Rechenzeit für A. Sei t B die Rechenzeit eines Algo für B. Seien p,q,r monotone Polynome ( +).

Transkript

1 Rechenzeit für A Sei t B die Rechenzeit eines Algo für B. Seien p,q,r monotone Polynome ( +). Rechenzeit des resultierenden Algo für A: t A (n) p(n) + q(n) t B (r(n)). Ist polynomiell, falls t B Polynom. Insgesamt: 140

2 Orakel Für die Angabe von A T B müssen wir das Unterprogramm für B nicht kennen. Das Unterprogramm heißt daher auch Orakel. Wir erhalten Beziehung zwischen A und B, ohne effiziente Algos für A und B zu kennen. 141

3 Beweis von unteren Schranken Wir haben gezeigt: Kontraposition liefert: D.h., mit Hilfe von Turing-Reduktionen können auch untere Schranken übertragen werden. 142

4 Eigenschaften von Turing-Red. T ist reflexiv (A T A). T ist transitiv (A T B T C A T C) Definiere: A= T B, wenn A T B und B T A. = T ist reflexiv (A= T A) = T ist symmetrisch (A= T B B= T A) = T ist transitiv (A= T B= T C A= T C) = T ist Äquivalenzrelation. Äquivalenzklassen: Mengen von gleich schweren Problemen. 143

5 Vergleich von Entscheidungs- und Optimierungsproblemen [K4.2] TSP opt (travelling salesman problem) Eingabe: n Orte und eine Entfernungsmatrix. Aufgabe: Berechne eine billigste Rundreise, bei der jeder Ort genau einmal besucht wird. Beispiel:

6 Entscheidungs- und Opt.varianten TSP opt : Berechne eine billigste Rundreise, bei der jeder Ort genau einmal besucht wird. TSP eval : Berechne die Kosten einer billigsten Rundreise, bei der jeder Ort genau einmal besucht wird. TSP dec : Eingabe: n Orte, Entfernungsmatrix, Zahl B. Frage: Gibt es eine Rundreise mit Kosten höchstens B, bei der jeder Ort genau einmal besucht wird? 145

7 Alle Varianten sich gleich schwer Zeige: TSP dec T TSP eval T TSP opt T TSP dec 1. TSP dec T TSP eval Konstruiere Algo für TSP dec mit TSP eval -Orakel - Löse die Eingabe für TSP dec mit dem Orakel - Prüfe, ob Kosten der Lsg. höchstens B sind. 2. TSP eval T TSP opt - Löse die Eingabe für TSP eval mit dem Orakel. - Berechne aus der Lösung die Kosten. 146

8 3. TSP opt T TSP dec Eingabe: Entfernungsmatrix C. Sei w max die größte Zahl in C ungleich. Falls Lösung mit endlichen Kosten ex., sind diese im Bereich 0,...,n w max. Zwischenschritt: Bestimme min. Kosten: Binäre Suche mit dem TSP dec -Orakel auf dem Bereich 0,...,n w max. O(log(n w max )) Orakelaufrufe (polyn. in der Eingabelänge) 147

9 TSP opt T TSP dec (Fortsetzung) Seien B die minimalen Kosten. Teste für jede Kante, ob sie notwendig ist: Probeweise Kosten durch ersetzen und mit dem Orakel testen, ob es noch Rundreise mit Kosten B gibt. - Wenn ja: Kante nicht notwendig, Kosten bleiben auf. - Wenn nein: Kante notwendig, Kosten auf alten Wert zurücksetzen. Insgesamt O(log(n w max )+n 2 ) Orakelaufrufe. 148

10 2. Beispiel: Cliquenproblem Clique opt : Eingabe: Ungerichteter Graph G=(V,E). Aufgabe: Berechne eine Clique mit maximaler Knotenanzahl, also eine Menge V V, so dass alle Knoten aus V paarweise verbunden sind. Bsp: 149

11 Varianten des Cliquenproblems Clique opt : Berechne eine maximale Clique. Clique eval : Berechne die Größe einer max. Clique. Clique dec : Berechne zu zusätzlicher Zahl B, ob es eine Clique der Größe B gibt. Es gilt: Clique dec T Clique eval T Clique opt T Clique dec 150

12 Clique opt T Clique dec 1. Bestimme die Größe einer max. Clique: Rufe Orakel mit B=1,..., V auf, die Größe ist der letzte Wert mit Antwort Ja. Sei K die Größe einer max. Clique. 2. Berechnung einer max. Clique: Entferne jeden Knoten probeweise aus dem Graphen und teste mit dem Orakel, ob es noch eine Clique der Größe K gibt. Insgesamt O( V ) Orakelaufrufe. 151

13 3. Beispiel: Bin Packing BP opt : Eingabe: n Objekte mit Größen a 1,...,a n, Kistengröße b. Aufgabe: Verpacke die Objekte in möglichst wenige Kisten. BP eval : Berechne die minimale Anzahl von Kisten. BP dec : Genügen k Kisten? BP dec T BP eval T BP opt T BP dec. 152

14 BP opt T BP dec 1. Bestimme die minimale Kistenanzahl k min durch Aufruf d. BP dec -Orakels mit k = 1,...,n. 2. Erzwinge, dass Objekte 1 u. 2 in dieselbe Kiste gepackt werden und teste, ob k min Kisten immer noch reichen. Dazu: Objekte 1 u. 2 durch ein Objekt mit Größe a 1 +a 2 ersetzen. Analog weiter mit den übrigen Paaren von Objekten. 153

15 Fazit Ähnliche Turingreduktionen gibt es für fast alle anderen Probleme X in der Vorlesung. X dec T X eval T X opt meist einfach. X opt T X dec meistens: 1. Schritt: (binäre oder lineare) Suche zur Bestimmung des Werts einer opt. Lösung. 2. Schritt: Bestimmung der Lösung durch probeweises Verändern der Eingabe. Es genügt in der Regel, nur die Entscheidungsvarianten zu untersuchen. 154

16 Vergleich von verwandten Problemen [K4.3] Hamiltonkreis (HC, Hamiltonian circuit) Eingabe: Ungerichteter Graph G=(V,E). Frage: Gibt es einen Kreis, der jeden Knoten genau einmal enthält? Variante für gerichtete Graphen: DHC (directed Hamiltonian circuit) 155

17 Satz K4.3.1: DHC = T HC T TSP. Beweis: HC T DHC. Geg: ungerichteter Graph G=(V,E). Ersetze jede Kante {u,v} durch (u,v) u. (v,u). Resultat: Gerichteter Graph G. Teste mit DHC-Orakel, ob G DHC hat. Zu zeigen: 1. G hat DHC G hat HC. 2. G hat HC G hat DHC. Restriktion 156

18 DHC T HC. Geg: Gerichteter Graph G=(V,E). - Ersetze jeden Knoten v durch Knoten v 1,v 2,v 3 und Kanten {v 1,v 2 } u. {v 2,v 3 }. - Ersetze jede Kante (u,v) durch (u 3,v 1 ). - Teste mit dem HC-Orakel, ob G HC hat. u v lokale Ersetzung w u 3 v 1 v 2 v 3 w 1 1. G hat DHC G hat HC. 2. G hat HC G hat DHC. 157

19 HC T TSP dec : Geg: ungerichteter Graph G=(V,E). Restriktion - Erzeuge TSP-Problem mit V Städten und Entfernungsmatrix 1. G hat HC TSP-Lösung mit Kosten V. 2. TSP-Lösung mit Kosten V G hat HC. Beobachtung: Konstruiertes TSP ist symm., erfüllt die Dreiecksungleichung u. hat nur die Entfernungen 1 und 2. Name: TSP symm,,2 158