Ifi. Lehrgang der höheren Mathematik. Teill. von W. I. Smirnow. Mit 190 Abbildungen. Elfte, berichtigte Auflage

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1 Lehrgang der höheren Mathematik Teill von W. I. Smirnow Mitglied der Akademie der Wissenschaften der UdSSR Mit 190 Abbildungen Elfte, berichtigte Auflage Ifi H VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften Berlin 1973

2 INHALT I. Funktionale Abhängigkeit und Theorie der Grenzwerte Veränderliche Größen Die Größe und ihre Maßbestimmung Die Zahl Konstante und veränderliche Größen Das Intervall Der Funktionsbegriff Die analytische Darstellung einer funktionalen Abhängigkeit Implizite Funktionen Die Tabellenmethode Die graphische Darstellung der Zahlen Koordinaten Bild und Gleichung einer Kurve Die lineare Funktion Der Zuwachs. Die Fundamentaleigenschaft der linearen Funktion Die Bildkurve der gleichförmigen Bewegung Empirische Formeln Die Parabel zweiten Grades Die Parabel dritten Grades Das Gesetz der umgekehrten Proportionalität Die Potenz Inverse Funktionen Mehrdeutigkeit einer Funktion Die Exponentialfunktion und der Logarithmus Die trigonometrischen Funktionen Die inversen der trigonometrischen oder die zyklometrisohen Funktionen Theorie der Grenzwerte. Stetige Funktionen Die geordnete Veränderliche Die unendlich kleinen Größen Grenzwert einer veränderlichen Größe Fundamentalsätze Die unendlich großen Größen Die monotonen Veränderlichen Das Cauchysche Konvergenzkriterium 72

3 10 Inhalt 32. Gleichzeitige Änderung zweier veränderlicher Größen, die durch eine funktionale Abhängigkeit verknüpft sind Beispiele Stetigkeit einer Funktion Eigenschaften der stetigen Funktionen Vergleich von unendlich kleinen und von unendlich großen Größen Beispiele Die Zahl e Die nicht bewiesenen Sätze Die reellen Zahlen Die Rechenoperationen mit reellen Zahlen Obere und untere Grenze einer Zahlenmenge. Kriterien für die Existenz eines Grenzwertes Die Eigenschaften der stetigen Funktionen Die Stetigkeit der elementaren Funktionen 106 II. Begriff der Ableitung und seine Anwendungen Die Ableitung und das Differential erster Ordnung Der Begriff der Ableitung Die geometrische Bedeutung der Ableitung Die Ableitungen der einfachsten Funktionen Die Ableitungen der mittelbaren und der inversen Funktionen Tafel der Ableitungen. Beispiele Der Begriff des Differentials Einige Differentialgleichungen Fehlerabschätzung Ableitungen und Differentiale höherer Ordnung Die Ableitungen höherer Ordnung Die physikalische Bedeutung der zweiten Ableitung Differentiale höherer Ordnung Differenzen von Funktionen Anwendung des Begriffs der Ableitung bei der Untersuchung von Funktionen Kriterien für das Zunehmen und Abnehmen einer Funktion Maxima und Minima von Funktionen Die Konstruktion von Bildkurven Größter und kleinster Wert einer Funktion Der Satz von FERMAT Der Satz von ROLLE Der Mittelwertsatz der Differentialrechnung (Formel von LAGBANGE) Erweiterter Mittelwertsatz (Formel von CATJOHY) Auswertung unbestimmter Ausdrücke Verschiedene Formen unbestimmter Ausdrücke Funktionen zweier Veränderlicher Grundbegriffe Die partiellen Ableitungen und das vollständige Differential einer Funktion zweier unabhängiger Veränderlicher Die Ableitungen der mittelbaren und der impliziten Funktionen 176

4 Inhalt Einige geometrische Anwendungen des Begriffs der Ableitung Das Bogendifferential Konvexität, Konkavität und Krümmung Die Asymptoten Konstruktion der Bildkurve Parameterdarstellung einer Kurve Die van-der-waalssche Gleichung Singulare Kurvenpunkte Kurvenelemente Die Kettenlinie Die Zykloide Epizykloiden und Hypozykloiden Die Kreisevolvente Kurven in Polarkoordinaten Spiralen Die Schnecken und die Kardioide Die Cassinischen Kurven und die Lemniskate 215 III. Begriff des Integrals und seine Anwendungen Die Grundaufgabe der Integralrechnung und das unbestimmte Integral Der Begriff des unbestimmten Integrals Das bestimmte Integral als Grenzwert einer Summe Der Zusammenhang zwischen bestimmtem und unbestimmtem Integral Die Eigenschaften des unbestimmten Integrals Tafel der einfachsten Integrale Partielle Integration Substitution der Veränderlichen. Beispiele Beispiele von Differentialgleichungen erster Ordnung Die Eigenschaften des bestimmten Integrals Die Fundamentaleigenschaften des bestimmten Integrals Der Mittelwertsatz der Integralrechnung Die Existenz einer Stammfunktion Unstetigkeit des Integranden Unendliche Grenzen Die Substitution der Veränderlichen in einem bestimmten Integral Partielle Integration Anwendungen des bestimmten Integrals Berechnung von Flächeninhalten Der Flächeninhalt eines Sektors Die Bogenlänge Die Berechnung des Volumens von Körpern auf Grund ihrer Querschnitte Das Volumen eines Rotationskörpers Die Oberfläche eines Rotationskörpers Die Bestimmung des Schwerpunktes. Die Guldinschen Regeln Angenäherte Berechnung bestimmter Integrale; die Rechteck- und die Trapezformel 285

5 12 Inhalt 109. Die Tangentenformel und die Formel von PONOELET Die Simpsonsche Formel Die Berechnung des bestimmten Integrals mit veränderlicher oberer Grenze Graphische Verfahren Flächeninhalte bei sclinell oszillierenden Kurven Ergänzende Ausführungen über das bestimmte Integral Vorbereitende Begriffe Die Zerlegung eines Intervalls in Teilintervalle und die Bildung verschiedener Summen Integrierbare Funktionen Eigenschaften der integrierbaren Funktionen 306 IV. Reihen und ihre Anwendung auf die angenäherte Berechnung von Funktionen Grundbegriffe aus der Theorie der unendlichen Reihen Der Begriff der unendlichen Reihe Fundamentaleigenschaften der unendlichen Reihen Reihen mit nichtnegativen Gliedern. Konvergenzkriterien Die Konvergenzkriterien von CAT/CHY und D'ALEMBERT Das Cauchysche Integralkriterium für die Konvergenz Die alternierenden Reihen Die absolut konvergenten Reihen Ein allgemeines Konvergenzkriterium Die Taylorsche Formel und ihre Anwendungen Die Taylorsche Formel Verschiedene Darstellungen der Taylorschen Formel Die Taylorsche und die Maclaurinsche Reihe Die Reihenentwicklung von e x Die Reihenentwicklung von sin x und cos x Die Newtonsche binomische Reihe Die Reihenentwicklung von log (1 + x) Die Reihenentwicklung von arctan x Näherungsformeln Maxima, Minima, Wendepunkte Auswertung unbestimmter Ausdrücke Ergänzende Ausführungen zur Theorie der Reihen Eigenschaften der absolut konvergenten Reihen Die Multiplikation absolut konvergenter Reihen Das Kummersche Kriterium Das Gaußsche Kriterium Die hypergeometrische Reihe Doppelreihen Reihen mit veränderlichen Gliedern. Gleichmäßig konvergente Reihen Gleichmäßig konvergente Funktionenfolgen 370

6 r Inhalt Eigenschaften der gleichmäßig konvergenten Folgen Eigenschaften der gleichmäßig konvergenten Reihen Kriterien für die gleichmäßige Konvergenz Potenzreihen. Der Konvergenzradius Der zweite Abelsche Satz Differentiation und Integration einer Potenzreihe 382 V. Funktionen mehrerer Veränderlicher Die Ableitungen und Differentiale einer Funktion Grundbegriffe Bemerkungen zum Grenzübergang Die partiellen Ableitungen und das vollständige Differential erster Ordnung Homogene Funktionen Die partiellen Ableitungen höherer Ordnung Differentiale höherer Ordnung Implizite Funktionen Beispiel Die Existenz der impliziten Funktion Kurven im Raum und auf Flächen Taylorsche Formel. Maxima und Minima einer Funktion mehrerer Veränderlicher Die Taylorsche Formel für Funktionen mehrerer unabhängiger Veränderlicher Notwendige Bedingungen für ein Maximum oder Minimum einer Funktion Untersuchung von Maxima und Minima einer Funktion zweier unabhängiger Veränderlicher Beispiele Ergänzende Bemerkungen zur Ermittlung der Maxima und Minima einer Funktion Der größte und der kleinste Wert einer Funktion Maxima und Minima mit Nebenbedingungen Ergänzende Bemerkungen Beispiele 424 VI. Komplexe Zahlen. Anfangsgründe der höheren Algebra und Integration von Funktionen Komplexe Zahlen Die komplexen Zahlen Addition und Subtraktion komplexer Zahlen Multiplikation komplexer Zahlen Division komplexer Zahlen, Das Potenzieren Das Wurzelziehen Die Exponentialfunktion Die trigonometrischen und die hyperbolischen Funktionen Die Kettenlinie 446

7 14 Inhalt 179. Das Logarithmieren Sinusschwingungen und Vektordiagramme Beispiele Kurven in komplexer Form Darstellung der harmonischen Schwingung in komplexer Form Fundamentaleigenschaften der ganzen rationalen Funktionen (Polynome) und die Berechnung ihrer Nullstellen Die algebraische Gleichung Die Zerlegung eines Polynoms in Faktoren Mehrfache Nullstellen Das Hornersche Schema Der größte gemeinsame Teiler Beeile Polynome Der Zusammenhang zwischen den Wurzeln einer Gleichung und ihren Koeffizienten Die Gleichung dritten Grades Die Lösung der kubischen Gleichung in trigonometrischer Form Das Iterationsverfahren Das Newtonsche Verfahren Das Verfahren der linearen Interpolation (Regula falsi) Die Integration von Funktionen Partialbruchzerlegung Integration einer rationalen Funktion Integration von Ausdrücken, die Radikale enthalten ' Integrale der Form j ü(x, Vax 2 + bx + c) dx Das Integral der Form f B(smx,eoBx)dx Integrale der Form j e ax \P(x) cos bx + Q(x) sin bx]dx 500 Literaturhinweise der Herausgeber 502 Namen- und Sachverzeichnis 509

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