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1 60 II. Differentialrechnung 13 Polynome und Nullstellen Lernziele: Resultat: Zwischenwertsatz Methoden: Raten von Nullstellen, Euklidischer Algorithmus, Horner-Schema Kompetenzen: Bestimmung von Nullstellen von Polynomen Frage: Berechnen Sie alle Lösungen der Gleichung x 3 15x 4 = 0. Polynome. a) Eine auf R definierte Funktion der Form P : x m a k x k = a m x m +a m 1 x m 1 + +a 1 x+a 0 (1) heißt Polynom; a 0, a 1,..., a m R sind die Koeffizienten von P. b) Die Menge aller Polynome wird mit R[x] bezeichnet. c) Gilt a m 0 in (1), so heißt degp := m der Grad von P. Beispiele und Bemerkungen. a) Die Polynome vom Grad 0 sind die konstanten Funktionen 0. Es ist bequem, deg0 := zu setzen. Für m N 0 setzt man noch R m [x] := {P R[x] degp m}. b) FürP(x) = 3x 4 x 2 undq(x) = x 2 +2 hatmandegp = 4, degq = 2. Weiter gilt (P+Q)(x) = 3x 4 +2, (P Q)(x) = 3x 6 +5x 4 2x 2 sowie deg(p+q) = 4, deg(p Q) = 6. Mit S(x) := 3x 4 +5x dagegen ist (P +S)(x) = x 2 +5x und deg(p +S) = 2. Allgemein gilt: c) Für P,Q R[x] ist stets auch P +Q, P Q R[x], und man hat deg(p +Q) max{degp, degq}, (2) deg(p Q) = degp +degq. (3) d) Aufgrund von (11.4) und Satz 11.2 sind Polynome C -Funktionen auf R; für das Polynom P R[x] aus (1) gilt P (x) = m ka k x k 1 = ma m x m 1 + +a 2 x+a 1 (4) k=1 und insbesondere degp = degp 1. Weiter ist P (m) (x) = m!a m konstant und P (k) (x) = 0 für k > m.

2 13 Polynome und Nullstellen 61 Nullstellen von Polynomen. a) Eine wichtige Rolle in der Mathematik spielen Nullstellen von Polynomen; nach Satz 12.3 sind beispielsweise lokale Extremalstellen eines Polynoms P stets Nullstellen der Ableitung P. b) Ein Polynom P(x) = ax + b vom Grad 1 hat natürlich genau eine Nullstelle x 0 = b / a ; die Nullstellen quadratischer Polynome wurden auf den Seiten 18 und 34 diskutiert. c) Polynome ungeraden Grades besitzen stets reelle Nullstellen: Das Intervallhalbierungsverfahren (vgl. S. 15) liefert das folgende wichtige Resultat über stetige Funktionen (vgl. [A1], 10.8): 13.1 Theorem (Zwischenwertsatz). Es seien a < b R, f : [a,b] R stetig und f(a) < c < f(b). Dann gibt es ξ (a,b) mit f(ξ) = c. Der Zwischenwertsatz gilt auch im Fall f(a) > c > f(b), wie man durch Übergang zu f einsieht. Es werden also alle Zahlen zwischen zwei gegebenen Funktionswerten von der stetigen Funktion f angenommen Satz. (vgl. [A1], 10.7). Es sei P(x) = m a k x k ein Polynom vom Grad m. Ist m ungerade, so gibt es x 0 R mit P(x 0 ) = 0. wird eine Nullstelle nähe- Beispiel. a) Für das Polynom P(x) := 1 5 x x2 1 rungsweise bestimmt (vgl. [A1], 10.9). 10 b) Die Nullstellen von P können auch exakt bestimmt werden. Durch Multiplikation mit dem Hauptnenner 10 der Koeffizienten erhält man das Polynom Q(x) = 2x 3 + 5x 2 1 mit ganzzahligen Koeffizienten. Für das Erraten eventueller rationaler Nullstellen von Q verwendet man die folgende Verallgemeinerung von Satz 6.1: 13.3 Satz ( Raten von Nullstellen ). Es sei P : x m a k x k = a m x m +a m 1 x m 1 + +a 1 x+a 0 ein Polynom mit ganzzahligen Koeffizienten a 0, a 1,..., a m Z. Für jede rationale Nullstelle x 0 Q von P gilt dann x 0 = p q, wobei p Z ein Teiler von a 0 und q N ein Teiler von a m ist. Beweis. Man kann x 0 = p Q als einen gekürzten Bruch mit p Z und q N q schreiben. Aus P(x 0 ) = 0 folgt durch Multiplikation mit q m sofort a m p m +a m 1 p m 1 q + +a 1 pq m 1 +a 0 q m = 0. Somit ist p ein Teiler von a 0 q m und q ein Teiler von a m p m ; da aber p und q teilerfremd sind, folgt daraus die Behauptung.

3 62 II. Differentialrechnung 13.4 Folgerung. Es sei P : x x m +a m 1 x m 1 + +a 1 x+a 0 ein Polynom mit dem höchsten Koeffizienten 1 und ganzzahligen Koeffizienten a 0, a 1,..., a m 1 Z. Jede rationale Nullstelle x 0 Q von P ist dann ganzzahlig und ein Teiler des konstanten Terms a 0. Beispiel. a) Mögliche rationale Nullstellen des Polynoms Q(x) = 2x 3 +5x 2 1 aus obigem Beispiel sind also ±1 und ± 1 2. Durch Einsetzen sieht man, daß x 0 = 1 2 in der Tat eine Nullstelle von Q ist. b) Wir zeigen nun, daß Q den Linearfaktor (x x 0 ) enthält, also in der Form Q(x) = (x x 0 )R(x) mit R R 2 [x] (5) geschrieben werden kann. Mit R(x) = ax 2 +bx+c ist in der Tat (x+ 1 2 )R(x) = ax3 +( a 2 +b)x2 +( b 2 +c)x+ c 2, und somit gilt (5) mit a = 2, c = 2 und b = 4. c) Die Nullstellen des quadratischen Polynoms R(x) = 2x 2 +4x 2 sind x ± = 1± 2; insbesondere ist also ξ = 1+ 2 die in obigem Beispiel a) näherungsweise gefundene Nullstelle des Polynoms P. Wie in (5) kann ein Polynom P stets ohne Rest durch (x x 0 ) dividiert werden, wenn x 0 eine Nullstelle von P ist. Allgemeiner ist bei Polynomen die Division mit Rest möglich, ähnlich wie bei ganzen Zahlen. Im folgenden Satz entspricht in dem Beispiel 25 = = 3+ 4 das Polynom P der Zahl 25, Q der Zahl 7, T der Zahl 3 und R der Zahl Satz (Euklidischer Algorithmus) (vgl. [A1], 10.3). Zu reellen Polynomen P, Q R[x] gibt es eindeutig bestimmte Polynome T, R R[x] mit P = T Q+R und degr < degq. (6) Beispiele und Bemerkungen. a) Der Beweis von Satz 13.5 ist konstruktiv: Zuerst erhält man durch Division der höchsten Terme von P und Q das Polynom T 1 (x) := a m bn x m n. Natürlich kann man nun nicht P T 1 Q = 0 erwarten, aber für den Rest R 1 = P T 1 Q gilt degr 1 < m. Ist noch degr 1 n, so wendet man das gleiche Verfahren auf R 1 an: Durch Division der höchsten Terme von R 1 und Q entsteht ein Polynom T 2, so daß für den Rest R 2 = R 1 T 2 Q gilt degr 2 < degr 1, also degr 2 < m 1. Man hat dann P = T 1 Q+R 1 = (T 1 +T 2 )Q+R 2.

4 13 Polynome und Nullstellen 63 Dieser Algorithmus (Rechenverfahren) kann nun so lange fortgesetzt werden, bis der Grad des Restes kleiner als n = degq wird. b) Die Durchführung des Euklidischen Algorithmus wird anhand des Beispiels P(x) = 4x 4 +3x 3 x 1 und Q(x) = 2x 2 +2 in [A1], 10.4 erläutert. c) Für Teilmengen M R bezeichne M[x] die Menge der Polynome mit Koeffizienten in M. Ist M unter den algebraischen Operationen abgeschlossen, z.b. M = Q, so liefert der Euklidische Algorithmus für P, Q M[x] Polynome T, R mit (6), die ebenfalls in M[x] liegen. Jetzt können wir die Abspaltung von Linearfaktor wie in (5) allgemein zeigen: 13.6 Satz. (vgl. [A1], 10.5). Es sei 0 P R[x] mit P(x 0 ) = 0 für ein x 0 R. Dann gibt es Q R[x] mit degq = degp 1 und P(x) = (x x 0 ) Q(x). (7) 13.7 Folgerung. (vgl. [A1], 10.5). Ein Polynom P R m [x] vom Grad m N hat höchstens m Nullstellen Folgerung. Stimmen die Werte von zwei Polynomen P R m [x] und Q R n [x] in mindestens l := max{n,m}+1 verschiedenen Punkten x 1,...,x l R überein, so muß also aufgrund von Folgerung 13.7 P Q das Nullpolynom sein. Somit gilt m = n, und P und Q haben die gleichen Koeffizienten. Ordnung von Nullstellen.. a) Es sei x 0 R eine Nullstelle des Polynoms P R m [x]. Nach Satz 13.6 gilt dann P(x) = (x x 0 ) r Q(x) mit Q(x 0 ) 0 (8) für ein Polynom Q R m r [x]. Die durch (8) eindeutig bestimmte Zahl r N 0 heißt Ordnung ν(p;x 0 ) = r (9) der Nullstelle x 0 von P. Diese heißt einfach, wenn ν(p;x 0 ) = 1 ist. Die Aussage ν(p;x 0 ) = 0 bedeutet natürlich, daß P(x 0 ) 0 gilt. b) Aus (8) ergibt sich mittels der Produktregel P (x) = r(x x 0 ) r 1 Q(x)+(x x 0 ) r Q (x) =: (x x 0 ) r 1 Q 1 (x) (10) mit Q 1 R m r [x], und wegen gilt Q 1 (x 0 ) = rq(x 0 ) (11) ν(p ;x 0 ) = ν(p;x 0 ) 1. (12)

5 64 II. Differentialrechnung Folglich ist ν(p;x 0 ) = r äquivalent zu der Aussage P(x 0 ) = P (x 0 ) =... = P (r 1) (x 0 ) = 0 und P (r) (x 0 ) 0. (13) c) Es sei nun a R ein kritischer Punkt von P, d.h. es gelte P (a) = 0. Mit r := ν(p ;a)+1 gilt dann wegen (12) P(x) = P(a)+(x a) r Q(x) mit Q(a) 0; (14) folglich hat P genau dann ein lokales Extremum in a, wenn r = ν(p ;a)+1 gerade ist. In diesem Fall liegt für Q(a) > 0 ein lokales Minimum vor, für Q(a) < 0 ein lokales Maximum. Nun ist aber P (r) (a) = r!q(a), was man induktiv aus (11) erhält. Damit haben wir also die folgende Verallgemeinerung von Satz b) für Polynome bewiesen: 13.9 Satz. Für ein Polynom P R[x] und eine Zahl a R sei P (a) =... = P (r 1) (a) = 0, aber P (r) (a) 0. Dann gilt: a) Ist r gerade und P (r) (a) > 0, so hat P ein lokales Minimum in a. b) Ist r gerade und P (r) (a) < 0, so hat P ein lokales Maximum in a. c) Ist r ungerade, so hat P kein lokales Extremum in a. In Satz?? wird diese Aussage auch allgemein für C k -Funktionen gezeigt. Entwicklung nach Potenzen von (x a). Satz 13.9 folgt auch aus der folgenden Formel (15): Für x,a R und k N 0 gilt nach dem binomischen Satz x k = (a+(x a)) k = n j=0 Für ein Polynom P R m [x] ergibt sich daraus ( n j P(x) = m a k x k = m d k (x a) k ) a k j (x a) j. mit gewissen Koeffizienten d k R. Durch Differentiation erhält man P (j) (a) = j!d j für j = 0,...,m und somit P(x) = m Horner-Schema. siehe [A1], 10.10*. P k (a) k! (x a) k. (15)

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