2 Trigonometrische Formeln

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Größe: px
Ab Seite anzeigen:

Download "2 Trigonometrische Formeln"

Transkript

1 Mthemtische Proleme, SS 016 Freitg 6.5 $Id: trig.tex,v /05/06 1:6:14 hk Exp $ Trigonometrische Formeln.1 Die dditionstheoreme In der letzten Sitzung htten wir geometrische Herleitungen der dditionstheoreme der trigonometrischen Funktionen im Fll spitzer Winkel vorgeführt. Für Winkel 0 <, < π/ mit + < π/ htten wir gezeigt, dss sin( + sin cos + cos sin, cos( + cos cos sin sin, tn( + tn + tn 1 tn tn gelten. Um diese Formeln uch uf den Fll stumpfer Winkel uszudehnen, ist es sinnvoll erst einml die Formeln für die Sutrktion spitzer Winkel zu ehndeln. Wir eschränken uns dei uf Sinus und osinus, die Formeln für den Tngens knn mn dnn rechnerisch herleiten. Seien lso zwei Winkel 0 < < < π/ gegeen. Wir gehen ähnlich wie eim eweis der dditionsformeln vor und etrchten die folgende Figur: M D F E Wir eginnen wieder mit einem Viertelkreis mit Mittelpunkt M und Rdius 1. In diesem trgen wir den Winkel ei M, und in ihm enthlten dnn uch den kleineren Winkel. Seien und die Schnittpunkte dieser eiden Winkel mit dem Einheitskreis und fälle ds Lot von uf M. ezeichnet den Lotfußpunkt, so 8-1

2 Mthemtische Proleme, SS 016 Freitg 6.5 können wir Sinus und osinus von im rechtwinkligen Dreieck M ls sin( und cos( M lesen. Fälle nun ds Lot von uf die untere egrenzung des Viertelkreises und erhlte den Fußpunkt F. Von F us fälle dnn die Lote uf M mit Fußpunkt D und uf mit Fußpunkt E. Wie eim eweis der dditionsformel ht ds Dreieck F E ei den Winkel. Nun ist F ED ein Prllelogrm, lso und sin( E E E DF cos( M MD + D MD + F E F cos MF sin sin cos cos sin MF cos + F sin cos cos + sin sin. Dies sind schon die eiden Sutrktionsformeln, und dmit steht lles ereit uch den Fll stumpfer Winkel zu untersuchen. Erinnern sie sich drn, dss wir Sinus und osinus durch die Formeln sin π : 1, cos π : 0, sin : sin(π und cos : cos(π für π/ < < π uf den Fll stumpfer Winkel usgedehnt htten. Weiter werden wir die Formeln für omplementärwinkel enötigen, lso die für 0 < φ < π/ gültigen Formeln sin φ cos φ und cos φ sin φ. Der erste noch zu ehndelnde Fll der dditionstheoreme sind jetzt zwei spitze Winkel die sich zu einem Rechten ergänzen. In dieser Sitution wird ds dditionstheorem für den Sinus zum Stz des Pythgors und ds des osinus ist klr. Seien nämlich 0 <, < π/ spitze Winkel mit + π/. Dnn sind und omplementärwinkel in einem rechtwinkligen Dreieck und somit gelten sin cos + cos sin sin sin + cos cos sowie cos cos sin sin cos sin sin cos sin + cos 1 sin( + cos sin sin cos 0 cos( +. 8-

3 Mthemtische Proleme, SS 016 Freitg 6.5 Der letzte noch verleiende Fll in dem und spitze Winkel sind, ist die Sitution 0 <, < π/ mit einem stumpfen +, lso + > π/. In diesem Fll hen wir die eiden omplementärwinkel 0 < π/, π/ < π/ mit + π ( + < π, und es folgen und sin( + sin(π ( + sin cos +cos sin cos sin + sin cos cos( + cos(π ( + sin sin cos cos cos cos sin sin. Dmit sind lle Fälle ehndelt in denen, eides spitze Winkel sind. Es vereien dnn die Möglichkeiten π/ oder π/. D wir llerdings + < π hen müssen, können nicht eide lterntiven zugleich zutreffen, einer der eiden Winkel muss lso spitz sein. Durch eventuelles Vertuschen von und können wir dnn 0 < < π/ nnehmen. Für π/ werden dnn und sin( + sin cos( + cos ( + π sin ( π ( + π sin cos sin cos π + cos sin π ( + π ( ( cos π + π cos sin cos cos π sin sin π. Dmit sind wir eim llerletzten Fll ngelngt, dss lso 0 < < π/ spitz ist und π/ < < π stumpf ist. Weiter muss + < π gelten. Diesen Fll führen wir uf die Sutrktionsformel für spitze Winkel zurück, es sind 0 < < π < π/ und somit wird sin( + sin(π ( + sin((π sowie sin(π cos cos(π sin sin cos + cos sin cos( + cos((π cos(π cos sin(π sin cos cos sin sin. uch die Sutrktionsformel läßt sich für 0 < < < π entsprechend eweisen, d wir inzwischen gesehen hen ds diese eweise eher uchhltung sind, wollen wir hier druf verzichten dies im Detil vorzuführen. 8-3

4 Mthemtische Proleme, SS 016 Freitg 6.5. Verdoppelungs- und Hlierungsformeln ls Verdoppelungsformeln ezeichnet mn die Formeln für die Werte der trigonometrischen Funktionen ei verdoppelten Winkel, lso für sin(, cos( und tn(, und die Hlierungsformeln sind dnn entsprechend die Formeln für die hlierten Winkel. Mn knn ll diese Formeln ntürlich durch Spezilisieren der dditionstheoreme uf erhlten, lso etw sin( sin( + sin cos, cos( cos( + cos sin cos 1 1 sin, tn( tn( + tn 1 tn, sie lssen sich er uch geometrisch n einer geeigneten Figur gewinnen. Wir etrchten einen Hlkreis mit Rdius 1 und Mittelpunkt M und ezeichnen den unteren Durchmesser dieses Hlkreises ls. Dnn ist M der Mittelpunkt von und es ist. Weiter sei ein Winkel 0 < < π/ gegeen und trge diesen im Hlkreis ei. ezeichnet den entstehenden Schnittpunkt mit unserem Hlkreis, so ht ds Dreieck nch dem Stz von Thles 1.Stz 1 ei einen rechten Winkel. Die Seitenlängen in diesem Dreieck sind dnn in den Stndrdezeichnungen gegeen ls sin, cos und c. M P Ziehen wir jetzt die Verindungsstrecke M, so entsteht ein weiteres Dreieck M. Der Winkel von M ei M ist der Mittelpunktswinkel der Seknte unseres Hlkreises und unser gegeener Winkel ist der Perepheriewinkel dieser Seknte ei, der Winkel von M ei M ist nch dem Perepheriewinkelstz 1.Stz.( lso gleich. Fällen wir lso ds Lot von uf und ezeichnen den Fußpunkt mit P, 8-4

5 Mthemtische Proleme, SS 016 Freitg 6.5 so sind sin( P und cos( MP d die Hypothenuse des rechtwinkligen Dreiecks MP ein Rdius unseres Hlkreises ist und dmit die Länge M 1 ht. Dem rechtwinkligen Dreieck P entnehmen wir sin P sin(, lso sin( sin cos cos und wir hen eine geometrische egründung der Verdoppelungsformel des Sinus. Eenflls im Dreieck MP sehen wir cos P 1 + MP 1 + cos( cos, lso cos( cos 1 und dies ist eine der eiden Verdoppelungsformeln des osinus. uch die ndere Vrinte dieser Formel können wir n unserer Figur sehen. Dzu echten wir zunächst ds ds Dreieck M ei M gleichschenklig ist, lso sind die Winkel in diesem Dreieck nch ufge (9. ei und gleich, etw, und wir erhlten π + (+, lso π/. Im rechtwinkligen Dreieck P liegt dmit ei der Winkel π/ n, und es ergit sich lso uch sin P P sin, cos( MP 1 P 1 sin. Wir können n unserer Figur weiter uch zwei Gleichungen für den Tngens von sehen. Im rechtwinkligen Dreieck P erhlten wir tn P P und eenso liefert ds rechtwinklige Dreieck P tn P 1 + MP sin( 1 + cos(, P P 1 MP P 1 cos(. sin( Setzen wir in diese eiden Formeln noch θ ein, so ergit sich die Hlierungsformel des Tngens in ihren eiden Vrinten tn θ sin θ 1 + cos θ 1 cos θ. sin θ Mit derselen Sustitution ergeen sich us cos( cos 1 1 sin dnn uch die Hlierungsformeln für Sinus und osinus, us und cos θ cos θ 1 folgt cos θ 1 + cos θ cos θ 1 sin θ ergit sin θ 1 cos θ. 8-5

6 Mthemtische Proleme, SS 016 Freitg Spezielle Werte der trigonometrischen Funktionen In diesem schnitt wollen wir uns einige der exkt erechenren Werte von Sinus, osinus und Tngens nschuen und uns für diese uch jeweils eine geometrische Herleitung üerlegen. D die Werte für π/ direkt vorgegeen sind, eginnen wir mit 60. Wir etrchten ein gleichseitiges Dreieck mit Seitenlänge c > 0. Nch ufge (9. sind dnn uch lle Winkel in gleich, lso γ und somit hen wir 3 π eziehungsweise π/3. Eenflls nch ufge (9. stimmen in die Seitenhlierende und die Höhe h uf üerein, und der Stz des Pythgors 1.Stz 1 im rechtwinkligen Dreieck liefert ( + h, lso h 3. Nun können wir Sinus, osinus und Tngens in lesen und erhlten sin π 3 cos π 3 tn π 3 h 1 3, 1 1, h 1 3. Nun kommen wir zu einem Winkel von 45. Genuso wie sich die Werte des Winkels π/3 durch etrchtung eines gleichseitigen Dreiecks ergen, müssen wir diesml ein gleichseitiges Viereck untersuchen. Gegeen sei ein Qudrt D der Seitenlänge > 0. Dnn ziehen wir die Digonle und etrchten D ds rechtwinklige Dreieck. D dieses Dreieck ei gleichschenklig ist, sind die eiden Winkel ei und nch ufge (9. gleich, etw. Es folgt π/, lso ist π/4. Mit dem Stz Pythgors 1.Stz 1 folgt für die Länge der Digonle im Qudrt uch, lso. Dmit können wir unsere gesuchten trigonometrischen Werte in lesen und es ergeen sich sin π 4 1 1, h cos π 4 1, tn π

7 Mthemtische Proleme, SS 016 Freitg 6.5 Winkel von 36, lso π/5, sind etws komplizierter, dher stellen wir diese erst einml zurück und schuen uns 30 n. Genuso wie π/3 mit einem gleichseitigen Dreieck zu tun htte und π/4 entsprechend mit einem Qudrt, werden wir für π/6 ein gleichseitiges Sechseck etrchten und eginnen dher mit einer Voremerkung üer gleichseitige n-ecke. In ufge ( htten wir ein konvexes n-eck für eine ntürliche Zhl n 3 ls ein Tupel 1... n etrchtet ei dem die Punkte 1,..., n den Rnd des n- Ecks ufeinnderfolgend im Gegenuhrzeigersinn umlufen. Dieser Rnd setzt sich dnn us den n Knten 1, 3,..., n 1 zusmmen, und mn nennt gleichseitig wenn diese lle diesele Länge hen, wenn lso : 1 n 1 gilt. Die Zhl heißt dnn die Kntenlänge des gleichseitigen n-ecks. Ein gleichseitiges n-eck muss nicht symmetrisch sein, zum eispiel muss ein gleichseitiges Viereck noch kein Qudrt sein, es knn sich uch um ein Prllelogrm hndeln. D Dies ist llerdings uch die einzige Möglichkeit, d.h. ein gleichseitiges Viereck D ist ein Prllelogrm. Um dies einzusehen ezeichne die Kntenlänge des Vierecks und sei der Winkel des Vierecks ei. Die Dreiecke D und D sind kongruent, lso ht unser Viereck uch ei den Winkel. Weiter ist D ei gleichschenklig, lso stimmen die Winkel dieses Dreiecks ei und D üerein und somit hen D und D ei und D stets denselen Winkel. Insesondere ist + π und dmit schneidet die Gerde die eiden Seiten und D eide im Winkel π, lso sind und D prllel. nlog sind uch D und prllel, wir hen lso ein ttsächlich ein Prllelogrm. Durch die Kntenlänge und den Winkel ist ds gleichseitige Viereck is uf Kongruenz festgelegt. Ein gleichseitiges Viereck, und erst recht ein gleichseitiges n-eck, muss lso nicht symmetrisch sein, dies ist nur im Dreiecksfll n 3 so. Die symmetrischen gleichseitigen n-ecke nennen wir regulär. 8-7

8 Mthemtische Proleme, SS 016 Freitg 6.5 Definition.1 (Reguläre n-ecke Sei n N mit n 3. Ein konvexes n-eck heißt dnn regulär wenn es gleichseitig ist und lle seine Innenwinkel gleich sind. Hen wir ein reguläres n-eck mit Innenwinkel, so ist n die Summe ller Innenwinkel lso liefert ufge ( uch n (n π, d.h. n n In Üungsufge (15 werden sie zeigen ds ein gleichseitiges n-eck genu dnn regulär ist wenn es einen Umkreis esitzt, wenn es lso einen Kreis git der lle Eckpunkte des n-ecks enthält. Nch dieser Voremerkung kommen wir nun zu den Werten der trigonometrischen Funktionen für den Winkel π/6. Ntürlich könnten wir uch einfch die Hlierungsformeln des vorigen schnitts uf den schon erledigten Winkel π/3 nwenden, wir wollen uns hier er eine direkte geometrische Herleitung nschuen. Wir strten mit einem regulären Seckseck der Kntenlänge > 0. Zeichne den Umkreis des Sechsecks mit Mittelpunkt M und Rdius R > 0. Die γ 360 ei M werden in sechs gleiche Teile zerlegt R und somit ht unser eingezeichnetes Dreieck M h ei M den Winkel π/6 π/3. Der Innenwinkel des Sechsecks ist nch unserer oigen Formel M P gleich 4π/6 π/3. Weiter ist ds Dreieck M kongruent zu M, und insesondere sind die Winkel dieser Dreiecke ei gleich, d.h. M ist die Winkelhlierende des Innenwinkels unseres Sechsecks ei. Insesondere ht ds Dreieck M ei den Winkel / π/3, d.h. lle Winkel in diesem Dreieck sind gleich. Dmit ist M ein gleichseitiges Dreieck und insesondere ist R, d.h. Umkreisrdius und Kntenlänge sind gleich. In diesem gleichseitigen Dreieck ilden wir nun die Höhe durch und wie schon früher gesehen ist diese gleich h ( 3/. D weiter die Höhe uch gleich der Winkelhlierenden von M ei ist, erhlten wir ein ei P rechtwinkliges Dreieck MP mit Winkel γ / π/6 ei. Lesen wir die Werte der trigonometrischen Funktionen in diesem Dreieck, so ergeen sich π. sin π 6 cos π 6 tn π 6 / 1, h 1 3, / h

9 Mthemtische Proleme, SS 016 Freitg 6.5 Wie schon erwähnt knn mn diese Werte uch rechnerisch uf die schon ehndelten Werte zurückführen, entweder üer die Hlierungsformel sin π 6 1 cos π und nlog für osinus und Tngens, oder etws rffinierter sin π 6 sin π sin π 3 cos π 3 cos π sin π 3 cos π 3 1. Den Winkel π/5 36 werden wir im nächsten schnitt ehndeln, erwrtungsgemäß hängt dieser eng mit dem regulären Fünfeck zusmmen. 8-9

2 Trigonometrische Formeln

2 Trigonometrische Formeln Mthemtische Probleme, SS 013 Donnerstg.5 $Id: trig.tex,v 1.3 013/05/03 10:50:31 hk Exp hk $ Trigonometrische Formeln.1 Die Additionstheoreme In der letzten Sitzung htten wir geometrische Herleitungen der

Mehr

1.7 Inneres Produkt (Skalarprodukt)

1.7 Inneres Produkt (Skalarprodukt) Inneres Produkt (Sklrprodukt) 17 1.7 Inneres Produkt (Sklrprodukt) Montg, 27. Okt. 2003 7.1 Wir erinnern zunächst n die Winkelfunktionen sin und cos, deren Wirkung wir m Einheitskreis vernschulichen: ϕ

Mehr

Mathematik: Mag. Schmid Wolfgang Arbeitsblatt 3 5. Semester ARBEITSBLATT 3 PARAMETERDARSTELLUNG EINER GERADEN

Mathematik: Mag. Schmid Wolfgang Arbeitsblatt 3 5. Semester ARBEITSBLATT 3 PARAMETERDARSTELLUNG EINER GERADEN Mthemtik: Mg. Schmid Wolfgng Areitsltt 3 5. Semester ARBEITSBLATT 3 PARAMETERDARSTELLUNG EINER GERADEN Wir wollen eine Gerde drstellen, welche durch die Punkte A(/) und B(5/) verläuft. Die Idee ist folgende:

Mehr

Kapitel IV Euklidische Vektorräume. γ b

Kapitel IV Euklidische Vektorräume. γ b Kpitel IV Euklidische Vektorräume 1 Elementrgeometrie in der Eene Sei E die Zeicheneene In der Schule lernt mn: (11) Stz des Pythgors: Sei E ein Dreieck mit den Seiten, und c, und sei γ der c gegenüerliegende

Mehr

Hans Walser. Geometrische Spiele. 1 Vier gleiche rechtwinklige Dreiecke. 1.1 Allgemeiner Fall

Hans Walser. Geometrische Spiele. 1 Vier gleiche rechtwinklige Dreiecke. 1.1 Allgemeiner Fall Hns Wlser Geometrische Spiele 1 Vier gleiche rechtwinklige Dreiecke 1.1 Allgemeiner Fll Wir strten mit einem elieigen rechtwinkligen Dreieck in der ülichen Beschriftung. A c B Strtdreieck C Nun versuchen

Mehr

Übungen zur Vorlesung Grundlagen der Mathematik II Lösungsvorschlag

Übungen zur Vorlesung Grundlagen der Mathematik II Lösungsvorschlag MATHEMATISCHES INSTITUT DER UNIVERSITÄT MÜNCHEN Dr. E. Schörner SS 2015 Bltt 6 26.05.2015 Üungen zur Vorlesung Grundlgen der Mthemtik II Lösungsvorschlg 21. ) Ein Qudrt mit der Seitenlänge + und dmit dem

Mehr

Umwandlung von endlichen Automaten in reguläre Ausdrücke

Umwandlung von endlichen Automaten in reguläre Ausdrücke Umwndlung von endlichen Automten in reguläre Ausdrücke Wir werden sehen, wie mn us einem endlichen Automten M einen regulären Ausdruck γ konstruieren knn, der genu die von M kzeptierte Sprche erzeugt.

Mehr

2.2. Aufgaben zu Figuren

2.2. Aufgaben zu Figuren 2.2. Aufgen zu Figuren Aufge 1 Zeichne ds Dreieck ABC in ein Koordintensystem. Bestimme die Innenwinkel, und und erechne ihre Summe. Ws stellst Du fest? ) A(1 2), B(8 3) und C(3 7) ) A(0 3), B(10 1) und

Mehr

1 Folgen von Funktionen

1 Folgen von Funktionen Folgen von Funktionen Wir etrchten Folgen von reell-wertigen Funktionen f n U R mit Definitionsereicht U R und interessieren uns für ntürliche Konvergenzegriffe. Genuer setzen wir uns mit folgenden Frgen

Mehr

MC-Serie 12 - Integrationstechniken

MC-Serie 12 - Integrationstechniken Anlysis D-BAUG Dr. Meike Akveld HS 15 MC-Serie 1 - Integrtionstechniken 1. Die Formel f(x) dx = xf(x) xf (x) dx i) ist im Allgemeinen flsch. ii) folgt us der Sustitutionsregel. iii) folgt us dem Huptstz

Mehr

TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN

TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN Zentrum Mthemtik PROF. DR.DR. JÜRGEN RICHTER-GEBERT, VANESSA KRUMMECK, MICHAEL PRÄHOFER Aufge 69. Quizz Integrle. Es sei Höhere Mthemtik für Informtiker II (Sommersemester

Mehr

ARBEITSBLATT 5L-6 FLÄCHENBERECHNUNG MITTELS INTEGRALRECHNUNG

ARBEITSBLATT 5L-6 FLÄCHENBERECHNUNG MITTELS INTEGRALRECHNUNG Mthemtik: Mg. Schmid WolfgngLehrerInnentem RBEITSBLTT 5L-6 FLÄHENBEREHNUNG MITTELS INTEGRLREHNUNG Geschichtlich entwickelte sich die Integrlrechnug us folgender Frgestellung: Wie knn mn den Flächeninhlt

Mehr

5 Ellipsen, Parabeln und Hyperbeln

5 Ellipsen, Parabeln und Hyperbeln 5 Ellipsen, Prbeln und Hperbeln Ellipsen: Seien b > reelle Zhlen und E = E,b := { + b = } Eine Qudrik Q R heißt Ellipse, wenn es reelle Zhlen b > gibt, so dss q E,b. Die Kurven E,b heißen Ellipsen in metrischer

Mehr

Themenbereich: Kongruenzsätze Seite 1 von 6

Themenbereich: Kongruenzsätze Seite 1 von 6 Themenereich: Kongruenzsätze Seite 1 von 6 Lernziele: - Kenntnis der genuen Formulierung der Kongruenzsätze - Kenntnis der edeutung der Kongruenzsätze - Fähigkeit, die Kongruenzssätze gezielt zur egründung

Mehr

v P Vektorrechnung k 1

v P Vektorrechnung k 1 Vektorrechnung () Vektorielle Größen in der hysik: Sklren Größen wie Zeit, Msse, Energie oder Tempertur werden in der hysik mit einer Mßzhl und einer Mßeinheit ngegeen: 7 sec, 4.5 kg. Wichtige physiklische

Mehr

Grundwissen 7. Jahrgangsstufe 1. Symmetrie Wissen Können Beispiele a) Achsenspiegelung : Symmetrieachse Mittelsenkrechte Winkelhalbierende

Grundwissen 7. Jahrgangsstufe 1. Symmetrie Wissen Können Beispiele a) Achsenspiegelung : Symmetrieachse Mittelsenkrechte Winkelhalbierende Grundwissen 7. Jhrgngsstufe 1. Symmetrie ) chsenspiegelung : Symmetriechse Mittelsenkrechte Winkelhlbierende Konstruktion Spiegelpunkt, Spiegelchse Mittelsenkrechte: Winkelhlbierende: Lot: Eigenschften

Mehr

Arbeitsblatt Geometrie / Trigonometrie

Arbeitsblatt Geometrie / Trigonometrie Fchhochschule Nordwestschweiz (FHNW) Hochschule für Technik Institut für Mthemtik und Nturwissenschften Arbeitsbltt Geometrie / Trigonometrie Dozent: - rückenkurs Mthemtik 2016 Modul: Mthemtik Dtum: 2016

Mehr

Für den Mathe GK, Henß. - Lineare Algebra und analytische Geometrie -

Für den Mathe GK, Henß. - Lineare Algebra und analytische Geometrie - Für den Mthe GK, Henß - Linere Alger und nlytische Geometrie - Bis uf die Astände ist jetzt lles drin.. Ich h noch ne tolle Seite entdeckt mit vielen Beispielen und vor llem Aufgen zum Üen mit Lösungen..

Mehr

Grundwissen. Die Menge der reellen Zahlen 0 =0. Beispiele

Grundwissen. Die Menge der reellen Zahlen 0 =0. Beispiele Grundwissen Klsse 9 Die Menge der reellen Zhlen Die Umkehrung des Qudrierens wird für nicht negtive Zhlen ls Ziehen der Wurzel oder Rdizieren ezeichnet. Die Qudrtwurzel us (kurz: Wurzel us ) ist dei die

Mehr

Lösung Arbeitsblatt Geometrie / Trigonometrie

Lösung Arbeitsblatt Geometrie / Trigonometrie Fchhochschule Nordwestschweiz (FHNW) Hochschule für Technik Institut für Mthemtik und Nturwissenschften Lösung Arbeitsbltt Geometrie / Trigonometrie Dozent: - Brückenkurs Mthemtik 016 Winkelbeziehugen

Mehr

a) Spezielle Winkel bei schneidenden Geraden und Parallelen α 3 β 4 Institut für Automatisierungstechnik Prof. Dr. Ch. Bold Vorsemester V.

a) Spezielle Winkel bei schneidenden Geraden und Parallelen α 3 β 4 Institut für Automatisierungstechnik Prof. Dr. Ch. Bold Vorsemester V. 0.05.0 Geometrie und Trigonometrie ) Spezielle Winkel ei shneidenden Gerden und Prllelen 4 4 Sheitelwinkel sind gleih (z.. zw. ) Neenwinkel ergänzen sih zu 80 0 (z.. + 80 0 ) Stufenwinkel sind gleih (z..

Mehr

Brückenkurs Lineare Gleichungssysteme und Vektoren

Brückenkurs Lineare Gleichungssysteme und Vektoren Brückenkurs Linere Gleichungssysteme und Vektoren Dr Alessndro Cobbe 30 September 06 Linere Gleichungssyteme Ws ist eine linere Gleichung? Es ist eine lgebrische Gleichung, in der lle Vriblen nur mit dem

Mehr

1 Das dreidimensionale Koordinatensystem

1 Das dreidimensionale Koordinatensystem Schüleruchseite 90 9 Lösungen vorläufig Ds dreidimensionle Koordintensystem S. 90. Möglichkeit: : Linke vordere oere Ecke des gnz linken Würfels : rechte hintere oere Ecke des gnz rechten Würfels : rechte

Mehr

Kegelschnitte. Geschichte der Kegelschnitte

Kegelschnitte. Geschichte der Kegelschnitte Kegelschnitte Kegelschnitte ds sind geometrische Figuren, die sich ergeen, wenn mn einen Kegel und eine Eene einnder schneiden lässt. Wir unterscheiden 3 Tpen von Kegelschnitten: Prel, Ellipse und Hperel.

Mehr

Einser-Flächen. Online-Ergänzung HEINZ KLAUS STRICK. MNU 66/7 (15.10.2013) Seiten 1 5, ISSN 0025-5866, Verlag Klaus Seeberger, Neuss

Einser-Flächen. Online-Ergänzung HEINZ KLAUS STRICK. MNU 66/7 (15.10.2013) Seiten 1 5, ISSN 0025-5866, Verlag Klaus Seeberger, Neuss Einser-Flächen HEINZ KLAUS STRICK Online-Ergänzung MNU 66/7 (15.10.01) Seiten 1 5, ISSN 005-5866, Verlg Klus Seeberger, Neuss 1 HEINZ KLAUS STRICK Einser-Flächen Die bgebildeten Figuren hben eines gemeinsm:

Mehr

10 Anwendungen der Integralrechnung

10 Anwendungen der Integralrechnung 9 nwendungen der Integrlrechnung Der Inhlt von 9 wren die verschiedenen Verfhren zur Berechnung eines Integrls Der Inhlt von sind die verschiedenen Bedeutungen, die ein Integrl hen knn Die Integrlrechnung

Mehr

Tag der Mathematik 2011

Tag der Mathematik 2011 Zentrum für Mthemtik Tg der Mthemtik 0 Gruppenwettbewerb Einzelwettbewerb Mthemtische Hürden Lösungen Allgemeine Hinweise: Als Hilfsmittel dürfen nur Schreibzeug, Geodreieck und Zirkel benutzt werden.

Mehr

(Analog nennt man a die und b die des Winkels β.)

(Analog nennt man a die und b die des Winkels β.) Mthemtik Einführung Ws edeutet ds Wort und mit ws eschäftigt sich die? Eine kleine Wortkunde: tri edeutet 'drei' Beispiel: Trithlon,... gon edeutet 'Winkel'/'Eck' Beispiel: Pentgon ds Fünfeck mit 5 Winkeln

Mehr

Landeswettbewerb Mathematik Baden-Württemberg Musterlösungen 1. Runde 2005

Landeswettbewerb Mathematik Baden-Württemberg Musterlösungen 1. Runde 2005 Lndeswettewer themtik den-württemerg usterlösungen 1. Runde 005 ufge 1 Ein Stück Ppier wird in oder Stücke zerschnitten. Nun wird eines der vorhndenen Stücke wieder whlweise in oder Stücke zerschnitten;

Mehr

Aufgaben zur Vertiefung der Geometrie. WS 2005/06 5./6. Dezember 2005 Blatt 3

Aufgaben zur Vertiefung der Geometrie. WS 2005/06 5./6. Dezember 2005 Blatt 3 ufgben zur Vertiefung der Geometrie WS 2005/06 5./6. ezember 2005 ltt 3 1. Umkugel und Innenkugel eines Tetreders Leiten Sie die Formel für ds Volumen, die Oberfläche, den Rdius der umbeschriebenen und

Mehr

Der Goldene Schnitt. III. Der Goldene Schnitt in der Mathematik

Der Goldene Schnitt. III. Der Goldene Schnitt in der Mathematik Der Goldene Schnitt III. Der Goldene Schnitt in der Mthemtik 1. Herleitung des Goldenen Schnitt Per Definition des Goldenen Schnitt gilt: b = b. (>b>0) Nch der Drstellung (s.o.) gilt, wenn S (der mittlere

Mehr

Mathematische Probleme, SS 2013 Montag $Id: dreieck.tex,v /04/22 20:37:01 hk Exp hk $

Mathematische Probleme, SS 2013 Montag $Id: dreieck.tex,v /04/22 20:37:01 hk Exp hk $ $Id: dreieck.tex,v 1.7 013/04/ 0:37:01 hk Exp hk $ 1 Dreiecke 1.5 Einige spezielle Punkte im Dreieck In der letzten Sitzung hatten wir den sogenannten Inkreis eines Dreiecks eingeführt, dies ist der Kreis

Mehr

Vorkurs Mathematik Fachhochschule Frankfurt, Fachbereich 2. Fachhochschule Frankfurt am Main Fachbereich Informatik und Ingenieurwissenschaften

Vorkurs Mathematik Fachhochschule Frankfurt, Fachbereich 2. Fachhochschule Frankfurt am Main Fachbereich Informatik und Ingenieurwissenschaften Vorkurs Mthemtik Fchhochschule Frnkfurt, Fchereich Fchhochschule Frnkfurt m Min Fchereich Informtik und Ingenieurwissenschften Vorkurs Mthemtik Sie finden lle Mterilien sowie ergänzende Informtionen unter

Mehr

Skript für die Oberstufe und das Abitur 2015 Baden-Württemberg berufl. Gymnasium (AG, BTG, EG, SG, WG)

Skript für die Oberstufe und das Abitur 2015 Baden-Württemberg berufl. Gymnasium (AG, BTG, EG, SG, WG) Sript für die Oerstufe und ds Aitur Bden-Württemerg erufl. Gymnsium (AG, BTG, EG, SG, WG) Mtrizenrechnung, wirtschftliche Anwendungen (Leontief, Mterilverflechtung) und Linere Optimierung Dipl.-Mth. Alexnder

Mehr

1. Mathematik Olympiade 3. Stufe (Bezirksolympiade) Klasse 12 Saison 1961/1962 Aufgaben und Lösungen

1. Mathematik Olympiade 3. Stufe (Bezirksolympiade) Klasse 12 Saison 1961/1962 Aufgaben und Lösungen 1. Mthemtik Olympide. Stufe (Bezirksolympide) Klsse 1 Sison 1961/196 Aufgen und Lösungen 1 OJM 1. Mthemtik-Olympide. Stufe (Bezirksolympide) Klsse 1 Aufgen Hinweis: Der Lösungsweg mit Begründungen und

Mehr

Einführung in die Integralrechnung

Einführung in die Integralrechnung Einführung in die Integrlrechnung Einführung in die Integrlrechnung Einführung in die Integrlrechnung In der Differentilrechung estnd die ufge u drin, zu einer gegeenen Funktion f deren leitungsfunktion

Mehr

ARBEITSBLATT 14 ARBEITSBLATT 14

ARBEITSBLATT 14 ARBEITSBLATT 14 Mthemtik: Mg. Schmid Wolfgng reitsltt. Semester RBEITSBLTT RBEITSBLTT RBEITSBLTT RBEITSBLTT DS VEKTORPRODUKT Definition: Ds vektorielle Produkt (oder Kreuprodukt) weier Vektoren und ist ein Vektor mit

Mehr

1.2 Der goldene Schnitt

1.2 Der goldene Schnitt Goldener Schnitt Psclsches Dreieck 8. Der goldene Schnitt Beim Begriff Goldener Schnitt denken viele Menschen n Kunst oder künstlerische Gestltung. Ds künstlerische Problem ist, wie ein Bild wohlproportioniert

Mehr

Wiederholungsaufgaben zum Grundwissenkatalog Mathematik der 7. Jahrgangsstufe

Wiederholungsaufgaben zum Grundwissenkatalog Mathematik der 7. Jahrgangsstufe Gymnsium Stein Wiederholungsufgen zum Grundwissenktlog Mthemtik der. Jhrgngsstufe ) ) Wie viele Symmetriechsen hen jeweils die folgenden Figuren? ) Welche der Figuren sind punktsymmetrisch? ❶ ❷ ❸ ❹ ❺ ❻

Mehr

Bestimmtes (Riemannsches) Integral / Integral als Grenzwert einer Summe : Bedeutung: Fläche unter einer Funktion innerhalb bestimmter Grenzen

Bestimmtes (Riemannsches) Integral / Integral als Grenzwert einer Summe : Bedeutung: Fläche unter einer Funktion innerhalb bestimmter Grenzen III. Integrlrechnung : Bestimmtes (Riemnnsches Integrl / Integrl ls Grenzwert einer Summe : Bedeutung: Fläche unter einer Funktion innerhl estimmter Grenzen yf( y n y n ( Δ Berechnung der Fläche A unter

Mehr

Tischlein deck dich. Problemstellung

Tischlein deck dich. Problemstellung Tischlein deck dich Schule: Hohenstufen-ymnsium Kiserslutern Idee und Erproung der Unterrichtseinheit: riele Lpport (Literturhinweis:. M. Fredrich: ie Stzgruppe des Pythgors) ie folgende Unterrichtseinheit

Mehr

Berechnung von Flächen unter Kurven

Berechnung von Flächen unter Kurven Berechnung von Flächen unter Kurven Es soll die Fläche unter einer elieigen (stetigen) Kurve erechnet werden. Dzu etrchten wir die (sog.) Flächenfunktion, mit der die zu erechnende Fläche qusi ngenähert

Mehr

dem Verfahren aus dem Beweis zu Satz 2.20 erhalten wir zunächst die folgenden beiden ε-ndeas für die Sprachen {a} {b} und {ε} {a} +

dem Verfahren aus dem Beweis zu Satz 2.20 erhalten wir zunächst die folgenden beiden ε-ndeas für die Sprachen {a} {b} und {ε} {a} + Lösungen zu Üungsltt 3 Aufge 1. Es gilt L(( ) ) = ({} {}) {} = ({} {}) ({} {} + ). Mit dem Verfhren us dem Beweis zu Stz 2.20 erhlten wir zunächst die folgenden eiden -NDEAs für die Sprchen {} {} und {}

Mehr

5.5. Integralrechnung

5.5. Integralrechnung .. Integrlrechnung... Berechnung von Integrlen mit der Streifenmethode Definition: Gegeen seien, R mit < und eine uf [; ] stetige Funktion f. Der orientierte Inhlt der Fläche, die durch die -Achse, ds

Mehr

ARBEITSBLATT 1-13. Maßeinheiten. 1. Längenmaße. km m dm cm mm. Beispiel: Schreib mehrnamig: 2,032801 km Lösung: 2,032801 km = 2 km 32 m 8 dm 1 mm

ARBEITSBLATT 1-13. Maßeinheiten. 1. Längenmaße. km m dm cm mm. Beispiel: Schreib mehrnamig: 2,032801 km Lösung: 2,032801 km = 2 km 32 m 8 dm 1 mm ARBEITSBLATT 1-13 13 Mßeinheiten 1. Längenmße 1000 10 10 10 km m dm cm mm Beispiel: Schreib mehrnmig:,03801 km Lösung:,03801 km = km 3 m 8 dm 1 mm Beispiel: Drücke in km us: 4 km 0 m 3 cm Lösung: 4 km

Mehr

Die Keplersche Fassregel

Die Keplersche Fassregel Die Keplersche Fssregel K. Gerer Bei vielen Aufgen, z.b. ei der Lösung von Differentilgleichungen, tucht die Schwierigkeit uf, dss Integrtionen nicht durchgeführt werden können. So können z.b. die folgenden

Mehr

Ungleichungen. Jan Pöschko. 28. Mai Einführung

Ungleichungen. Jan Pöschko. 28. Mai Einführung Ungleichungen Jn Pöschko 8. Mi 009 Inhltsverzeichnis Einführung. Ws sind Ungleichungen?................................. Äquivlenzumformungen..................................3 Rechnen mit Ungleichungen...............................

Mehr

Es soll der Betrag eines Vektors berechnet werden, wenn dieser in Komponenten oder Koordinatenschreibweise gegeben ist. a 3. x 2

Es soll der Betrag eines Vektors berechnet werden, wenn dieser in Komponenten oder Koordinatenschreibweise gegeben ist. a 3. x 2 R. Brinkmnn http://brinkmnn-du.de Seite 8.. Vektoren im krtesischen Koordintensystem Betrg eines Vektors Es soll der Betrg eines Vektors berechnet werden, wenn dieser in Komponenten oder Koordintenschreibweise

Mehr

R. Brinkmann http://brinkmann-du.de Seite 1 17.11.2010

R. Brinkmann http://brinkmann-du.de Seite 1 17.11.2010 R. rinkmnn http://rinkmnn-du.de Seite 7..2 Grundegriffe der Vektorrehnung Vektor und Sklr Ein Teil der in Nturwissenshft und Tehnik uftretenden Größen ist ei festgelegter Mßeinheit durh die nge einer Mßzhl

Mehr

5. Vektor- und Matrizenrechnung

5. Vektor- und Matrizenrechnung Ü F-Studiengng Angewndte lektronik, SS 6 Üungsufgen zur Lineren Alger und Anlysis II Vektor- und Mtrizenrechnung Für die Vektoren = (,,,) und = (,,,) erechne mn die Linerkomintion ( ) + ( + ), die Längen,

Mehr

4 Die rationalen Zahlen

4 Die rationalen Zahlen 4 Die rtionlen Zhlen Der Ring der gnzen Zhlen ht den Mngel, dß nicht jede Gleichung = X, 0 innerhl Z lösr ist. (Z.B. ist 1 = 2 X unlösr in Z). Zu seiner Beseitigung erweitert mn den Zhlereich zum Körper

Mehr

11. DER HAUPTSATZ DER DIFFERENTIAL- UND INTEGRALRECHNUNG

11. DER HAUPTSATZ DER DIFFERENTIAL- UND INTEGRALRECHNUNG 91 Dieses Skript ist ein Auszug mit Lücken us Einführung in die mthemtische Behndlung der Nturwissenschften I von Hns Heiner Storrer, Birkhäuser Skripten. Als StudentIn sollten Sie ds Buch uch kufen und

Mehr

Nullstellen quadratischer Gleichungen

Nullstellen quadratischer Gleichungen Nullstellen qudrtischer Gleichungen Rolnd Heynkes 5.11.005, Achen Nch y ufgelöst hen qudrtische Gleichungen die Form y = x +x+c. Zeichnet mn für jedes x uf der rechten Seite und ds drus resultierende y

Mehr

2.8. Aufgaben zum Satz des Pythagoras

2.8. Aufgaben zum Satz des Pythagoras Aufgbe 1 Vervollständige die folgende Tbelle:.8. Aufgben zum Stz des Pythgors Kthete 6 1 4 1 13 17 15 Kthete b 8 1 7 8 11 Hypotenuse c 13 9 19 17 Aufgbe Berechne jeweils die Länge der dritten Seite: Aufgbe

Mehr

Kapitel 1. Anschauliche Vektorrechnung

Kapitel 1. Anschauliche Vektorrechnung Kpitel 1 nschuliche Vektorrechnung 1 2 Kpitel I: nschuliche Vektorrechnung Montg, 13. Oktoer 03 Einordnung Dieses erste Kpitel ht motivierenden Chrkter. Es führt n die geometrische nschuung nknüpfend die

Mehr

A.25 Stetigkeit und Differenzierbarkeit ( )

A.25 Stetigkeit und Differenzierbarkeit ( ) A.5 Stetigkeit / Differenzierbrkeit A.5 Stetigkeit und Differenzierbrkeit ( ) Eine Funktion ist wenn die Kurve nicht unterbrochen wird, lso wenn mn sie zeichnen knn, ohne den Stift vom Bltt bzusetzen.

Mehr

Lösungen zu delta 7 neu

Lösungen zu delta 7 neu Lösungen zu delt 7 neu Knn ich ds noch? Lösungen zu den Seiten 7 und 8. ),04 ) 9 c) 6 d) 69 e), f) 0,7. ) Größtmöglicher Summenwert ) Kleinstmöglicher Summenwert c) Größtmöglicher Differenzwert d) Kleinstmöglicher

Mehr

Mathematik fu r Ingenieure (Maschinenbau und Sicherheitstechnik) 2. Semester Apl. Prof. Dr. G. Herbort Dr. T. Pawlaschyk. SoSe16 Arbeitsheft Blatt 3

Mathematik fu r Ingenieure (Maschinenbau und Sicherheitstechnik) 2. Semester Apl. Prof. Dr. G. Herbort Dr. T. Pawlaschyk. SoSe16 Arbeitsheft Blatt 3 Mthemtik fu r Ingenieure (Mschinenu und Sicherheitstechnik). Semester Apl. Prof. Dr. G. Herort Dr. T. Pwlschyk SoSe6 Areitsheft Bltt Hinweis: Besuchen Sie die Vorlesung und vervollst ndigen Sie Areitsheft.

Mehr

Lösung zur Klausur. Grundlagen der Theoretischen Informatik. 1. Zeigen Sie, dass die folgende Sprache regulär ist: w {a, b} w a w b 0 (mod 3) }.

Lösung zur Klausur. Grundlagen der Theoretischen Informatik. 1. Zeigen Sie, dass die folgende Sprache regulär ist: w {a, b} w a w b 0 (mod 3) }. Lösung zur Klusur Grundlgen der Theoretischen Informtik 1. Zeigen Sie, dss die folgende Sprche regulär ist: { w {, } w w 0 (mod 3) }. Lösung: Wir nennen die Sprche L. Eine Sprche ist genu dnn regulär,

Mehr

Automaten und Formale Sprachen alias Theoretische Informatik. Sommersemester 2012. Sprachen. Grammatiken (Einführung)

Automaten und Formale Sprachen alias Theoretische Informatik. Sommersemester 2012. Sprachen. Grammatiken (Einführung) Wörter, Grmmtiken und die Chomsky-Hierrchie Sprchen und Grmmtiken Wörter Automten und Formle Sprchen lis Theoretische Informtik Sommersemester 2012 Dr. Snder Bruggink Üungsleitung: Jn Stückrth Alphet Ein

Mehr

Dr. Günter Rothmeier Kein Anspruch auf Vollständigkeit Elementarmathematik (LH) und Fehlerfreiheit

Dr. Günter Rothmeier Kein Anspruch auf Vollständigkeit Elementarmathematik (LH) und Fehlerfreiheit Nturwissenschftliche Fkultät I Didktik der Mthemtik Privte Vorlesungsufzeichnungen Kein Anspruch uf Vollständigkeit 5 7 Elementrmthemtik (LH) und Fehlerfreiheit. Zhlenereiche.4 Die Reellen Zhlen.4.. Definition

Mehr

Einführung in die Integralrechnung

Einführung in die Integralrechnung Einführung in die Integrlrechnung Vorbereitung für ds Probestudium n der LMU München 3. bis 7. September von W. Frks und O. Forster Integrle ls Flächeninhlte. Motivtion Flächeninhlte von Rechtecken sind

Mehr

2. Landeswettbewerb Mathematik Bayern 2. Runde 1999/2000

2. Landeswettbewerb Mathematik Bayern 2. Runde 1999/2000 Lndeswettewer Mthemtik Bern Runde 999/000 Aufge Ein Würfel wird durh je einen Shnitt rllel zur order-, Seiten und Dekflähe in ht Quder zerlegt (siehe Skizze) Können sih die Ruminhlte dieser Quder wie :

Mehr

Wurzeln. bestimmen. Dann braucht man Wurzeln. Treffender müsste man von Quadratwurzeln sprechen. 1. Bei Quadraten, deren Fläche eine Quadratzahl ist,

Wurzeln. bestimmen. Dann braucht man Wurzeln. Treffender müsste man von Quadratwurzeln sprechen. 1. Bei Quadraten, deren Fläche eine Quadratzahl ist, Seitenlängen von Qudrten lssen sich mnchml sehr leicht und mnchml etws schwerer Wurzeln bestimmen. Dnn brucht mn Wurzeln. Treffender müsste mn von Qudrtwurzeln sprechen. Sie stehen in enger Beziehung zu

Mehr

Vorkurs Mathematik DIFFERENTIATION

Vorkurs Mathematik DIFFERENTIATION Vorkurs Mthemtik 6 DIFFERENTIATION Beispiel (Ableitung von sin( )). Es seien f() = sin g() = h() =f(g()) = sin. (f () =cos) (g () =) Also ist die Ableitung von h: h () =f (g())g () =cos = cos. Mn nennt

Mehr

Grundbegriffe der Informatik Aufgabenblatt 5

Grundbegriffe der Informatik Aufgabenblatt 5 Grundegriffe der Informtik Aufgenltt 5 Mtr.nr.: Nchnme: Vornme: Tutorium: Nr. Nme des Tutors: Ausge: 20. Novemer 2013 Age: 29. Novemer 2013, 12:30 Uhr im GBI-Briefksten im Untergeschoss von Geäude 50.34

Mehr

Unterrichtsmaterialien in digitaler und in gedruckter Form. Auszug aus: Lernzirkel / Stationenlernen: Höhensätze (Pythagoras und Euklid)

Unterrichtsmaterialien in digitaler und in gedruckter Form. Auszug aus: Lernzirkel / Stationenlernen: Höhensätze (Pythagoras und Euklid) Unterrihtsmterilien in digitler und in gedrukter Form uszug us: Lernzirkel / Sttionenlernen: Höhensätze (Pythgors und Euklid) Ds komplette Mteril finden Sie hier: Downlod ei Shool-Soutde SHOOL-SOUT Lernzirkel

Mehr

Grundwissen Jahrgangsstufe 7

Grundwissen Jahrgangsstufe 7 GM 7.1 chsensymmetrie Grundwissen Jhrgngsstufe 7 Definition Zwei unkte liegen symmetrisch bezüglich einer chse, wenn ihre Verbindungsstrecke von der chse senkrecht hlbiert wird. M und liegen symmetrisch

Mehr

Wirtschaftsmathematik 00053: Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler I Kurseinheit 2: Lineare Algebra II. Autor: Univ.-Prof. Dr.

Wirtschaftsmathematik 00053: Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler I Kurseinheit 2: Lineare Algebra II. Autor: Univ.-Prof. Dr. Wirtschftsmthemtik 0005: Mthemtik für Wirtschftswissenschftler I Kurseinheit : Linere Alger II Leseproe Autor: Univ.-Prof. Dr. Wilhelm Rödder 5. Linere Gleichungssysteme und Mtrixgleichungen So verwundert

Mehr

Multiplikative Inverse

Multiplikative Inverse Multipliktive Inverse Ein Streifzug durch ds Bruchrechnen in Restklssen von Yimin Ge, Jänner 2006 Viele Leute hben Probleme dbei, Brüche und Restklssen unter einen Hut zu bringen. Dieser kurze Aufstz soll

Mehr

Lineare DGL zweiter Ordnung

Lineare DGL zweiter Ordnung Universität Duisburg-Essen Essen, 03.06.01 Fkultät für Mthemtik S. Buer C. Hubcsek C. Thiel Linere DGL zweiter Ordnung Betrchten wir ds AWP { x + x + bx = 0 mit, b, t 0, x 0, v 0 R. Der Anstz xt 0 = x

Mehr

Grundkurs Mathematik. Einführung in die Integralrechnung. Lösungen und Ergebnisse zu den Aufgaben

Grundkurs Mathematik. Einführung in die Integralrechnung. Lösungen und Ergebnisse zu den Aufgaben Seite Einführung in die Integrlrechnung Lösungen und Ergenisse Gr Stefn Gärtner Grundkurs Mthemtik Einführung in die Integrlrechnung Lösungen und Ergenisse zu den Aufgen Von llen Wissenschftlern können

Mehr

Funktionen und Mächtigkeiten

Funktionen und Mächtigkeiten Vorlesung Funktionen und Mähtigkeiten. Etws Mengenlehre In der Folge reiten wir intuitiv mit Mengen. Eine Menge ist eine Zusmmenfssung von Elementen. Zum Beispiel ist A = {,,,,5} eine endlihe Menge mit

Mehr

Satzgruppe des Pythagoras

Satzgruppe des Pythagoras Humboldt-Universität zu Berlin Institut für Mthemtik Dr. I. Lehmnn: Ausgewählte Kpitel der Didktik der Mthemtik WS 2008/09 Referentinnen: Undine Pierschel & Corneli Schulz 16.12.2008 Stzgruppe des Pythgors

Mehr

13 Rekonfigurierende binäre Suchbäume

13 Rekonfigurierende binäre Suchbäume 13 Rekonfigurierende inäre Suchäume U.-P. Schroeder, Uni Pderorn inäräume, die zufällig erzeugt wurden, weisen für die wesentlichen Opertionen Suchen, Einfügen und Löschen einen logrithmischen ufwnd uf.

Mehr

Musterlösung zu Aufgabe 1 (Klassenstufe 9/10)

Musterlösung zu Aufgabe 1 (Klassenstufe 9/10) Musterlösung zu Aufgbe 1 (Klssenstufe 9/10) Aufgbe. Drei Freunde spielen mehrere Runden eines Spiels, bei dem sie je nch Rundenpltzierung in jeder Runde einen festen, gnzzhligen Betrg x, y oder z usgezhlt

Mehr

Grenzwerte von Funktionen

Grenzwerte von Funktionen Grenzwert und Stetigkeit von Funktionen Methodische Bemerkungen H Hinweise und didktisch-methodische Anmerkungen zum Einstz der Areitslätter und Folien für den Themenkreis Grenzwert und Stetigkeit von

Mehr

Der Vektor lebt unabhängig vom Koordinatensystem: Bei einer Drehung des Koordinatensystems ändern zwar die Komponenten, der Vektor v aber bleibt.

Der Vektor lebt unabhängig vom Koordinatensystem: Bei einer Drehung des Koordinatensystems ändern zwar die Komponenten, der Vektor v aber bleibt. Vektorlger Vektorlger Vektoren sind Grössen, die einen Betrg sowie eine Rihtung im Rum hen. Im Gegenstz zu den Vektoren estehen Sklre nur us einer Grösse ls Zhl. In Bühern wird nsttt v oft v geshrieen.

Mehr

Trigonometrie. M. Tamburrino. Januar Trigonometrie.doc. Trigonometrie FHSO Mathematik (Vorstudium) 1

Trigonometrie. M. Tamburrino. Januar Trigonometrie.doc. Trigonometrie FHSO Mathematik (Vorstudium) 1 Trigonometrie Einleitung... Winkel.... Definition.... Winkelmße... 3.. Winkel in Grd... 3.. Winkel im Bogenmss... 3 3 Trigonometrische Funktionen m rechtwinkligen Dreieck... 5 3. Definition... 5 3. Einige

Mehr

Strahl Eine gerade Linie, die auf einer Seite von einem Punkt begrenzt wird, (Anfangspunkt) heißt Strahl.

Strahl Eine gerade Linie, die auf einer Seite von einem Punkt begrenzt wird, (Anfangspunkt) heißt Strahl. 1. 1. 2. Strecke B B Gerde Eine gerde, von zwei Punkten begrenzte Linie heißt Strecke. Eine gerde Linie, die nicht begrenzt ist, heißt Gerde. D.h. eine Gerde ht keine Endpunkte! 2. 3. 3. g Strhl Eine gerde

Mehr

MB1 LU 5 und 12 Geometrische Grundbegriffe

MB1 LU 5 und 12 Geometrische Grundbegriffe M1 LU 5 und 12 Geometrische Grundbegriffe Ds Wort Geometrie ist ltgriechischen Ursprungs und setzt sich us den Wörtern geo = Erde und metron = messen zusmmen. Die Geometrie wr die Wissenschft, die sich

Mehr

Dreiecke als Bausteine

Dreiecke als Bausteine e ls usteine Jedes Viereck lässt sich in zwei e zerlegen. Wirklich jedes? Konstruktion eines s bei drei beknnten Seiten bmessen einer Strecke mit dem Geodreieck. Zirkelschlg um einen Punkt mit der zweiten

Mehr

Übungsaufgaben zum Vorkurs Mathematik. im Fachbereich Fahrzeugtechnik und Flugzeugbau

Übungsaufgaben zum Vorkurs Mathematik. im Fachbereich Fahrzeugtechnik und Flugzeugbau Üungsufgen zum Vorkurs Mthemtik im Fchereich Fhrzeugtechnik und Flugzeugu Aschnitt A : Umformungen, Potenzen, Wurzeln, Logrithmen Aschnitt A: Umformungen, Potenzen, Wurzeln, Logrithmen Aufge A Berechnen

Mehr

Satzgruppe des Pythagoras

Satzgruppe des Pythagoras Stzgruppe des Pythgors Jürgen Zumdik I. ntdeken des Stzes 1) Seilspnnergeshihte oder Zimmermnnsgeshihte (in Zimmermnn legt us Ltten der Länge 1,0 m, 1,60 m und,00 m ein Dreiek). ) us einer Werung von Ritter-Sport

Mehr

Die Regelungen zu den Einsendeaufgaben (Einsendeschluss, Klausurzulassung) finden Sie in den Studien- und Prüfungsinformationen Heft Nr. 1.

Die Regelungen zu den Einsendeaufgaben (Einsendeschluss, Klausurzulassung) finden Sie in den Studien- und Prüfungsinformationen Heft Nr. 1. Modul : Grundlgen der Wirtschftsmthemtik und Sttistik Kurs 46, Einheit, Einsendeufge Die Regelungen zu den Einsendeufgen (Einsendeschluss, Klusurzulssung) finden Sie in den Studien- und Prüfungsinformtionen

Mehr

7.4. Teilverhältnisse

7.4. Teilverhältnisse 7... erehnung von Teilverhältnissen ufgen zu Teilverhältnissen Nr. 7.. Teilverhältnisse Die Shwerpunkte von Figuren und Körpern lssen sih mit Hilfe von Teilverhältnissen usdrüken und erehnen. Definition

Mehr

2 Berechnung von Flächeninhalten unter Kurvenstücken

2 Berechnung von Flächeninhalten unter Kurvenstücken Übungsmteril 1 Berechnung von Flächeninhlten unter Kurvenstücken.1 Annäherung durch Rechtecke Um die Fläche zu berechnen, die zwischen dem Funktionsgrphen einer Funktion und der -Achse eingeschlossen wird,

Mehr

2. Klausur in K2 am

2. Klausur in K2 am Nme: Punkte: Note: Ø: Profilfch Physik Azüge für Drstellung: Rundung:. Klusur in K m.. 04 Achte uf die Drstellung und vergiss nicht Geg., Ges., Formeln, Einheiten, Rundung...! Aufge ) (8 Punkte) In drei

Mehr

Aufgaben zur Kreisgeometrie

Aufgaben zur Kreisgeometrie Dr. Krlhorst Meer Aufgben zur Kreisgeometrie 1. Frgen Die folgenden Aufgben sind entsprechend MEYER [1] geordnet und beziehen sich uf dieses Mnuskript. 1. Aufgben findet mn in jedem Buch über komplee Zhlen,

Mehr

II. Geometrie. 4. Antike: Die Euklidische Mathematik. 1. Der Satz von Pythagoras.

II. Geometrie. 4. Antike: Die Euklidische Mathematik. 1. Der Satz von Pythagoras. II. Geometrie. 4. ntike: ie Euklidische Mthemtik. In höchster Ehre stnd bei (den Griechen) weiterhin die Geometrie und folglich gb es uch nichts ngeseheneres ls die Mthemtiker. Wir dgegen hben uns um diese

Mehr

Lösung: a) 1093 1100 b) 1093 1090

Lösung: a) 1093 1100 b) 1093 1090 OvTG Guting, Grundwissen Mthemtik 5. Klsse 1. Ntürliche Zhlen Dezimlsystem Mn nennt die Zhlen, die mn zum Zählen verwendet, 10963 = 1 10000+ 0 1000+ 9 100+ 6 10 + 3 1 ntürliche Zhlen. Der Stellenwert der

Mehr

- 1 - VB Inhaltsverzeichnis

- 1 - VB Inhaltsverzeichnis - - VB Inhltsverzeichnis Inhltsverzeichnis... Die Inverse einer Mtrix.... Definition der Einheitsmtrix.... Bedingung für die inverse Mtrix.... Berechnung der Inversen Mtrix..... Ds Verfhren nch Guß mit

Mehr

Grundwissen am Ende der Jahrgangsstufe 9. Wahlpflichtfächergruppe II / III

Grundwissen am Ende der Jahrgangsstufe 9. Wahlpflichtfächergruppe II / III Grundwissen m Ende der Jhrgngsstufe 9 Whlpflichtfächergruppe II / III Funktionsbegriff Gerdengleichungen ufstellen und zu gegebenen Gleichungen die Grphen der Gerden zeichnen Ssteme linerer Gleichungen

Mehr

Quadratische Funktionen

Quadratische Funktionen Qudrtische Funktionen Die Scheitelpunktform ist eine spezielle Drstellungsform von qudrtischen Funktionen, nhnd der viele geometrische Eigenschften des Funktionsgrphen bgelesen werden können. Abbildung

Mehr

Grundwissen Mathematik 7I

Grundwissen Mathematik 7I Winkel m Kreis Grundwissen themtik 7I Rndwinkelstz Der Winkel heißt ittelpunktswinkel über der Sehne []. Die Winkel n sind die Rndwinkel über der Sehne []. lle Rndwinkel über einer Sehne eines Kreises

Mehr

Pythagoras. Suche ein rechtwinkliges Dreieck mit ganzzahligen Seitenlängen. ... c Roolfs

Pythagoras. Suche ein rechtwinkliges Dreieck mit ganzzahligen Seitenlängen. ... c Roolfs Pythgors Suhe ein rehtwinkliges Dreiek mit gnzzhligen Seitenlängen..... 1 Pythgors Für ein Dreiek mit den Seitenlängen = 3 und = 4 (in m) gilt vermutlih = 5. Weise diese Vermutung nh. Tipp: Bestimme den

Mehr

Berechnungen am Prisma. Das Netz (Abwicklung) eines Prismas

Berechnungen am Prisma. Das Netz (Abwicklung) eines Prismas Berechnungen m Prism Einführung des Prisms: Schüler ringen verschiedene Verpckungen mit in den Unterricht Klssifizierung der Verpckungen in Prismen und ndere Körper Erreitung der Eigenschften eines Prisms:

Mehr

Monte-Carlo-Integration

Monte-Carlo-Integration Monte-Crlo-Integrtion von Dietmr Herrmnn, Anzing Kurzfssung: An Hnd eines einfchen Beispiels wird gezeigt, dß jedes Integrl ls Erwrtungswert einer reellen Zufllsgröße ufgefßt werden knn. een einer symptotischen

Mehr

Grundwissen Mathematik Klasse 9 Übungsaufgaben

Grundwissen Mathematik Klasse 9 Übungsaufgaben Grundwissen Mthemtik Klsse 9 Übungsufgben Rechnen mit Wurzeln:. Rdiziere so weit wie möglich! 7 8 b c d) e) ( b ) f) b c ( ) g) b b. Berechne! ( 8 8 )( 7 ) 7 9 9. Mche den Nenner rtionl und vereinfche

Mehr

Übungsblatt 1 zum Propädeutikum

Übungsblatt 1 zum Propädeutikum Üungsltt zum Propädeutium. Gegeen seien die Mengen A = {,,,}, B = {,,} und C = {,,,}. Bilden Sie die Mengen A B, A C, (A B) C, (A C) B und geen Sie diese in ufzählender Form n.. Geen Sie lle Teilmengen

Mehr