigen Spalte steht. 48

25 Lösungen von allgemeinen LGS 49 Bemerkung 4.6 Ein allgemeines LGS Ax = b kann man also lösen, indem man es zunächst via Gauß-Algorithmus in NZSF bringt und dann Satz 4.5 anwendet. Hat man eine beliebige Lösung z mit Az = b, so erhält man alle anderen Lösungen von Ax = b, indem man zu z beliebige Lösungen des homogenen Systems Ax = O addiert. Zurück zum WWW = A = a i,j x [, ] 5 Wahrscheinlichkeitsverteilung Ax: Verteilung ein Schritt später Gleichgewichtsverteilung muss p = Ap erfüllen. Existiert sie? Lineare Algebra

26 Lineares Gleichungssystem Nach den obigen Regeln ist p = Ap äquivalent zu Ap p = O 5, also zu A I 5 p = O 5. Dieses lineare Gleichungssystem p + p 4 = p p = p p 3 + p 4 = p 4 + p 5 = p + p + p 3 p 5 = hat die Lösung ,.7474,.8585,.9696,.9696 mit p + + p 5 =. Gleichgewichtswahrscheinlichkeiten.5,9,9 5,8,9

27 Quadratische Matrizen Definition 4.7 Eine Matrix heißt quadratisch, wenn sie genau so viele Zeilen wie Spalten hat. 53 Definition 4.8 Eine Matrix A = a ij R n n hat obere bzw. untere Dreiecksform, wenn a ij = für alle j < i bzw. für alle j > i gilt. Definition 4.9 Die Hauptdiagonale einer n n Matrix besteht aus den Positionen i, i für i {,..., n}. Dreiecksmatrizen und LGS 54 Bemerkung 4. Sei A = a ij R n n eine obere oder untere Dreiecksmatrix.. Ist a ii für alle i, so sind für alle b, c R n die Systeme Ax = b und y T A = c T eindeutig lösbar.. Ist a ii = für irgendein i, so ist Ax = e i nicht lösbar.

28 Invertierbarkeit 55 Definition 4. Eine quadratische Matrix A R n n heißt invertierbar oder regulär, falls eine Matrix B R n n existiert mit AB = I n.eine solche Matrix B ist eindeutig bestimmt wenn sie existiert; sie wird mit A Inverse von A bezeichnet.eine nicht invertierbare quadratische Matrix heißt singulär. Korollar 4. Eine Dreiecksmatrix ist genau dann invertierbar, wenn sie auf der Hauptdiagonalen keine Null hat. Rechenregeln 56 Seien A, B R n n invertierbar. Dann gelten: AA = A A = I n A = A A T = A T AB = B A Sind A,..., A k R n n invertierbar, so ist A A A k invertierbar mit A A A k = A k A A.

29 Invertierbarkeit und LGS Bemerkung Ist A R n n invertierbar, so hat für jedes b R n das LGS Ax = b genau eine Lösung: x = A b. Satz 4.4 Eine Matrix A R n n ist genau dann invertierbar, wenn das LGS Ax = O n nur die Lösung x = O n hat. Korollar 4.5 Elementare Zeilen- und Spaltenoperationen ändern die Invertierbarkeit einer Matrix nicht. Achtung: Die Inverse ändert sich i.a. aber schon. Kriterien für Invertierbarkeit 58 Korollar 4.6 Eine Matrix A R n n ist genau dann invertierbar, wenn ihre Spalten linear unabhängig sind. Korollar 4.7 Eine Matrix A R n n ist genau dann invertierbar, wenn ihre Zeilen linear unabhängig sind.

30 Invertierbarkeit und lineare Abbildungen 59 Satz 4.8 Eine durch ϕx = Ax mit A R n n definierte lineare Abbildung ϕ : R n R n ist genau dann umkehrbar, wenn A invertierbar ist. Die Umkehrabbildung ist dann definiert durch ϕ y = A y für alle y R n. Elementarmatrizen 6 Definition 4.9 Eine Elementarmatrix ist eine Matrix, die aus einer Identitätsmatrix durch eine elementare Zeilenoperation oder eine Zeilenskalierung hervorgeht.

31 Invertierung von Elementarmatrizen Bemerkung Elementarmatrizen sind invertierbar. Ihre Inversen sind die Elementarmatrizen, die zu den jeweiligen Umkehroperationen Vertauschen, Subtraktion des λ-fachen, Multiplikation mit Kehrwert gehören. Entsteht à aus A R m n durch eine Folge von elementaren Zeilenoperationen und Zeilenskalierungen mit zugehörigen Elementarmatrizen E,..., E k R m m, so ist à = PA mit der invertierbaren Matrix P = E k E E R m m. Invertierung mittels Gauß-Algorithmus Sei A R n n. Forme A, I n R n n mittels elementarer Zeilenoperationen und Zeilenskalierungen in Ã, B um, so dass à in NZSF ist. Ist P R n n das Produkt der zugehörigen Elementarmatrizen wie in Bem. 4.3, so ist Ã, B = P A, I n = PA, P, also B = P und à = PA = BA. Falls à = I n ist, so ist also I n = BA, folglich A = B. Falls à I n à hat NZSF, so hat à wenigstens eine Null auf der Hauptdiagonalen, also ist A nicht invertierbar. 6