13. Quadratische Reste

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1 ChrNelius: Zhlentheorie (SS 007) 3 Qudrtische Reste Wir ehndeln jetzt ei den Potenzresten den Sezilfll m und führen die folgende Begriffsildung ein: (3) DEF: Seien n und teilerfremd heißt qudrtischer Rest modulo n (gekürzt QR mod n), wenn die Kongruenz x (mod n) lösr ist, dh wenn ter Potenzrest modulo n ist Anderenflls heißt qudrtischer Nichtrest modulo n (gekürzt QNR mod n) Wir sezilisieren zunächst einige frühere Ergenisse uf den Fll m Aus () folgt: (3) BEM: Besitzt die ntürliche Zhl n die knonische Primfktorzerlegung n k k kr r, so ist eine zu n teilerfremde Zhl genu dnn QR mod n, wenn QR mod k i i für lle i,,, r ist (33) BEM: Aus (6) folgt: Seien ungerde und k mit k 3 Genu dnn ist QR mod k, wenn gilt: i) (mod 4) und ii) k 3 (mod k ) (34) LEMMA: Seien k, k 3 und Dnn gilt: ) QR mod (mod ) ) QR mod 4 (mod 4) c) QR mod k (mod ) D es Primitivwurzeln mod k git ( IP, > ), folgt us (4) (35) BEM: Seien IP, > und k Eine Zhl mit ist genu dnn ein QR modulo k, wenn gilt: ϕ(k ) (mod k ) (36) SATZ: Seien IP, > und mit Dnn folgt: ) ist genu dnn QR mod, wenn ) ist genu dnn QNR mod, wenn (mod ) gilt (mod ) gilt (37) KOROLLAR: sei eine ungerde Primzhl, und es seien und k Dnn sind folgende Aussgen äquivlent: ) ist QR mod k ) ist QR mod

2 ChrNelius: Zhlentheorie (SS 007) (3) KOROLLAR: Sei eine ungerde Primzhl Dnn gilt: ) Ds Produkt zweier QR e mod ist ein QR mod ) Ds Produkt zweier QNR e mod ist ein QR mod c) Ds Produkt eines QR es mod und eines QNR es mod ist ein QNR mod (39) DEF: Sei > eine (ungerde) Primzhl Ist dnn die Zhl teilerfremd zu, so ist ds Legendre Symol (lies: nch ) definiert durch: : {, wenn QR mod ist, wenn QNR mod ist Adrien Mrie Legendre (75 33), frnzösischer Mthemtiker (30) Kriterium von Euler Seien IP, > und mit Dnn gilt ( ) (mod ) Leonhrd Euler (707 73), Schweizer Mthemtiker ( ) (3) KOROLLAR: ) Für eine Primzhl > gilt ) ist genu dnn QR mod, wenn (mod 4) gilt c) ist genu dnn QNR mod, wenn 3 (mod 4) gilt ( ) (3) Rechenregeln für ds Legendre Symol Sei > eine ungerde Primzhl Die Zhlen,, c seien lle teilerfremd zu Dnn gilt: ( ) ) (mod ) ) ( ) c) c (33) BEM: Sei eine ungerde Primzhl ) Dnn ist {0,,,, } ein vrs mod Wir werden im folgenden uch ds folgende vrs mod etrchten {, 3 3,,,, 0,,,, } ds wir ds System der solut kleinsten Reste modulo nennen ) Zu jeder Zhl mit existiert genu eine Zhl r mit i) r (mod ) und ii) 0 < r min{ [] } ( ) <,

3 ChrNelius: Zhlentheorie (SS 007) 3 (34) LEMMA: Sei eine ungerde Primzhl, und es sei S : {,, 3,, ( )} Ferner sei mit Dnn gilt: ) Zu jedem s S existieren eindeutig estimmte Zhlen ε s () {+, } und s S mit der Eigenschft s ε s () s (mod ) ) Die Aildung β : S S, s s ist ijektiv (35) Lemm von Guß Seien > eine Primzhl und mit Dnn gilt ε s () α, s S woei α die Anzhl der Zhlen unter {,, 3,, ( ) } negtiven solut kleinsten Rest hen ist, die modulo einen Crl Friedrich Guß (777 55), deutscher Mthemtiker (36) KOROLLAR: Sei > Dnn gilt: ) ( ) ) ist genu dnn QR mod, wenn (mod ) oder 7 (mod ) gilt c) ist genu dnn QNR mod, wenn 3 (mod ) oder 5 (mod ) gilt (37) Qudrtisches Rezirozitätsgesetz für ds Legendre Symol Für verschiedene ungerde Primzhlen und q gilt ( ) q ( ) q q Dieses Ergenis wurde 75 von Legendre vermutet, er noch nicht vollständig ewiesen Ein erster Beweis dfür wurde von Guß errcht (0), der insgesmt verschiedene Beweise gefunden ht Insgesmt git es mehr ls 00 Beweise für diesen Stz (3) BEM: Stellt mn \ {0} in der Form k l k kr r dr mit k {0, }, l 0, r 0, k i, woei,, r rweise verschiedene ungerde Primzhlen sind, so gilt für eine ungerde Primzhl mit Die Legendre Symole ( ) i ( ) k ( ) l ( ) k ( ) kr r lssen sich häufig mit (37) vereinfchen und erechnen

4 ChrNelius: Zhlentheorie (SS 007) 4 Ds Jcoi Symol ist eine Verllgemeinerung des Legendre Symols Crl Gustv Jco Jcoi (04 5), deutscher Mthemtiker (39) DEF: Seien, teilerfremde Zhlen, woei 3 ungerde ist Besitzt dnn die Primfktorzerlegung k k kr r mit rweise verschiedenen ( (ungerden) ) Primzhlen,,, r und Exonenten k i 0, so ist ds Jcoi Symol definiert durch Hierei ist i ( ) : r i ds normle Legendre Symol ( ) ki i Beisiel: ( ) ( ( ) ( ( ) 7 5) 5) (90) BEM: ) D ungerde ist, sind uch lle Primfktoren i von ungerde und teilen nicht wegen ggt(, ) Folglich ist definiert Ist eine ungerde Primzhl, so erhlten wir die lte Definition des Legendre Symols ) Es gilt {+, } c) ist QNR modulo d) Aus läßt sich er i nicht schließen, dß QR modulo ist ( Gegeneisiel:, er ist QNR modulo 5, d QNR modulo 3 ist 5) i (3) Rechenregeln für ds Jcoi Symol Seien,,,, c, woei 3 und 3 eide ungerde sind Dnn gilt: ( ) ) Aus (mod ) und ggt(, ) ggt(, ) folgt ) Aus ggt(, ) folgt c) Aus ggt(, ) folgt d) Aus ggt(c, ) folgt e) Aus ggt(, c) folgt ( ) ( ) ( ) ( ) c ( ) c

5 ChrNelius: Zhlentheorie (SS 007) 5 (3) HILFSSATZ: Für ungerde Zhlen u, v gilt: ) u ) u + v + v uv (uv) (mod ) (mod ) (33) LEMMA: Für jede ungerde gnze Zhl 3 gilt ( ) (34) LEMMA: Für jede ungerde gnze Zhl 3 gilt ( ) (35) Qudrtisches Rezirozitätsgesetz für ds Jcoi Symol Für ungerde teilerfremde Zhlen und, die eide 3 sind, gilt: ( )

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