Birkhäuser Skripten. Benno Artmann. Lineare Algebra. Springer Basel AG

Transkript

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2 Band 3

3 Benno Artmann Lineare Algebra Birkhäuser Skripten Springer Basel AG

4 Autor Benno Artmann Technische Hochschule Darmstadt Fachbereich Mathematik Schlossgartenstrasse Darmstadt Die vorliegende Publikation ist urheberrechtlich geschützt. Alle Rechte vorbehalten. Kein Teil dieses Buches darf ohne schriftliche Genehmigung des Verlages in irgendeiner Form durch Fotokopie, Mikrofilm oder andere Verfahren reproduziert oder in eine für Maschinen, insbesondere Datenverarbeitungsanlagen, verwendbare Sprache übertragen werden. Auch die Rechte der Wiedergabe durch Vortrag, Funk und Fernsehen sind vorbehalten. CIP-Kurztitelaufnahme der Deutschen Bibliothek Artmann, Benno: Lineare Algebra I Benno Artmann. - Basel; Boston; Stuttgart: Birkhäuser, (Birkhäuser-Skripten; Bd. 3) ISBN ISBN (ebook) DOI / NE: GT 1986 Springer Basel AG UrsprOnglich erschienen bei BirkhäuserVerlag Basel 1986 ISBN

5 Vorwort Dies Skript enthält den Standards toff der Linearen Algebra, w~e er ~n den ersten Semestern üblich ist. Es wurde in verschiedenen Formen zu Vorlesungen herausgegeben, die ich für Studenten der Mathematik, Physik und Informatik an der Technischen Hochschule Darmstadt gehalten habe. Ich habe mir Mühe gegeben, den Text so einfach und leicht zugänglich wie möglich zu schreiben und jeweils typische Beispiele zu finden, um Sätze und Begriffe zu illustrieren. Die Lineare Algebra kann man unter drei Aspekten sehen: geometrisch im Sinne der analytischen Geometrie, arithmetisch wie bei den Linearen Gleichungssystemen und vielen Teilen der Matrizenrechnung, die für die Numerik wichtig sind, und schließlich strukturbetont-abstrakt in der linearen und bilinearen Theorie der Vektorräume. Alle drei Aspekte sollten in einer Einführung zur Geltung kommen, so auch in diesem Skript. Allerdings habe ich versucht, die begriffliche Behandlung eines Stoffes so weit wie möglich ans Ende der jeweiligen Paragraphen zu stellen, um vorher über Geometrie und Arithmetik eine verläßliche Intuition für den Gegenstand aufzubauen. Diesem Zweck dienen besonders die einführenden Abschni tte über die geometrischen Verhäl tnisse im ]R2. Gerade hier hat der Student, der ja die weitere Theorie nocht nicht überblicken kann, die Gelegenheit, aus der anschaulichen Fundierung den Sinn und die Bedeutung der Begriffe und Fragestellungen zu begreifen und damit von einer vernünftigen Basis aus weiterzuarbeiten. Im Laufe der Jahre habe ich von so vielen Studenten, Assistenten und Kollegen Anregungen, Kritik und Hinweise erfahren, daß ich nur allen insgesamt danken kann, ohne einzelne Namen zu nennen. Frau H. Schmidt danke ich für die vorbildliche Gestaltung des Typoskripts und das Layout von Text und Figuren. Darmstadt, ~m Frühjahr 1986 B. Artmann "Leser, zu Deiner Bequemlichkeit habe ich in diesem Buche einen breiten Raum stehen lassen wollen, in Betracht, daß ähnliche Disciplinen immer mit der Feder in der Hand studirt werden und niemals liegt dem Mathematiker bekanntes Feld vor. Du magst es glauben." Fra Luca Pacioli, Vorrede zu "Divina Proportione", Venedig 1509

6 INHALT Kap. I Einführung 0 Vektorrechnung ~n der Ebene ]R2 und im Raum ]R3... O.A Vektorrechnung ~n der Ebene ]R2... O.B Vektorrechnung ~m Raum ]R3... Anhang: Das Dodekaeder O.C Das Vektorprodukt O.D Ergänzung: Kegelschnitte Abbildungen, komplexe Zahlen, Strukturbegriffe I.A Mengen und Funktionen I.B Komplexe Zahlen I.C Die Strukturbegriffe Gruppe und Körper Kap. II Allgemeine Theorie der Vektorräume 2 Vektorräume 2.A Vektorräume 2.B Teilräume 2.C Lineare Abbildungen und Isomorphie Anhang: Terminologie 3 Basis und Dimension 3.A Basis 3.B Basis und Isomorphie Anhang: Basisauswahl und lineare Abbildungen 3.C Dimension von Teilräumen Kap. III Matrizenrechnung 4 Matrizenrechnung... 4.A Matrizen und lineare Abbildungen des ]R B Matrizen und lineare Abbildungen des K n... 4.C Der Rang einer Matrix... 4.D Basiswechsel ~m K n

7 4.E Matrizen für lineare Abbildungen f: V + W 129 Anhang: Basiswechsel mit den Methoden aus Abschnitt 4.E 4.F Einige Bezeichnungen und Ergänzungen G Ergänzung: Äquivalenzrelationen und Ähnlichkeit 5 5.A 5.B 5.C von Matrizen Lineare Gleichungssysteme Allgemeine Sätze Der Gaußsche Algorithmus Umformungen mit Hilfe von Elementarmatrizen Anhang: Äquivalenz von Matrizen D Ergänzung: Geometrische Interpretation bei nicht 6 6.A 6.B 6.C 6.D 6.E invertierbarer Matrix A Die Determinante Die Determinante im 1R 2 Definition von Determinantenfunktionen Eindeutigkeit und Existenz der Determinante Determinante und Matrizenmultiplikation Determinantensätze für die Zeilen von A F 6.G Permutationen und die explizite Formel für det 181 Ergänzung: Permutationen und Permutationsmatrizen A 7.B Eigenwerte Definitionen und Beispiele Anhang: Eigenwerte und Eigenfrequenzen bei Schwingungen Diagonalisierung von Matrizen D 7.E 7.C Die Berechnung von Eigenwerten mit dem charakteristischen Polynom Die komplexen Räume a: n Ergänzung: Der Satz von Cayley-Hamilton

8 Kap. IV Metrische Vektorräume 8 8.A 8.B 8.C 8.D 8.E Vektorräume mit Skalarprodukt... Der JRn mit dem gewöhn li chen Skalarprodukt Anhang: Ausgleichsrechnung... Orthogonale Abbildungen und Matrizen... Orthogonale Abbildungen ~m JR2 und JR3... Das hermitesche Produkt im komp lexen [n... Unitäre Abbildungen und Matrizen... Anhang: Überblick über einige Matrizengruppen (sog. lineare Gruppen) 8.F Allgemeine Theorie der Bilinearformen im JRn S.G Anhang: Ein Satz von Apollonius über konjugierte Durchmesser der Ellipse Ergänzung: Die Lorentz-Gruppe im JR A Die Hauptachsen-Transformation Selbstadjungierte Operatoren, symmetrische und 268 hermitesche Matrizen B Symmetrische 2 x 2 - Matrizen und Hauptachsen von Kegelschnitten C Die I-lauptachsentransformation für symmetrische und hermitesche n x n - Matrizen: Der Spektralsatz Flächen zweiten Grades im JR E Quadratische Formen F Normalformen orthogonaler Matrizen 292 Kap. V Affine Geometrie Affine Geometrie A Affine Teilräume eines Vektorraums 10.B Affine Abbildungen Anhang: Die Matrizendarstellung der Gruppe Aff(K n ) C Konvexität D Polyeder und Polytope 312 Nachtrag I I Die Jordansche Normalform Lit.eraturhinweise Register