Übungen zu Physik I für Physiker Serie 9 Musterlösungen

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1 Übungen zu Physik I für Physiker Serie 9 Musterlösungen Allgemeine Fragen 1. In Abb. 1 sind 4 Situationen gezeigt, in denen U-Rohre mit Flüssigkeiten unterschiedlicher Dichte gefüllt sind. In einer Situation können sich die Flüssigkeiten nicht im statischen Gleichgewicht befinden. In welcher? Nehmen Sie ein statisches GG für die anderen 3 Fälle an. Bestimmen Sie die relative Dichte der dunkleren Flüssigkeit im ergleich zur helleren. Im Fall können die beiden Flüssigkeiten nicht im statischen GG sein, denn die helle Flüssigkeit für sich wäre schon im GG. In den anderen 3 Fällen können folgende Aussagen bezüglich der Dichte getroffen werden: 1. ρ dunkel < ρ hell 3. ρ dunkel = ρ hell 4. ρ dunkel > ρ hell. Die 4 Festkörper in Abb. schwimmen in einer Flüssigkeit. Ordnen Sie die 4 Körper aufsteigend nach ihrer Dichte. Je grösser das erhältnis von Eintauchtiefe zu Gesamthöhe der Quader umso grösser die Dichte der Materialien. Es ergibt sich deshalb folgende Reihenfolge: ρ < ρ 1 < ρ 4 < ρ 3. Abb. 1: Flüssigkeiten unterschiedlicher Dichte Abb. : Welcher Quader hat die grösste Dichte? 3. Wenn sich zwei schnell fahrende Züge begegnen, könnten schon mal die Fenster bersten. Würden die Fenster aus den Zügen oder in die Züge gedrückt werden? Was passiert, wenn man dicht neben einem schnell vorbeifahrenden Zug steht? Wird man zum Zug hin- oder weggezogen? Wenn zwei Züge sich kreuzen, wird in dem Luftspalt zwischen den beiden Zügen, analog zum Flügel bei einem Flugzeug, nach Bernoulli und enturi ein Unterdruck herrschen. Die berstenden Fenster würden also vom Zuginneren gesehen nach aussen gedrückt werden, da ja im Zug normaler Druck herrscht. Wenn man nun nahe bei einem vorbeifahrenden Zug steht, wird natürlich wiederum gerade an der Grenzfläche Zug-Luft ein Unterdruck herrschen. Der Druck nimmt jedoch mit der Distanz zum 1

2 Zug wieder bis zum Normaldruck zu. Hiermit entsteht ein Druckgefälle in Richtung Zug und man wird daher zum Zug hingezogen! Aufgaben 1. Eisberg [ Punkte] In der folgenden Aufgabe sei die Dichte eines Eisberges zu 917 kg/m 3 und die Dichte von Meerwasser zu 14 kg/m 3 angenommen. (a) Wieviel Prozent des olumens eines in Meerwasser schwimmenden Eisberges ragt über der Wasseroberfläche empor? (b) Wie ändert sich der Meeresspiegel, wenn der schwimmende Eisberg schmilzt? Begründung! (c) Welches Mindestvolumen muss ein Eisbergstück haben, um einen Schiffbrüchigen mit m=8 kg über Wasser zu halten? (d) Spielt es eine Rolle, wo der Schiffbrüchige auf der Eisscholle sitzt oder steht? (a) Nach dem Prinzip von Archimedes ist die Masse des Eisbergs gleich der Masse des verdrängten Wassers m Eis = m ρ Eis Eis = ρ Meer. (1) Damit folgt für das erhältnis von olumendifferenz zum olumen des Eisbergs Eis = Eis Eis = 1 Eis = 1 ρ Eis ρ Meer 1%. (b) Die Masse des vom Eisberg verdrängten Wassers entspricht genau der Masse des Eisbergs. Da es sich bei Eisbergen in aller Regel um Bruchstücke von Gletschern handelt, bestehen sie aus Süsswasser. Schwimmt der Eisberg in einem Süsswassersee hat das geschmolzene Wasser genau dasselbe olumen wie das ehemals verdrängte Wasser und der Wasserspiegel bleibt konstant. Nun schwimmen Eisberge aber sehr häufig in Meerwasser. Das olumen des geschmolzenen Eisbergs ergibt sich zu mit (1) süss = ρ Eis ρ süss Eis = ρ Meer ρ süss Meeresspiegel steigt! 1. (c) Damit die Person vom Eis getragen wird, muss die Auftriebskraft nicht nur die Gewichtskraft der Eisscholle selbst, sondern auch noch die Gewichtskraft der Person kompensieren. mg + m Eis g = m g

3 Im Grenzfall ist das verdrängte olumen gerade gleich dem olumen der Eisscholle = Eis m + ρ Eis Eis = ρ Meer Eis m Eis ρ Meer ρ Eis.75 m 3. Bei einer Eisdicke von 15 cm entspricht dies einer minimalen Fläche der Eisscholle von etwa 5 m. (d) Der Schwerpunkt der Person sollte möglichst senkrecht über dem Schwerpunkt der Eisscholle sein. Ansonsten tritt ein Drehmoment auf und die Eisscholle beginnt sich so weit zu drehen, bis sich die Drehmomente wieder ausgleichen. Sitzt die Person zu nahe am Rand kann das zum Kippen der Eisscholle führen.. Marsatmosphäre [3 Punkte] Mit Mariner 7 und 9 wurde der Atmosphärendruck auf der Marsoberfläche zu 1 hpa und in 5 km Höhe zu 1 hpa bestimmt. Welche Aussage kann man aus diesen Angaben über die mögliche Marsatmosphäre machen? Hinweise: Die Marsatmosphäre sei isotherm geschichtet mit T = 6 K (barometrische Höhenformel) mit g Mars =.4 g Erde. Welches Gas kommt damit mit grösster Wahrscheinlichkeit für den Mars in Frage? In die barometrische Höhenformel p(h) = p e ρ g Mars h p () setzt man die gemessenen Drücke p auf der Marsoberfläche und p(h) in der Höhe h = 5 km ein und löst nach der Dichte ρ auf: ( ) p p ρ = ln p(h) g Mars h 3.4 g/m 3. (3) Mit Hilfe des idealen Gasgesetzes lässt sich das Molvolumen bei Marsbedingungen berechnen: und damit erhält man die Molmasse Molmassen einiger einfacher Gase: mol = RT p.16 m 3 /mol (4) m mol = ρ mol 51 g/mol. (5) Gas m mol (g/mol) H O 18 N 8 O 3 CO 44 NO 46 Ar 4 3

4 Demnach ist CO ein möglicher Kandidat, wenn auch z.b. NO oder Ar nicht ausgeschlossen werden können. Tatsächlich hat die Marsatmosphäre folgende Zusammensetzung: 95.3% CO,.7% N, 1.6% Ar und weitere Spurengase mit einem Anteil unter 1%, darunter auch O und H O. Dass unsere Abschätzung nicht besser auf CO schliessen liess, liegt hauptsächlich daran, dass die Marsathmosphäre eben nicht isotherm geschichtet ist. 3. Trichter [ Punkte] In einem Trichter wird die Höhe h 1 = 11 cm der Flüssigkeit über der Ausflussöffnung durch vorsichtiges Nachgiessen konstant gehalten. Die Ausflussöffnung hat den Radius r = 3 mm, der sehr viel kleiner als der Radius in der Höhe des Flüssigkeitsspiegels sein soll. (a) Welche Zeit t dauert es, bis man mit diesem Trichter ein olumen = 1 l in eine Flasche eingefüllt hat? (b) Welchen Radius r hat der Flüssigkeitsstrahl in einer Tiefe h = 4 cm unter der Ausflussöffnung des Trichters? Abb. 3: Fluss durch einen Trichter (a) Ausgangspunkt ist die Bernoulli-Gleichung. Indizes bezeichnen die jeweilige Grösse bei dem entsprechenden Niveau: p 1 + ρgh 1 + ρ v 1 = p + ρ v. (6) Der äussere Luftdruck wird als konstant angenommen p 1 = p ; wegen r r 1 gilt v 1. Damit erhält man durch einfaches Umformen aus (6): v = gh 1 (Toricelli) (7) Aus der Kontinuitätsgleichung erhält man den olumenfluss pro Zeit: = A v = πr t v mit (7) t = πr gh1 4.1 s. (8) (b) Wir gehen wieder von Bernoulli aus, d.h. dass die Summe aus statischem, dynamischem und Schweredruck konstant ist. Angewendet auf die Niveaus (1) und () unter Berücksichtigung, dass der statische Druck bei (1) und () derselbe ist, erhält man ρ v + ρgh = ρgh 1 v = g(h 1 h ) (9) 4

5 Es gilt ausserdem die Kontinuitätsgleichung bei den Niveaus () und (): 4. Wasserstrahlpumpe [ Punkte] A v = πrv = πrv = A v 4 h1 mit (9) r = r (1) h 1 h.5 mm. Bis zu welchem Druck p A kann der an eine Wasserstrahlpumpe angeschlossene Rezipient evakuiert werden, wenn der bei 1 in das Strahlrohr vom Durchmesser 13 mm mit Leitungsdruck p 1 = Pa eintretende Wasserstrahl an der Düse auf den Durchmesser 5 mm verengt wird, bevor er zusammen mit den aus dem Rezipienten angesaugten Luftmolekülen durch das dahinterliegende Auffangrohr wieder austritt? Der olumenstrom an Wasser (ρ = 1 3 kg/m 3 ) beträgt.5 l/s. Abb. 4: Wasserstrahlpumpe Zunächst muss man mit Hilfe der Kontinuitätsgleichung die Fliessgeschwindigkeiten an den Stellen 1 und berechnen: Φ =.5 l/s = v 1 A 1 = v A v 1 = Φ = 4Φ A 1 πd m/s und v = Φ A = v 1 d 1 d 5.5 m/s. Nun muss man die Bernoulli-Gleichung anwenden (ohne den Potentialterm), dabei ist der statische Druck bei der gesuchte Druck p A : p 1 + ρ v 1 = p A + ρ v p A = p 1 + ρ ( v 1 v ).9 kpa.3p. 5. Trägheitsmoment [3 Punkte] Berechnen sie die Trägheitsmomente bei Drehung um die Hauptachsen für folgende Körper. (a) Ein Quader mit Seitenlängen a,b,c mit Masse M. (b) Ein Zylinder mit Höhe h, Radius R und Masse M. 5

6 (a) Analog folgt: I c = (x + y )dm = (x + y )ρd = M abc M a b abc a b M ab a a c c (x + y )dzdydx = M abc a a b b (x + y )dxdydz = (x + y )cdydx = (x b + b3 1 )dx = M ab (ba3 1 + ab3 1 ) = M 1 (a + b ) I a = M 1 (b + c ) I b = M 1 (a + c ) (b) Für die Achse entlang der Zylinder-Achse gilt: I c = (x + y )ρd = M h πr h h π R r rdrdφdz = Für die beiden Achsen senkrecht zur Zylinder-Achse gilt: I a = M πr (y + z )d = M h h πr h h π R M R4 πr hπ h 4 = 1 MR. (r sin φ + z )rdrdφdz Mit sin φdφ = 1 φ 1 4 sinφ folgt: I a = M πr h (R4 4 (1 π)h + 1 R (π) 1 h ) = M 4 (R + h 3 ) 6