Systemeigenschaften, Nomenklatur und Modellbildung

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1 Fakulä Informaik Insiu für Angewande Informaik, Professur für Technische Informaionssyseme Sysemeigenschafen, Nomenklaur und Dresden, den

2 Gliederung Vorbemerkungen Weiere Sysemeigenschafen Nomenklaur von Sysemen Zusammenfassung und Ausblick Sysemeigenschafen, Nomenklaur und Folie 2 von 58

3 Gliederung Vorbemerkungen Weiere Sysemeigenschafen Nomenklaur von Sysemen Zusammenfassung und Ausblick Sysemeigenschafen, Nomenklaur und Folie 3 von 58

4 Vorbemerkungen Bei Fragen oder Problemen Auor und Ansprechparner: Dipl.-Inf. Denis Sein Webseie: hp:// Sysemeigenschafen, Nomenklaur und Folie 4 von 58

5 Gliederung Vorbemerkungen Weiere Sysemeigenschafen Vorbemerkungen Lineariä Kausaliä Zeivarianz LTI-Sysem Nomenklaur von Sysemen Zusammenfassung und Ausblick Sysemeigenschafen, Nomenklaur und Folie 5 von 58

6 Weiere Sysemeigenschafen Vorbemerkungen Eineilung von Sysemen bislang berache: Dynamik (saisches oder dynamisches Sysem) Ar des Zeiparameers (zeidiskrees oder zeikoninuierliches Sysem) heue berache: Lineariä (lineares oder nichlineares Sysem) Kausaliä (kausales oder akausales Sysems) Zeivarianz (zeiinvarianes oder zeivarianes Sysem) Sysemeigenschafen, Nomenklaur und Folie 6 von 58

7 Weiere Sysemeigenschafen Vorbemerkungen Bedeuung der nachfolgend verwendeen Bezeichner a is eine beliebige reelle Zahl x(), x 1 (), x 2 (), x*() sind beliebige Eingangssignale y(), y 1 (), y 2 (), y*() sind beliebige Ausgangssignale f beschreib allgemein die Wirkung des beracheen Sysems und es gil: y() = f(x()) y 1 () = f(x 1 ()) y 2 () = f(x 2 ()) y*() = f(x*()) 1 is ein beliebiger Zeipunk Sysemeigenschafen, Nomenklaur und Folie 7 von 58

8 Weiere Sysemeigenschafen Lineariä Definiion lineares Sysem Ein Sysem heiß linear gdw. das Versärkungs- und das Überlagerungsprinzip (Superposiionsprinzip) gil. Definiion nichlineares Sysem Ein Sysem heiß nich nichlinear, wenn das Versärkungsund/oder das Überlagerungsprinzip (Superposiionsprinzip) nich gil. Sysemeigenschafen, Nomenklaur und Folie 8 von 58

9 Weiere Sysemeigenschafen Lineariä Definiion Versärkungsprinzip Sei x a x1. Es gil: y f x f a x 1 y a f x 1 1 mi anderen Woren: Eine konsane Versärkung des Eingangssignals bewirk die gleiche konsane Versärkung des Ausgangssignals. Sysemeigenschafen, Nomenklaur und Folie 9 von 58

10 Weiere Sysemeigenschafen Lineariä Beispiel 1 zum Versärkungsprinzip x 1 () y 1 () x() x*() lineares Sysem y*() y() Sysemeigenschafen, Nomenklaur und Folie 10 von 58

11 Weiere Sysemeigenschafen Lineariä Beispiel 1 zum Versärkungsprinzip II x 1 () a y 1 () a x f a x 1 x() = y a f x 1 y() = y 1 Sysemeigenschafen, Nomenklaur und Folie 11 von 58

12 Weiere Sysemeigenschafen Lineariä Beispiel 2 zum Versärkungsprinzip x 1 () y 1 () x() x*() nichlin. Sysem y*() y() Sysemeigenschafen, Nomenklaur und Folie 12 von 58

13 Weiere Sysemeigenschafen Lineariä Beispiel 2 zum Versärkungsprinzip II x 1 () a y 1 () a x f a x 1 x() = y a f x 1 y() y 1 Sysemeigenschafen, Nomenklaur und Folie 13 von 58

14 Weiere Sysemeigenschafen Lineariä Definiion Überlagerungsprinzip (Superposiionsprinzip) Sei x x x. Es gil: 1 2 y f x f x x 1 2 f x f x 1 2 mi anderen Woren: Eine addiive Überlagerung von Eingangssignalen bewirk eine addiive Überlagerung der Sysemanworen (Ausgangssignale) auf die jeweiligen Eingangssignale. y y 1 2 Sysemeigenschafen, Nomenklaur und Folie 14 von 58

15 Weiere Sysemeigenschafen Lineariä Beispiel 1 zum Überlagerungsprinzip (Superposiionsprinzip) x 1 () y 1 () x 2 () x*() lineares Sysem y 2 () y*() x() y() Sysemeigenschafen, Nomenklaur und Folie 15 von 58

16 Weiere Sysemeigenschafen Lineariä Beispiel 1 zum Überlagerungsprinzip (Superposiionsprinzip) II x 1 () y 1 () x 2 () + x f x x 1 2 y 2 () + x() = y f x f x 1 2 y y 1 2 y() = Sysemeigenschafen, Nomenklaur und Folie 16 von 58

17 Weiere Sysemeigenschafen Lineariä Beispiel 2 zum Überlagerungsprinzip (Superposiionsprinzip) x 1 () y 1 () x 2 () x*() nichlin. Sysem y 2 () y*() x() y() Sysemeigenschafen, Nomenklaur und Folie 17 von 58

18 Weiere Sysemeigenschafen Lineariä Beispiel 2 zum Überlagerungsprinzip (Superposiionsprinzip) II x 1 () y 1 () x 2 () + x f x x 1 2 y 2 () + x() = y f x f x 1 2 y y 1 2 y() Sysemeigenschafen, Nomenklaur und Folie 18 von 58

19 Weiere Sysemeigenschafen Kausaliä Definiion kausales Sysem Ein Sysem heiß kausal gdw. das Kausaliäsprinzip gil. Definiion akausales Sysem Ein Sysem heiß akausal, wenn das Kausaliäsprinzip nich gil. Anmerkungen zum Skrip Die Unerscheidung in sarke und schwache Kausaliä (S. 20) is hier nich zielführend. Obige Definiionen ensprechen inhallich denen von S. 36f., wobei nichkausal (Skrip) akausal (dieser Foliensaz) ensprich. Sysemeigenschafen, Nomenklaur und Folie 19 von 58

20 Weiere Sysemeigenschafen Kausaliä Definiion Kausaliäsprinzip Es gil: y f x 1 1 oder anders formulier: Der Wer des Ausgangssignals y zum Zeipunk 1 häng ausschließlich vom Eingangssignal x für Zeien 1 ab. mi anderen Woren: Die Wirkung des Sysems (Reakion; Ausgangssignal) sez nich vor der zugehörigen Ursache (Anregung; Eingangssignal) ein. Sysemeigenschafen, Nomenklaur und Folie 20 von 58

21 Weiere Sysemeigenschafen Kausaliä Beispiele zum Kausaliäsprinzip x() y() x() kausales Sysem 1 y() x() y 1 f x 1 y() x() kausales Sysem 2 y() Sysemeigenschafen, Nomenklaur und Folie 21 von 58

22 Weiere Sysemeigenschafen Kausaliä Beispiele zum Kausaliäsprinzip II x() x() akausales Sysem y() y() y 1 f x 1 Sysemeigenschafen, Nomenklaur und Folie 22 von 58

23 Weiere Sysemeigenschafen Zeivarianz Definiion zeiinvarianes Sysem Ein Sysem heiß zeiinvarian gdw. das Verschiebungsprinzip gil. Definiion zeivarianes Sysem Ein Sysem heiß zeivarian, wenn das Verschiebungsprinzip nich gil. Sysemeigenschafen, Nomenklaur und Folie 23 von 58

24 Weiere Sysemeigenschafen Zeivarianz Definiion Verschiebungsprinzip Sei x x. Es gil: 1 1 y f x f x 1 1 y 1 1 oder anders formulier: Das zeiliche Verschieben eines Eingangssignals bewirk ausschließlich ein ebensolches zeiliches Verschieben des Ausgangssignals. mi anderen Woren: Die allgemeine Wirkung des Sysems is zu jedem Zeipunk gleich. Sysemeigenschafen, Nomenklaur und Folie 24 von 58

25 Weiere Sysemeigenschafen Zeivarianz Beispiel 1 zum Verschiebungsprinzip x 1 () y 1 () x() 1 x*() zeiinvar. Sysem y*() y() Sysemeigenschafen, Nomenklaur und Folie 25 von 58

26 Weiere Sysemeigenschafen Zeivarianz Beispiel 1 zum Verschiebungsprinzip II x 1 () y 1 () x() 1 x f x 1 1 x()=x 1 (- 1 ) y()=y 1 (- 1 ) y 1 1 y y() Sysemeigenschafen, Nomenklaur und Folie 26 von 58

27 Weiere Sysemeigenschafen Zeivarianz Beispiel 2 zum Verschiebungsprinzip x 1 () y 1 () x() 1 x*() zeivar. Sysem y*() y() Sysemeigenschafen, Nomenklaur und Folie 27 von 58

28 Weiere Sysemeigenschafen Zeivarianz Beispiel 2 zum Verschiebungsprinzip II x 1 () y 1 () x() x 1 f x1 1 1 x()=x 1 (- 1 ) y() y 1 (- 1 ) y y 1 1 y() 1 1 Sysemeigenschafen, Nomenklaur und Folie 28 von 58

29 Weiere Sysemeigenschafen LTI-Sysem Definiion LTI-Sysem Ein Sysem is ein LTI-Sysem gdw. es folgende Eigenschafen besiz: linear, zeiinvarian und kausal. LTI is englische Abkürzung für Linear, Time-Invarian Sysemeigenschafen, Nomenklaur und Folie 29 von 58

30 Weiere Sysemeigenschafen LTI-Sysem Beschreibung beliebiger zeikoninuierlicher LTI-Syseme lineare Differenzialgleichung mi konsanen Koeffizienen: n n1 d d d an y an 1 y a1 y a0 y 1 n n d d d m1 m d d d b0 x b1 x bm 1 x b m1 m x m d d d a 0 i n; i, n i b 0 j m; j, m j x() LTI-Sysem y() Sysemeigenschafen, Nomenklaur und Folie 30 von 58

31 Weiere Sysemeigenschafen LTI-Sysem Beispiel 1: Verzögerungssysem 1. Ordnung (T 1 -Sysem) lineare Differenzialgleichung mi konsanen Koeffizienen: n n1 d d d an y an 1 y a1 y a0 y n n 1 d d d m1 m d d d b0 x b1 x bm 1 x b m 1 m x m d d d T 1 -Sysem: d Wiederholung Differenzialgleichung: T1 y y x d Vergleich mi linearer Differenzialgleichung mi konsanen Koeffizienen: a1 T1, a0 1, b0 1 resliche Koeffizienen verschwinden Sysemeigenschafen, Nomenklaur und Folie 31 von 58

32 Weiere Sysemeigenschafen LTI-Sysem Beispiel 2: idealer Operaionsversärker aus Übung 1 Eigenschafen des Sysems: (saisch) (zeikoninuierlich) LTI-Sysem, d.h. linear zeiinvarian kausal x() Operaionsversärker y() Sysemeigenschafen, Nomenklaur und Folie 32 von 58

33 Weiere Sysemeigenschafen LTI-Sysem Beobachungen Eigenschafen der fünf Grundsysemypen (P, I, D, T, T 1 ): Alle fünf sind LTI-Syseme (linear, zeiinvarian, kausal). Alle fünf können wahlweise zeikoninuierlich oder zeidiskre sein (bislang nur zeikoninuierliche Syseme berache). Das P-Sysem is saisch; die anderen vier Syseme sind dynamisch. Eine Zusammenschalung von LTI-Sysemen in Form der Reihen-, Parallel- oder Kreissrukur ergib wiederum ein LTI-Sysem. Sysemeigenschafen, Nomenklaur und Folie 33 von 58

34 Weiere Sysemeigenschafen LTI-Sysem Beobachungen II Wirkungspläne (Signalflussgraphen) von LTI-Sysemen lassen sich umformen (siehe Handou): Verauschen von benachbaren LTI-Sysemen und Verschieben von LTI-Sysemen vor bzw. hiner Addiions- oder Verzweigungssellen. Die umgeformen Syseme sind wiederum LTI-Syseme. Diese Umformungsregeln gelen in der Regel nich für nichlineare Syseme. Sysemeigenschafen, Nomenklaur und Folie 34 von 58

35 Weiere Sysemeigenschafen LTI-Sysem Beobachungen III Technische Prozesse (Syseme) sind ses kausal. Vernachlässig man Alerung, Drif und sonsige innere Veränderungen des Sysems, so sind echnische Prozesse (Syseme) zeiinvarian. Nichlineariäen im Verhalen echnischer Prozesse (Syseme) können ggf. vernachlässig werden oder zum Beispiel durch eine Taylorreihenenwicklung linearisier werden. Sysemeigenschafen, Nomenklaur und Folie 35 von 58

36 Gliederung Vorbemerkungen Weiere Sysemeigenschafen Nomenklaur von Sysemen Definiion Nomenklaur von Grundsysemypen Nomenklaur von Grundsrukuren Nomenklaur komplexer Srukuren Zusammenfassung und Ausblick Sysemeigenschafen, Nomenklaur und Folie 36 von 58

37 Nomenklaur von Sysemen Definiion Definiion Nomenklaur Beschreibung der Srukur von Wirkungsplänen (Signalflussgraphen) durch Buchsaben und Zahlen für die Grundsysemypen sowie Sonderzeichen Bindesrich Leerzeichen Klammerpaar ( ) für daraus gebildee Srukuren. Sysemeigenschafen, Nomenklaur und Folie 37 von 58

38 Nomenklaur von Sysemen Nomenklaur von Grundsysemypen Bezeichnung der fünf Grundsysemypen P: Proporionalsysem I: Inegralsysem D: Differenzialsysem T : Tozeisysem T 1 : Verzögerungssysem 1. Ordnung Sysemeigenschafen, Nomenklaur und Folie 38 von 58

39 Nomenklaur von Sysemen Nomenklaur von Grundsrukuren Reihensrukur Charakerisierung der Srukur: Bindesrich x() x 1 () = x() Sysem 1 x 2 () = Sysem 2 y 1 () x 3 () = y 2 () Sysem 3 y 3 () y() = y 3 () Nomenklaur für diesen Wirkungsplan (Signalflussgraph): Sysem 1 Sysem 2 Sysem 3 (Sysem i is Nomenklaur für das i-e Teilsysem) Sysemeigenschafen, Nomenklaur und Folie 39 von 58

40 Nomenklaur von Sysemen Nomenklaur von Grundsrukuren Parallelsrukur Charakerisierung der Srukur: Leerzeichen x 1 () = x() Sysem 1 y 1 () x() x 2 () = x() Sysem 2 y 2 () y()=y 1 ()+y 2 ()+y 3 () x 3 () = x() Sysem 3 y 3 () Nomenklaur für diesen Wirkungsplan (Signalflussgraph): Sysem 1 Sysem 2 Sysem 3 Sysemeigenschafen, Nomenklaur und Folie 40 von 58

41 Nomenklaur von Sysemen Nomenklaur von Grundsrukuren Kreissrukur (Rückkopplungsschalung) Charakerisierung der Srukur: keine definier (egal ob Mi- (+) oder Gegenkopplung (-)) x() x 1 () =x() ±y 2 () Sysem 1 y 1 () y()=y 1 () y 2 () Sysem 2 x 2 () =y 1 () Nomenklaur für diesen Wirkungsplan (Signalflussgraph): keine definier Sysemeigenschafen, Nomenklaur und Folie 41 von 58

42 Nomenklaur von Sysemen Nomenklaur komplexer Srukuren Mischsrukur Charakerisierung der Srukur: Klammerpaar (zur eindeuigen Beschreibung der Srukur) x 1 () = x() Sysem 1 y 1 () x() x 2 () = x() x 3 () = x() Sysem 2 Sysem 3 y 2 () y 3 () y 4 () = y 1 () +y 2 () +y 3 () = x 5 () Sysem 4 y 5 () y() = y 5 () Nomenklaur für diesen Wirkungsplan (Signalflussgraph): (Sysem 1 Sysem 2 Sysem 3 ) Sysem 4 Sysemeigenschafen, Nomenklaur und Folie 42 von 58

43 Nomenklaur von Sysemen Nomenklaur komplexer Srukuren Beispiel einer Mischsrukur P x() I T 1 y() D Nomenklaur für dieses Beispiel: (P I D) T 1 Sysemeigenschafen, Nomenklaur und Folie 43 von 58

44 Gliederung Vorbemerkungen Weiere Sysemeigenschafen Nomenklaur von Sysemen Überblick Theoreische Experimenelle Zusammenfassung und Ausblick Sysemeigenschafen, Nomenklaur und Folie 44 von 58

45 Überblick Definiion (mahemaisches) Modell is die Gesamhei der mahemaischen Gleichungen, die den Zusammenhang zwischen Ein- und Ausgangsgrößen eines echnischen Prozesses (Sysems) beschreib is gekennzeichne durch Absrakion der Realiä und Redukion, d.h. Weglassung der für den Modellierungszweck nich relevanen Komponenen und ggf. Vereinfachung der Zusammenhänge mi anderen Woren: Beschränkung aufs Nowendige Sysemeigenschafen, Nomenklaur und Folie 45 von 58

46 Überblick Definiion (mahemaisches) Modell II Original Modell Sysemeigenschafen, Nomenklaur und Folie 46 von 58

47 Überblick Definiion (mahemaisches) Modell III hier: Beschränkung auf zeikoninuierliche bzw. zeidiskree LTI-Syseme beschrieben durch: Differenzial- bzw. Differenzengleichungen, Wirkungspläne (Signalflussgraphen) oder Gewichsfunkionen bzw. Gewichsfolgen (mehr dazu u.a. in Co-Vorlesung 3 und Übung 4) Sysemeigenschafen, Nomenklaur und Folie 47 von 58

48 Überblick Zweck der Simulaion des Sysemverhalens (mehr dazu in einer (Co-)Vorlesung zu Simulaionsools) Vorhersage (Prädikion) zukünfigen Verhalens Grundlage für den Enwurf einer Seuerung oder Regelung (mehr dazu in Co-Vorlesung 4 und Übung 5) Sysemeigenschafen, Nomenklaur und Folie 48 von 58

49 Überblick Zweck der II ausgewähle Einsazszenarien für die Verwendung der Modelle: Erhöhung des Durchsazes an Maschinen und Verbesserung der Qualiä der geferigen Erzeugnisse (z.b. Lackierroboer im Fahrzeugbau), Gewährleisung der Sicherhei (z.b. Spurhaleassisen im PKW) oder Verbesserung der Tonqualiä (z.b. durch Filer in Audiosysemen) Sysemeigenschafen, Nomenklaur und Folie 49 von 58

50 Überblick Aren der (mahemaischen) heoreische experimenelle Sysemeigenschafen, Nomenklaur und Folie 50 von 58

51 Theoreische Beschreibung Grundlage sind Bilanz- und Erhalungssäze, z.b. von: Energie Masse Impuls d.h. Verwendung heoreischer Gesezmäßigkeien auf der Basis eines vollsändig bekannen Sysems ( whie box ) aber: domänenspezifisches Wissen nowendig Mehr dazu in Übung 3. Sysemeigenschafen, Nomenklaur und Folie 51 von 58

52 Experimenelle Beschreibung Grundlage sind (physikalische) Experimene mi Tessignalen, z.b.: Rechecksignal als Näherung des Impulses Sprung harmonische Schwingungen sochasische Signale d.h. experimenelle Unersuchung eines nich oder ggf. nich vollsändig bekannen Sysems ( black box ) aber: Experimene sind nich immer möglich (z.b. im Kernkrafwerk) Sysemeigenschafen, Nomenklaur und Folie 52 von 58

53 Experimenelle Vorgehen 1. Messung mi Tessignalen (einschließlich Daenvorverarbeiung (d.h. Beseiigung von Ausreißern ec.)) 2. Approximaion des Ein-Ausgangsverhalens durch bekanne Modelle (z.b. Sprunganworen von Grundsysemypen und deren Zusammenschalung) Mehr dazu in Übung 3 sowie im Skrip (u.a. Modellgüe, S. 32f.). Sysemeigenschafen, Nomenklaur und Folie 53 von 58

54 Elekronensrahlleisung, kw Experimenelle Vorgehen II Messung bei einem Experimen 60,00 5,0 50,00 4,5 4,0 40,00 30,00 20,00 10,00 3,5 3,0 2,5 2,0 1,5 1,0 0,5 Schichdicke, μm 0, Zei 0,0 Elekronensrahlleisung Schichdicke Sysemeigenschafen, Nomenklaur und Folie 54 von 58

55 Gliederung Vorbemerkungen Weiere Sysemeigenschafen Nomenklaur von Sysemen Zusammenfassung und Ausblick Sysemeigenschafen, Nomenklaur und Folie 55 von 58

56 Zusammenfassung und Ausblick Zusammenfassung LTI-Syseme also lineare, zeiinvariane und kausale Syseme sind ein weiverbreiees Werkzeug zur Beschreibung des Verhalens echnischer Prozesse (Syseme). Alle fünf Grundsysemypen sind LTI-Syseme. Der innere Aufbau eines komplexen Sysems dargesell bspw. in Wirkungsplänen läss sich durch die Nomenklaur einfach beschreiben. Die Bildung eines Modells zu einem echnischen Prozess erfolg wahlweise heoreisch oder experimenell. Sysemeigenschafen, Nomenklaur und Folie 56 von 58

57 Zusammenfassung und Ausblick Ausblick Übung 3 verief die Analyse komplexer Syseme. Außerdem werden die beiden vorgesellen Aren zur unersuch. In der nächsen Co-Vorlesung sowie in Übung 4 geh es uner anderem um: Falung: Wie ermile ich zu einem beliebigen Eingangssignal das zugehörige Ausgangssignal eines Sysems? Gewichsfunkion: Was beschreib sie und was kann ich alles daraus ableien? Sabiliä: Reagier ein Sysem angemessen oder gerä es außer Konrolle? Sysemeigenschafen, Nomenklaur und Folie 57 von 58

58 Sysemeigenschafen, Nomenklaur und Folie 58 von 58