Lineare Algebra I Vorlesung - Prof. Dr. Daniel Roggenkamp & Falko Gauß
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- Teresa Albrecht
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1 Lieare lebra - 3 Vorlesu - Prof Dr Daiel Roekamp & Falko Gauß Probeklausur: Samsta, 5 Uhr, 6 meldu i de Übusruppe
2 5 Matrize ud Lieare Gleichussysteme Matrize: effiziete eschreibu vo lieare bbildue zwische edlich-dimesioale Vektorräume Pla: 5 rechu 5 Matrize ud Lieare bbildue 53 Lieare Gleichussysteme 5 Matrize ud Lieare Gleichussysteme
3 5 Matrizerechu Was s Matrize? (K: Körper) Defiitio 5 () Eie m - Eiträe i K ei rechteckies Schema m Zeile ud Spalte ud Eiträe i K: a a a a a a (a ij) m i j, a ij K a m a m a m Die Eiträe a ij et ma koe ziete ud schreibt a ij () ij 5 Matrizerechu
4 Die Mee m x -Matrize ei Vektorraum! ij ij ij () Die Mee aller m -Matrize wird bezeichetsieträt Struktur eies K-Vektorraums vermöe folede Operatioe: Skalare Multiplikatio: ka ka ka k (ka ij ) m i j ka ka ka ka m ka m ka m dditio: a + b a + b a + b + (a ij + b ij ) m i j a + b a + b a + b a m + b m a m + b m a m + b m Null-Elemet: 5 Matrizerechu
5 Matrize bestehe aus Zeile- ud Spaltevektore (3) Für apple i apple m (a ij ) j (a i a i a i ) Mat(, i-te Zeilevektor vo, udfür apple j apple a j (a ij ) m a j i ; a mj j-te Spaltevektor vo, vl bbildu 5 5 Matrizerechu
6 emerku 53 K-Vektorraum Dimesio asis: dim( ) m { apple apple apple apple } { apple apple apple apple }, a b ^ i j E (ai), E (ai) bj, sost " im Spezialfall ; e a : E (a ) i-te Spalte a-te Zeile a-te Zeile Jede läßt sich eeuti als Liearkombiatio schreibe: 5 Matrizerechu
7 Matrize ka ma multipliziere! Defiitio 54 Für (a ij ) m i j, (b jk ) j o k o; defiiere das produkt P! m o X j a P j b j j a j b jo : a ij b jk o; P j i k j a P mj b j j a mj b jo eachte: zahl Spalte vo zahl Zeile vo : o;! o; ( ) ij produkt (i-ter Zeilevektor vo )(j-ter Spaltevektor vo ) 5 Matrizerechu
8 Rechereel: Propositio 56 Es elte folede Reel: () ( ) ( ) o; Mat(o, p; (ssoziativität) () ( + ) ( )+( ) ( + )( )+( ) (3) (k)k( ) (k) chtu: produkt icht kommutativ!,, o; o; k K (Dributivität) eweis: Übusaufabe! emerku (, +, ) bildeteieri 5 Matrizerechu
9 multiplikatio Lieare bbildue Korollar 57 sbesoe für alle udalleo N bbildu : o;! P o; 7! P ei Vektorraumhomomorphismus P Kompositio ser Homomorphisme eebe durch multiplikatio: m; Mat(l, m; 7 : o;! o;!, 7 : o;! Mat(l, o;! ( ) () ( ) 5 Matrizerechu
10 multiplikatio Lieare bbildue Wichtier Spezialfall: Operatio auf Spaltevektore : ;! ; P b i b a P i b i b 7! b i a i b i P b i a mi b i Hom ( ;, ; ) Propositio 58 Die bbildu, 7!, eie auf lieare bbildu () Hom(;, ; ) abbildet, ei somorphismus vo Vektorräume! Hom ( ;, ; ) 7! Jede lieare bbildu zwische Räume vo Spaltevektore also eeuti durch eie beschriebe, ud Kompositio ser bbildue etspricht multiplikatio 5 Matrizerechu
11 multiplikatio Lieare bbildue eispiel 59 Eiheitsmatrix : Es ilt: m für alle lso: m :! 5 Matrizerechu
12 prop:iv} Matrizerechu 44 5 Matrizerechu Propositio 5 Da s folede ediue a quivalet Matrizerechu Propositio 5 Da s folede ediue a quivalet () () Die Die bbildu bbildu :: ; ;!! ; ; bijektiv bijektiv () Es ibt eie eeuti, ud () Es ibt eie sbesoe,, eeuti, ud es es ilt ilt f u r alle etspricht :! m vertierbare Matrize: sbesoe etspricht :! wird iverse eat Ma schreibt fu r alle sbesoe etspricht :! mm schreibt wird iverse eat Ma detita tsabbildu a tsabbildu detit a tsabbildu op:iv} eweis ) : Umkehrabbildu vo eweis ) : Umkehrabbildu vo Propositio Propositio ibt ibt es es eie eie eeueeuprop:iv} Propositio 5 Da prop:iv} s folede ediue a quivalet tie, Nu ilt Propositio Da ediue a quivalet ; tie 5, Nu ilts () () () () () () Propositio 5 Da s folede folede ediue a quivalet ; () Die bbildu : ;! ; bijektiv eispiel 59 te ;,, w ach () Die :: ;; bijektiv eispiel 59bbildu like like te Gleichu Gleichu erade wa hred a hred ach Korollar Korollar rechte rechte () Die bbildu!!erade bijektiv ; ()()Es ibt eie, 58 eeuti, ud es ilt te ichts aes als ( ) us Propositio daher Da f u r Es ibt eie, eeuti, ud es ilt te ichts aes als ( ) us Propositio 58 daher Da f u r () Es ibt eie, eeuti, ud es ilt wird iverse eat Ma schreibt Umkehrabbildu () eauso, dass Eeutikeit eat Ma schreibt Umkehrabbildu () ; eauso, Eeutikeit ; wird wird iverse iverse eat Madass schreibt aus Eeutikeit Umkehrabbildu aus Eeutikeit Umkehrabbildu eweis ) : Umkehrabbildu vovo Propositio 5858 ibt es eie eeu da eeuti eweis ) : Umkehrabbildu Propositio ibt es eie eeueweis ) : Umkehrabbildu vo Propositio 58 ibt es eie eeu ( : eie Da ilt f u r alle x ; ( : eie f u r alle x ; tie, Nu ilt () () () Da ilt ; tie ), Daraus ilt Nu ilt {}, () () () ; es x x ( x ( x), dass ker() also ijektiv tie, Nu ilt () () () x 59 x ) xte ( Gleichu x) Daraus,dass ker() {}, also 57 ijektiv ; eispiel ( like erade, w,a hred ach Korollar rechte eispiel 59 like te Gleichu erade w a hred ach Korollar 57 rechte Korollar 444 surjektiv ud da bijektiv eispiel like te Gleichu erade iverse, wa hred ach Korollar 57 rechte Korollar surjektiv ud da bijektiv wird zu eat: te ichts aes als ( ) us Propositio 58 daher Da f u r : te ichts aes als ( ) us Propositio 58 daher Da fu r te ichts aes als ( ) us Propositio 58 dass Eeutikeit Da fu r () eauso, daher efi:l} Umkehrabbildu ; defi:l} Umkehrabbildu () ; eauso, dass Eeutikeit Umkehrabbildu () Umkehrabbildu ; eauso, dass Eeutikeit Defiitio 5 ausaus Eeutikeit Umkehrabbildu Defiitio 5 Eeutikeit Eie, i Propositio 5 et aus Umkehrabbildu ( : eie ediue iltilt fu rfu r allealle x xerf ; Eie, ediue Propositio 5 erf u llt et ( : Eeutikeit eie Da Da u llt ; i x ma x ( ) x ( x) Daraus, ilt {}, also x ijektiv ( : dass dass ker() ker() Da fu r alle ; ma ivertierbar x xivertierbar ( ) x eie ( x) Daraus, {}, also ijektiv Korollar ( { bildet surjektiv ud da bijektiv x Die xteilmee 444 (444 )GL x : ( Daraus ker() {}, alsozusamme ijektiv Die Teilmee GL ( : { x), dass ivertierbar} ivertierbar} bildet zusamme Korollar surjektiv ud da bijektiv multiplikatio eie Gruppe Ma et sie allemeie lieare multiplikatio eie Gruppe Ma et sie allemeie lieare Korollar 444 surjektiv ud da bijektiv fi:l} defi:l} Gruppe (Die Gruppe (Die Gruppeaxiome Gruppeaxiome pr pru ft u ft ma ma leicht leicht ach ach das das eutrale eutrale Elemet) Elemet) Defiitio 5 defi:l} Defiitio 5 eispiel 5 eispiel 5 Eie, ediue i i Propositio 5 erfu llt et Defiitio 5 Eie, ediue Propositio 5 erfu llt et () () ma ivertierbar ma ivertierbar Produkte dreht Eie, ediue i Propositio 5 erfu llt et eachte: eim vertiere vo sich Reihefole um! a b b{ Die Teilmee GLGL :a: { ; ivertierbar} zusamme Mat(, ad bc 6 bildet Die Teilmee ivertierbar} bildet zusamme ma ivertierbar ( ( Mat(, ; ad bc 6 c d c deie multiplikatio Gruppe sieivertierbar} allemeie lieare Gruppe multiplikatio et allemeie lieare, sie GL ( Die Teilmee ( GL ( Ma et bildet zusamme ) :{ eie Ma Da iverse eebe durch Gruppe (Die Gruppeaxiome pru ft ma leicht ach dasdas eutrale Elemet) Da iverse eebe Gruppe (Die Gruppeaxiome pr u ft ma leicht ach eutrale Elemet) multiplikatio eiedurch Gruppe Ma et sie allemeie lieare ma leicht dd bbach das eutrale Elemet) eispiel 5 Gruppe pru ft eispiel 5 (Die Gruppeaxiome ad bc cc aa ()() ad bc 5 Matrizerechu eispiel 5 a b
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