Lernbuch Lineare Algebra und Analytische Geometrie, 2. Auflage 2012

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1 Lernbuch Lineare Algebra und Analytische Geometrie, 2 Auflage 22 Korrekturen 8 statt y M lies y N 2 statt m + n = m +(n )=m +(n ) lies m + n = m +(n ) 2 statt #P(M) lies #P (M) 4 7 statt Beispiel c) lies Beispiel i) 4 4 statt M lies M 9 6 statt n + m lies n + m 7 ergänze und er heißt nullteilerfrei, wenn aus a b = folgt, dass a =oderb = 7 2 statt n lies n 2, statt n 2 lies n 22 statt a, b R lies a, b R 36 statt ) und 2) lies a) und b) statt 3) lies c) 37 3 statt α a n lies α a N 47 9 statt (it) lies (it) n 47 statt i t4 t lies 4 4! 4! l k 29 2 statt lies i= i= n r 29 4 statt lies i= 23 3 statt a 2 =2 lies a 2 = 2 2 statt 23 lies , statt A ij lies A ij 39 8 statt µ 2 ω 2 lies µ 2 ω 2 > 427 tausche die Seite aus durch 427 neu (sh unten) 438 statt Satz lies Satz Einfügung 38 neu (sh unten) 49 statt w lies ω (in der Abbildung) i=

2 34 QR-Zerlegung und Methode der kleinsten Quadrate 427 t AAx = t Ab ( ) Die Gleichungen des Systems ( ) werden Normalgleichungen zu den Gleichungen ( ) genannt Ihre Eigenschaften ergeben sich aus dem folgenden Lemma Für jedes A 2 M(m n,r) ist t A A 2 M(n n) symmetrisch und rang( t A A)=rang A Vorsicht! Für beliebige Körper K ist die Aussage über den Rang nicht gültig Man betrachte etwa K = F 2 (siehe 37) mit A =(,) und t A A =() Beweis Die Symmetrie folgt sofort aus der Rechenregel für die Transposition in 244 Zur Berechnung des Ranges betrachten wir die linearen Abbildungen R n A! R m t A! R n Nach der Dimensionsformel aus 23 genügt es zu zeigen, dass Im(A) \ Ker( t A)={} R m Sei also w = t (x,, x m ) 2 Im(A) \ Ker( t A) Dann gibt es ein v 2 R n mit w = Av und t Aw = 2 R n Daraus folgt = t v( t Aw)= t v( t AAv)= t ww = x x2 m und somit w = Nach Voraussetzung ist rang A = n, also folgt aus dem Lemma t AA 2 GL(n;R) Somit ist das System ( ) eindeutig lösbar durch x =( t AA) tab Für die Norm des minimalen Fehlers ergibt sich unter Benutzung von ( ) kv(x )k 2 = t (Ax b)(ax b)= t bb t bax Damit ist das oben formulierte Problem für die Theorie gelöst: Man multipliziert die im allgemeinen unlösbare Bedingung Ax = b von links mit t A und erhält eine eindeutige beste Approximation

3 38 Die Singulärwert-Zerlegung Die Singulärwert-Zerlegung In 23 hatten wir für jede Matrix A 2 M(m n;k) vom Rang r über einem beliebigen Körper K eine Normalform Er D = 2 M(m n;k) konstruiert Das bedeutet, dass es Matrizen S 2 GL(m;K) und T 2 GL(n;K) gibt derart, dass D = S A T dh A = S D T Die zweite Gleichung beschreibt eine Zerlegung von A Betrachtet man die Matrizen als lineare Abbildungen, so ergibt das ein kommutatives Diagramm K n A K m T S K n D K m Im Spezialfall K = R sollte eine Normalform von A auch Informationen über die Längenveränderungen bei Anwendung der Abbildung A enthalten Das ist dann möglich, wenn die Transformationsmatrizen S und T orthogonal gewählt werden In D entsteht dann statt E r eine Diagonalmatrix mit positiven Einträgen, den sogenannten Singulärwerten von A Nach diesen Vorbereitungen kommen wir zum Satz über die Singulärwertzerlegung Zu jeder Maxtrix A 2 M(m n; R) vom Rang r gibt es orthogonale Matrizen S 2 O(m) und T 2 O(n), sowie ein Sr D = B 2 M(m n;r) mit S r und s > s 2 > > s r > derart, dass A = t S D T s s r C A 2 M(r r;r) Die positiven Zahlen s,,s r sind dabei bis auf die Reihenfolge eindeutig bestimmt, sie heißen Singulärwerte von A Beweis Der Kniff ist, die symmetrische Matrix t A A 2 M(n n;r)

4 4 Bilineare Algebra und Geometrie zu benutzen Nach dem Spektralsatz aus 37 gibt es dazu eine Orthonormalbasis (v,,v n ) von R n bestehend aus Eigenvektoren von t A A zu reellen Eigenwerten l,,l n Es gilt für j =,,n l j = hv j,l j v j i = t v j ( t AA)v j = t (Av j ) (Av j ) > ( ) Nach dem Lemma aus 34 ist rang( t AA)=rang A = r Daher kann man die Eigenwerte so anordnen, dass Setzen wir s j := l > l 2 > > l r > und l r+ = = l n = q l j > für j =,,n, so ist nach ( ) Av j 2 = l j also Av j = s j Für j =,,r setzen wir w j := s j Av j, also ist w j = und Av j = s j w j Die Vektoren w,,w r 2 R m sind auch orthogonal, denn für i, j ist s i s j hw i,w j i = t (Av i )(Av j )=hv i,l j v j i = l j hv i,v j i = Nach dem Verfahren von GRAM-SCHMIDT wird die orthonormale Familie (w,,w r ) zu einer Orthonormalbasis (w,,w m ) von R m ergänzt Seien nun S 2 O(m) die Matrix mit den Vektoren w,,w m als Zeilen, und T 2 O(n) die Matrix mit den Vektoren v,,v n als Zeilen Diese Matrizen ergeben ein kommutatives Diagramm linearer Abbildungen R n A R m v j s j w j T R n D S R m wobei e j s j e j für j =,r Für j = r +,,n bewiesen ist Av j = und De j = Damit ist die Existenz von S und T Die Eindeutigkeit der Singulärwerte ist leicht zu sehen: Ist A = t S D T, so folgt t A A =( t T td S)( t S D T)= t T( t D D)T Also sind die s 2 j die Eigenwerte von t A A

5 38 Die Singulärwert-Zerlegung 4 Beispiel Um den Rechenaufwand möglichst gering zu halten, betrachten wir eine sehr einfache Abbildung A : R 3! R 2, nämlich 3 4 A := mit t A A 9 2 A 2 6 Das charakteristische Polynom von t A A ist gleich X 3 26X 2 + 2X =(X 2)(X )X, Also ist l = 2, l 2 = und l 3 = Die zugehörige Orthonormalbasis des R 3 ist gegeben durch v 3 A, v 2 A, v 3 4 A 4 3 Mit Hilfe von s = und s 2 = ergibt sich w = Av s = und w 2 = Av 2 s 2 Damit erhält man die Transformationsmatrizen S = und T = 3 A, 4 3 sowie D = S A tt = Zur Geometrie der Abbildung: Av = w und Av 2 = w 2 bedeutet, dass in Richtung von v stark verändert wird, in Richtung von v 2 gar nicht Der Vektor v 3 erzeugt den Kern von A Als erste Anwendung der Singulärwert-Zerlegung erhält man aus den Werten der s j präzise Informationen über die metrischen Eigenschaften der durch A definierten linearen Abbildung Matrizen dienen aber auch als Speicher von Daten verschiedenster Art Dabei können oft relativ kleine Singulärwerte s k+ > > s r > zur Vereinfachung ohne großen Verlust von Informationen vernachlässigt werden Dazu setzt man B S k s s k C A 2 M(k k;r) und D k := Sk 2 M(m n;r) Die Matrix A k := t S D k T hat dann nur noch den Rang k und vereinfacht A Setzen wir in obigem Beispiel k =, so wird A = t S T = Mehr dazu findet man etwa bei [L-M, Kap 9] 3 4

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