Mathematik 2 für Naturwissenschaften

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1 Hans Walser Mathematik für Naturwissenschaften Modul Lineare Abbildungen. Eigenwerte Lernumgebung. Teil

2 Hans Walser: Modul, Lineare Abbildungen. Eigenwerte. Lernumgebung. Teil ii Inhalt Lineare Abbildung in der Ebene... Spiegelung... Drehung... Abbildung... 5 Additionstheoreme... 6 Lineare Abbildung... 7 Lineare Abbildung Matrix gesucht Matrix gesucht... 8 Matrix gesucht... 9 Drehmatrix gesucht... 9 Abbildungstyp?... Vom Raum auf die Ebene... Ein eigenartiges Beispiel... 5 Abbildung... 6 Lineare Abbildung in der Ebene Lineare Abbildung in der Ebene Eigenvektoren und Eigenwerte Lineares Differenzialgleichungssystem erster Ordnung Homogener Fall Inhomogener Fall... Modul für die Lehrveranstaltung Mathematik für Naturwissenschaften Sommer Erstausgabe Sommer 5 Kleine Ergänzungen Sommer 6 MathType Sommer 7 Neue Moduleinteilung. Erweiterungen Frühjahr 9 Erweiterungen. Geändertes Layout Frühjahr Unterteilung in zwei Teile Frühjahr Ergänzung Frühjahr Formale Überarbeitung last modified: 6.. Hans Walser Mathematisches Institut, Rheinsprung, 5 Basel

3 Hans Walser: Modul, Lineare Abbildungen. Eigenwerte. Lernumgebung. Teil Lineare Abbildung in der Ebene Gesucht ist die Abbildungsmatrix zu folgender Abbildung Urbild und Bild A = Spiegelung Bei der Matrix ist A = u u = u u das heißt, es wird die Reihenfolge der Koordinaten vertauscht. Was heißt das? Bearbeitung Geometrisch bedeutet dies, dass an der Geraden u = u gespiegelt wird.

4 Hans Walser: Modul, Lineare Abbildungen. Eigenwerte. Lernumgebung. Teil Urbildgesicht Urbildgesicht und Bildgesicht Drehung Bei der Matrix ist: Was heißt dies? A = u u = u u Bearbeitung Dies ist eine Drehung um den Ursprung um + π Urbildgesicht Urbildgesicht und Bildgesicht

5 Hans Walser: Modul, Lineare Abbildungen. Eigenwerte. Lernumgebung. Teil Abbildung Welche Abbildung ergibt sich durch die Matrix A =? Was ist das Bild des gezeichneten Quadrates? x x Bild des Quadrates? Die Abbildung ist eine so genannte Scherung. x x Scherung

6 Hans Walser: Modul, Lineare Abbildungen. Eigenwerte. Lernumgebung. Teil 5 Additionstheoreme Wie lassen sich durch Zusammensetzung zweier Drehungen die Additionstheoreme für den Kosinus und den Sinus finden? Bearbeitung Es ist: R β R α = cos β sin β = cos( α )cos β sin( α )cos β Andererseits ist: Vergleich ergibt: ( ) sin( β) ( ) cos( β) cos( α sin( α ) cos( α ) ( ) sin( α sin α ( ) + cos( α )sin( β) cos α R β R α = R α +β = cos α + β sin α + β ( ) = cos α ( ) = sin α cos α + β sin α + β ( )cos β ( )cos β ( ) sin( α + β) ( ) cos( α + β) ( )cos β ( )cos β ( ) sin α ( ) + cos α ( )sin β ( )sin β ( ) cos α ( ) sin α ( ) ( ) ( )sin( β) ( )sin( β) 6 Lineare Abbildung A = a) Was ist A = AA, A = AAA, A,? Kommentar? b) Skizzieren Sie das Bild des Würfels bei der Abbildung A. Um welche Abbildung handelt es sich? Urbild

7 Hans Walser: Modul, Lineare Abbildungen. Eigenwerte. Lernumgebung. Teil 5 a) A =, A =, A = E, A 5 = A,, A n = A n, b) Drehung um e um π. Urbild und Bild

8 Hans Walser: Modul, Lineare Abbildungen. Eigenwerte. Lernumgebung. Teil 6 7 Lineare Abbildung A = a) Was ist A = AA, A = AAA, A,? Kommentar? b) Skizzieren Sie das Bild des Würfels bei der Abbildung A. Um welche Abbildung handelt es sich? Urbild c) Skizzieren Sie das Bild des Würfels bei der Abbildung A Urbild a) A =, A = E, A = A,, A n = A n,

9 Hans Walser: Modul, Lineare Abbildungen. Eigenwerte. Lernumgebung. Teil 7 b) Drehung um die Körperdiagonale durch den Ursprung um. c) Bild Bild

10 Hans Walser: Modul, Lineare Abbildungen. Eigenwerte. Lernumgebung. Teil 8 8 Matrix gesucht Gesucht ist die passende Abbildungsmatrix. Das Urbild ist links. Urbild und Bild A = 9 Matrix gesucht Gesucht ist die passende Abbildungsmatrix. Das Urbild ist links. Urbild und Bild

11 Hans Walser: Modul, Lineare Abbildungen. Eigenwerte. Lernumgebung. Teil 9 A = Matrix gesucht Gesucht ist die passende Abbildungsmatrix. Das Urbild ist links. Urbild und Bild A = Drehmatrix gesucht Gesucht ist die passende Abbildungsmatrix. Das Urbild ist links. Die Drehachse ist aus der Figur ablesbar. Der Drehwinkel ist 5.

12 Hans Walser: Modul, Lineare Abbildungen. Eigenwerte. Lernumgebung. Teil Urbild und Bild A = + + Abbildungstyp? Urbild und Bild Das Urbild ist oben. Um was für eine Abbildung handelt es sich? Abbildungsmatrix? Bearbeitung Erster Lösungsweg Drehung um die Achse e + e ( ) um den Winkel π.

13 Hans Walser: Modul, Lineare Abbildungen. Eigenwerte. Lernumgebung. Teil Zweiter Lösungswerg Zuerst Drehung um e um π. Dann Drehung um e um π. Abbildungsmatrix A = Vom Raum auf die Ebene Welche Abbildung beschreibt die Rechtecksmatrix: Bearbeitung Bei der Rechtecksmatrix A = ist: A = u u u = u u Die dritte Koordinate, also u, geht verloren. Die räumliche Figur wird auf die Grundrissebene (mit nur noch den Koordinaten u und u ) plattgedrückt. Diese Abbildung heißt Normalprojektion auf die Grundrissebene. Das sieht dann so aus (der Würfelkopf hängt schräg im Raum, also nicht parallel zu den Koordinatenachsen):

14 Hans Walser: Modul, Lineare Abbildungen. Eigenwerte. Lernumgebung. Teil Urbildkopf Urbildkopf und flacher Bildkopf Von vorne sehen wir vom Bildkopf nichts, weil er flach gedrückt ist, und auch von oben sehen wir vom Bildkopf nichts, weil er unter dem räumlichen Würfelkopf versteckt ist. Sicht von vorne (Aufriss) und von oben (Grundriss) Bei dieser Abbildung haben wir einen Dimensionsverlust. Das heißt aber auch, dass wir aus der Bildfigur die Urbildfigur nicht mehr rekonstruieren können. Die Abbildung ist nicht umkehrbar. Ein eigenartiges Beispiel Was geschieht bei der Abbildung mit der Matrix A: Bearbeitung Mit der Matrix A A = 6

15 Hans Walser: Modul, Lineare Abbildungen. Eigenwerte. Lernumgebung. Teil erhalten wir: A = Urbildgesicht und dünnes Bildgesicht Wir haben einen Dimensionsverlust. Alle Bildpunkte liegen auf der Geraden v = v. Die Abbildung ist nicht umkehrbar

16 Hans Walser: Modul, Lineare Abbildungen. Eigenwerte. Lernumgebung. Teil 5 Abbildung Welche Abbildung ergibt sich durch die Matrix A =? a) Was ist das Bild des gezeichneten Quadrates? x x Bild des Quadrates? b) Was ist das Bild des gezeichneten Kreises?

17 Hans Walser: Modul, Lineare Abbildungen. Eigenwerte. Lernumgebung. Teil 5 x - - x - - Bild des Kreises? a) Bild des gezeichneten Quadrates (Dimensionsverlust) x x Bild des Quadrates. Dimensionsverlust

18 Hans Walser: Modul, Lineare Abbildungen. Eigenwerte. Lernumgebung. Teil 6 b) Bild des gezeichneten Kreises (Dimensionsverlust) x - - x - - Bild des Kreises. Dimensionsverlust 6 Lineare Abbildung in der Ebene Gesucht ist die Abbildungsmatrix zu folgender Abbildung. Welches sind die zugehörigen Eigenvektoren und Eigenwerte? Urbild und Bild

19 Hans Walser: Modul, Lineare Abbildungen. Eigenwerte. Lernumgebung. Teil 7 A =, keine Eigenvektoren 7 Lineare Abbildung in der Ebene Gesucht ist die Abbildungsmatrix zu folgender Abbildung. Welches sind die zugehörigen Eigenvektoren und Eigenwerte? Urbild und Bild A =, λ =, u =, λ =, u = 8 Eigenvektoren und Eigenwerte Gesucht sind Eigenvektoren und Eigenwerte der Matrix A = 8. u = 8 λ = 5, u = λ =

20 Hans Walser: Modul, Lineare Abbildungen. Eigenwerte. Lernumgebung. Teil 8 9 Lineares Differenzialgleichungssystem erster Ordnung 9. Homogener Fall Wir suchen die Funktionen y t ( ) und y ( t) so dass: y = y + y y = y y Wir haben ein System homogener linearer Differenzialgleichungen erster Ordnung. Mit den Schreibweisen ( ) = y ( t) y ( t) Y t können wir das in der kompakten Form Y und A = ( t) = AY t schreiben. Das erinnert formal an die gewöhnliche Differenzialgleichung y = ay mit der Lösung y t ( ) ( ) = be at. Wir versuchen daher folgenden Ansatz: y ( t) = c e λt y ( t) = c e λt Wir haben also in den beiden Funktionen zwar verschiedene Konstante Faktoren c und c, aber dasselbe λ. Mit dem Vektor C = c c können wir den Ansatz kompakter schreiben: Ableiten ergibt: ( ) = y ( t) y ( t) Y t Y ( t) = Ce λt ( ) = c eλt c e λt = c c eλt = Ce λt Y ( t) = y t y ( t) = c λt λe c λe λt = c c λeλt = Cλe λt Y ( t) = Cλe λt Wir sehen hier, dass es wichtig ist, dass wir in beiden Funktionen dasselbe λ haben. Einsetzen in das Differenzialgleichungssystem Y t Cλe λt = ACe λt ( ) = AY ( t) liefert:

21 Hans Walser: Modul, Lineare Abbildungen. Eigenwerte. Lernumgebung. Teil 9 Den Anteil e λt können wir wegdividieren. Den Vektor C können wir aber nicht weglassen, weil man nicht durch einen Vektor dividieren kann. Wir erhalten Cλ = AC oder AC = λc Wir sehen, dass C ein Eigenvektor und λ der zugehörige Eigenwert für die Matrix A sein muss. Für die Matrix A = ergeben sich die Eigenwerte λ = und λ = mit passenden Eigenvektoren: u = und u = Da mit einem Eigenvektor auch ein Vielfaches davon Eigenvektor ist, erhalten wir ( ) = b Y t et und Y t ( ) = b e t mit beliebigen Koeffizienten b und b, und daraus die allgemeine Lösung für den homogenen Fall oder detailliert: MuPAD liefert: ( ) = b Y t y(t) = C*exp(-*t) + C*exp(*t) et + b y ( t) = b e t + b e t y ( t) = b e t b e t y(t) = /*C*exp(*t) - C*exp(-*t) e t Setzt man C = b und C =b, erhalten wir unsere Lösung. Zur Kontrolle setzen wir in die Differenzialgleichungen y = y + y ein: y = y y b e t b e t =? ( b e t + b e t ) + ( b e t b e t ) b e t ( )b e t =? ( b e t + b e t ) ( b e t b e t ) o.k.

22 Hans Walser: Modul, Lineare Abbildungen. Eigenwerte. Lernumgebung. Teil 9. Inhomogener Fall Wir untersuchen das Beispiel: Y ( t) = Y t ( ) + t cos( t) Die allgemeine Lösung des homogenen Falls haben wir schon gefunden. Für eine partikuläre Lösung des inhomogenen Falls machen wir den Ansatz: Y partikulär t ( ) = a cos( t) + bsin( t) + ct + d ecos( t) + f sin( t) + gt + h In diesem Ansatz werden die Funktionen im Störungsterm aufgenommen. Einsetzen in die Differenzialgleichung wird etwas umfangreich: asin t esin t a cos t = a cos t ( ) + b cos( t) + c = ( ) + f cos( t) + g ( ) + bsin( t) + ct + d ( ) + bsin( t) + ct + d ( ) + ( ecos( t) + f sin( t) + gt + h) + t ( ) ( ecos( t) + f sin( t) + gt + h) + cos t Koeffizientenvergleich liefert: a = b + f b = a + e c = d + h = c + g + e = b f f = a e + g = d h = c g Dies ist ein lineares Gleichungssystem mit 8 Unbekannten und 8 Gleichungen. Wir finden die Lösung mit dem Gauß-Algorithmus (oder mit dem Computer): a = 5, b = 5, c = 6, d = 5 6, e = 5, f = 9 5, g = 6, h = 6 Wir haben also die partikuläre Lösung des inhomogenen Falles: Y partikulär t ( ) = a cos( t) + bsin( t) + ct + d ecos( t) + f sin( t) + gt + h = 5 cos t 5 cos t ( ) ( ) + 5 sin( t) + 6 t ( ) sin( t) + 6 t + 6 Für die allgemeine Lösung des inhomogenen Falles erhalten wir somit: ( ) = b Y t et + b e t + 5 cos t 5 cos t ( ) + 5 sin( t) + 6 t ( ) sin( t) + 6 t + 6

23 Hans Walser: Modul, Lineare Abbildungen. Eigenwerte. Lernumgebung. Teil MuPAD bringt: y(t) = C*exp(-*t) - /5*cos(t) - /5*sin(t) - /6*t + C*exp(*t) - 5/6, y(t) = /5*cos(t) - /6*t + 9/5*sin(t) - C*exp(-*t) + /*C*exp(*t) + /6 Setzt man C = b und C =b, erhalten wir unsere Lösung.