Teil A hilfsmittelfreier Teil

Transkript

1 Klassenarbeit GYM Klasse 0 Seite Datum: Thema: Name: Zeit: Erreichte Punkte: Note: Hilfsmittel: keine Teil A hilfsmittelfreier Teil Aufgabe : (4 Punkte) Entscheide, ob das Zufallsexperiment eine Bernoulli-Kette ist oder nicht. Begründe deine Antwort kurz. a. Zehnmaliges Werfen einer Münze. Die Anzahl der Wappen wird notiert. b. Fünfmaliges Werfen eines Würfels. Die Augenzahl wird notiert. c. Aus einer Urne mit 5 schwarzen, 8 roten und 2 weißen Kugeln werden 3 Kugeln gezogen. Die gezogene Kugel wird jedes Mal in die Urne zurückgelegt. Nur auf die schwarze Kugel wird geachtet, diese bedeutet Gewinn. d. Werfen des Schokoladenweihnachtsmannes. Aufgabe 2: (2,5 Punkte) Die Klassenlehrerin der Klasse 0b wählt zufällig 4 Schülerinnen aus 0 Schülerinnen aus um das Klassenzimmer weihnachtlich zu dekorieren. Berechne, wie viele Möglichkeiten die Lehrerin bei der Auswahl der Schülerinnen hat. Aufgabe 3: (2 Punkte) Ein Tetraeder trägt die Augenzahlen, 2, 3, 4. Eva will bei einem Spiel 5 pro Augenzahl an Hannah zahlen. Berechne die zu erwartende Auszahlung und gib an, wie groß der Einsatz von Hannah sein muss damit das Spiel fair ist. Aufgabe 4: (2 Punkte) Michael wirft einen Würfel 84-mal. Mit wie vielen Sechsen kann er im Mittel rechnen?

2 Klassenarbeit GYM Klasse 0 Seite 2 Datum: Thema: Name: Hilfsmittel: keine! Aufgabe 5: (2 Punkte) Angenommen, alle Wochentage treten gleich oft als Geburtstage auf. Wie groß ist die, dass in einer Familie mit 3 Kindern mindestens ein Sonntagskind ist? Das Aufstellen eines Terms und das sinnvolle vereinfachen des Terms genügt hier.

3 Klassenarbeit GYM Klasse 0 Seite 3 Datum: Thema: Name: Hilfsmittel: GTR, Formelsammlung Teil B mit Hilfsmittel Aufgabe 6: (4,5 Punkte) Eine Zufallsvariable X sei B 8;0,4 -verteilt. a. Schreibe die Bernoulli-Formel zur Berechnung von P(X = 3) auf und bestimme die mit dem GTR. b. Bestimme P(X > 6) mit dem GTR und notiere die Umformung die du vornimmst. c. Bestimme mit dem GTR P(4 X 6) und notiere die Umformung und den GTR-Befehl. Aufgabe 7: (5,5 Punkte) Ein Glücksrad ist mit den Zahlen von bis 8 beschriftet. Jeder Sektor ist gleich groß. Es wird 24-mal gedreht. Definiere jeweils eine geeignete Zufallsvariable und gib jeweils den GTR-Befehl an. Berechne die, dass a. das Glücksrad genau 3-mal auf dem Feld 4 stehen bleibt. b. das Glücksrad höchstens 5-mal auf dem Feld 8 stehen bleibt. c. das Glücksrad mindestens 3-mal eine Zahl größer als 5 anzeigt. Aufgabe 8: (3 Punkte) Wetterbeobachtungen im Raum Baden-Baden haben gezeigt, dass die Schneewahrscheinlichkeit im Dezember täglich bei 30% liegt. a. Mit welcher schneit es die ganze Woche über? b. Wie groß ist die, dass es während der 4 Tage Weihnachtsferien an mehr als 5 Tagen schneit?

4 Klassenarbeit GYM Klasse 0 Seite 4 Datum: Thema: Name: Hilfsmittel: GTR, Formelsammlung Aufgabe 9: (2,5 Punkte) Erfinde eine geeignete Textaufgabe zu folgendem Term: P = 0 4 0,84 0,2 6 Aufgabe 0: (3 Punkte) Bei einer Bernoulli-Kette der Länge n = 3 ist die Zufallsvariable X der Erfolge binomialverteilt. Das Ergebnis dreimal Niete hat die P(X = 0) = 0,027. Berechne die für genau zweimal Treffer. Notiere deinen Lösungsweg. Aufgabe : (2 Punkte) Nach Angaben des statistischen Bundesamtes beträgt der Anteil der Raucher unter den 5- bis 20-Jährigen 22%. Bei welcher Klassengröße beträgt die mindestens 95%, dass sich mindestens 5 Raucher in der Schulklasse befinden? Gesamt: 33 Punkte Viel Glück!!!

5 Aufgabe : (4 Punkte) a.) Es handelt sich um einen Bernoulli-Versuch, da es einen Erfolg und einen Misserfolg gibt und sich die en im Laufe des Versuchs nicht ändern. (P) b.) Es handelt sich um keinen Bernoulli Versuch, da mehrere Ereignisse möglich sind (Augensummen von 2 bis 2 sind verschiedene Ereignisse) und daher kein eindeutiger Erfolg festgelegt ist.(p) c.) Es handelt sich um einen Bernoulli-Versuch. Da der Versuch mit zurücklegen ist ändern sich die en nicht. Als Erfolg wurde schwarze Kugel festgelegt. (P) d.) Es handelt sich um keinen Bernoulli-Versuch, da in der Aufgabe weder eine noch ein konkreter Erfolg angegeben wurde. (P) Aufgabe 2: (2,5 Punkte) Aus n = 0 Schülerinnen werden k = 4 Schülerinnen ausgewählt: 0 4 = 0! 4! 0 4! = = = 20 Die Klassenlehrerin hat 20 verschiedene Möglichkeiten aus denen sie auswählen kann. Aufgabe 3: (2 Punkte) Erwartungswert berechnen: Augenzahl Gewinn k P(X = k) E x = = = 50 4 = 2,50 Die durchschnittliche Auszahlung beträgt 2,50.

6 Damit das Spiel fair ist muss Hannah einen Einsatz von 2,50 bezahlen. (2P.) Aufgabe 4: (2 Punkte) n = 84 Würfe; P( Würfel zeigt secs ) = 6 E = n p = 84 6 = 4 Man kann im Durchschnitt mit 4mal sechs rechnen. Aufgabe 5: (2 Punkte) Eine Aufgabe zum querdenken: Man kann für diese Aufgabe davon ausgehen, dass ein Jahr eine feste Zahl an Wochen hat und jeder Wochentag gleich oft vorkommt. Für n = 3 Kinder und P( Sonntag ) = gilt daher: 7 Die Zufallsvariable X beschreibt die Anzahl der Kinder, die am Sonntag Geburtstag haben. Da mindestens Kind ein Sonntagskind sein soll ist P(X ) gesucht. P X = P X = 0 = = = Die Rechnung alleine ist ausreichend. Das Ergebnis muss nicht dringend notiert werden. Aufgabe 6: (4,5 Punkte) n = 8 ; p = 0,4 a.) P X = 3 = 8 3 0,43 0,6 5 binompdf 8; 0,4; 3 = 0,2787 (,5P) b.) P X > 6 = P X 6 = binomcdf 8; 0,4; 6 = 0,0085 c.) P 4 X 6 = P X 6 P X 3 (,5P) = binomcdf 8; 0,4; 6 binomcdf 8; 0,4; 3 = 0,3974 (,5P)

7 Aufgabe 7: (5,5 Punkte) a.) n = 24 ; P(Glücksrad zeigt 4) = 8 P X = 3 = binompdf 24; ; 3 = 0,2394 (,5P) 8 b.) n = 24 ; P(Glücksrad zeigt 8) = 8 P X 5 = binomcdf 24; ; 5 = 0,9297 (2P) 8 c.) n = 24 ; P Zal > 5 = P Zal = 6,7 oder 8 = 3 8 P x 3 = P X 2 = binomcdf 24; 3 ; 2 = 0,079 (2P) 8 Aufgabe 8: (3 Punkte) a.) Es soll eine Woche lang schneien, also schneit es an 7 Tagen insgesamt 7mal. Daher gilt n = 7 und p = 0,3. P X = 7 = binompdf 7; 0,3; 7 = 0,0002 bzw. 2, (,5P) b.) n = 4 ; p = 0,3 P x > 5 = P x 5 = binomcdf 4; 0,3; 5 = 0,295 (,5P) Aufgabe 9: (2,5 Punkte) Gegeben ist der Term: P = 0 4 0,84 0,2 6 Es handelt sich um die Formel von Bernoulli, zu der man eine passende Aufgabenstellung formulieren soll. Aus dieser Formel lässt sich ableiten, dass n = 0 und k = 4 ist. Die Erfolgswahrscheinlichkeit ist 0,8. Es gibt hier theoretisch unendlich viele Lösungen. Am besten ist es, wenn du dir dazu immer ein passendes Beispiel zurecht legst. Am Leichtesten geht es mit Kugeln in einer Urne. Daher könnte die Aufgabenstellung folgendermaßen lauten: Aufgabe: Aus einer Urne mit 8 schwarzen und 2 weißen Kugeln werden hintereinander 0 Kugeln mit zurücklegen gezogen. Berechne die dafür, dass genau 4mal eine schwarze Kugel gezogen wird.

8 Aufgabe 0: (3 Punkte) Laut Aufgabe ist n = 3 vorgegeben. Das Problem dabei ist, dass man die Erfolgswahrscheinlichkeit nicht gegeben hat. Anhand der Angabe P(X = 0) = 0,027 muss man zunächst die Erfolgswahrscheinlichkeit bestimmen. Dazu gibt es zwei Möglichkeiten:. Möglichkeit: per Hand mit der Formel von Bernoulli: (Anmerkung dazu: Geht nur gut weil k = 0 ist. Warum das so ist siehst du anhand der Rechnung) P X = 0 = 3 0 p0 q 3 mit q = p (Misserfolgswahrscheinlichkeit) 0,027 = 3 0 p0 q 3 0,027 = q³ 3 q = 0,3 Daraus folgt: p = 0,7 2. Möglichkeit: mit GTR per Grafikfunktion: Dazu gibst du folgende Funktionen in den Y-Editor ein: Y = binompdf(3; X; 0) Y 2 = 0,027 Folgende Einstellungen gibst du im WINDOW ein: x min = 0 x max = y min = 0 y max = Erklärung dazu: Die gesuchte Variable X ist eine und liegt daher zwischen 0 und. Das Ergebnis dieser Funktion ist ebenfalls eine und liegt ebenfalls zwischen 0 und. Mit Intersection kannst du dir den Schnittpunkt anzeigen lassen. X =.7 und Y =.027 Daher gilt: p = 0,7 P X = 2 = binompdf 3; 0,7; 2 = 0,44

9 Aufgabe : (2 Punkte) Gegeben ist p = 0,22 und P X 5 > 0,95 Gesucht ist die Klassengröße n. Man kann als Rechnung auch P X 5 = 0,95 ansetzen, das Ergebnis für n wird für diese Aufgabe aufgerundet auf eine ganze Zahl. P X 5 = P X 4 binomcdf X; 0,22; 4 = 0,95 Mit GTR: Y = binompdf(round X, 0 ; 0,22; 4) Y 2 = 0,95 x min = 0 x max = 50 y min = 0 y max = Anmerkung dazu: Ich habe die obere Grenze auf 50 gesetzt da man davon ausgehen kann dass keine Klasse 50 Schüler enthält. Daher liegt das Ergebnis auf jeden Fall im sichtbaren Fenster. Mit Intersection liefert der GTR: X = 38,5 und Y =.95 Aufgerundet auf eine ganze Zahl ergibt: n = 39. Die Klasse müsste folglich 39 Schüler haben, damit sich mit einer von mindestens 0,95 mindestens 5 Raucher in der Schulklasse befinden. Noch ausstehend: WTR-Verfahren