9 Üben X Prismen und Zylinder 1401

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1 9 Üben X Prismen und Zylinder 40. Entscheide begründend: ) Gibt es Prismen mit Ecken? b) Gibt es Prismen mit Knten? c) Knn es ein Prism mit 7 Flächen geben?. Bestimme je einen Term, der die Anzhl der Knten bzw. Flächen eines Prisms in Abhängigkeit von der Eckenzhl E der Grundfläche ngibt! (Vgl. Cornelsen: Fokus Mthemtik 9 Seite 59 / Nr. ) 9 Lösung X Prismen und Zylinder 40. Die Eckenzhl eines Prisms ist gerde (Grund- und Deckfläche hben gleich viele Ecken!), dher gibt es kein Prism mit Ecken. Die Anzhl der Knten ist dreiml so groß wie die Eckenzhl (gleich viele Knten n der Grund- wie Deckfläche und ebenso viele Seitenknten), lso gibt es uch kein Prism mit Knten. Prismen mit 7 Flächen gibt es, denn neben Grund- und Deckfläche knn es 5 Seitenflächen hben, wenn die Grundfläche ein 5-Eck ist.. Anzhl der Knten E Anzhl der Flächen + E

2 9 Üben XX Prismen und Zylinder 40 Berechne Volumen und Oberfläche des bgebildeten Prisms! Die Seitenknten sind dbei lle gleich lng. (Hinweis: uch die inneren Flächen gehören zur Oberfläche!) Ein Kästchen ist dbei eine Einheit. (Vgl. Cornelsen: Fokus Mthemtik 9 Seite 59 / Nr. 4) 9 Lösung XX Prismen und Zylinder 40 Länge ußen: 4, Länge innen: s, Höhe h 4 A Sech sec k 6 großes Sechseck: A 4,57 kleines Sechseck: A 0,9 V A h A h (A A ) h (4,57 0,9) 4 4,7 O 6 A Rechteck ußen + 6 A Rechteck innen + ( A A ) (4,57 0,9) 06,6

3 9 Üben XX Prismen und Zylinder 40 Ein Betonpfeiler ht die bgebildete Querschnittsfläche. Berechne die Msse des Pfeilers, wenn er insgesmt 7,5 m hoch ist, der Hohlrum ber nur 5,5 m hoch ist. kg Kästchen seien dbei cm. Die Dichte von Beton ist,8 dm (Vgl. Cornelsen: Fokus Mthemtik 9 Seite 58 / Nr. 5) 9 Lösung XX Prismen und Zylinder 40 Aufteilung in zwei dreieckige Prismen und einen Quder; dvon muss ein zweiter Quder bgezogen werden. Pr ism g h P V h 6m 6m 7,5m 5m V l b h 7m 6m 7,5m 5m Gesmtquder V 5m,5m 5,5m 68,75m hohlerquder V gesmt 56,5 m ρ m m ρ V,8 V t m 56,5 m 445,5 t

4 9 Üben XX Prismen und Zylinder 404 Berechne die fehlenden Größen für einen Zylinder: ) b) c) Rdius r 4 cm 5 cm Höhe h 6 cm Mntelfläche M 40π cm Oberfläche S 80π cm π cm Volumen V Stelle dzu Volumen und Oberfläche ebenflls ls Vielfche von π dr! 9 Lösung XX Prismen und Zylinder 404 ) b) c) Rdius r 4 cm 5 cm 6cm Höhe h 6 cm cm 0cm Mntelfläche M 48p cm 0p cm 40π cm Oberfläche S 80p cm 80π cm π cm Volumen V 96p cm 45p cm 70p cm

5 9 Üben XX Prismen und Zylinder 405. Litfsssäule Welche Fläche knn uf einer Plktsäule beklebt werden, wenn sie,50 m hoch ist und einen Umfng von 4 m besitzt?. Regentonne Eine oben offene Regentonne us dünnem Blech fsst 800 Liter, ihre Höhe ist doppelt so groß wie ihr Durchmesser. Berechne den Rdius der Tonne. [Aus: Ehrenwirth: Anschuliche Geometrie: S.60 Nr. 5] 9 Lösung XX Prismen und Zylinder 405. Lösung Litfsssäule Es knn eine Fläche von 0m² beklebt werden.. Lösung Regentonne: Die Regentonne ht einen Rdius von 40 cm. Rechnung: Zylinder : V r πh 800dm h d 4r einsetzen V r π( 4r) r 4π V r 800dm,999dm 40 cm 4π 4π

6 9 Üben XX Prismen und Zylinder 406 Welcher Körper entsteht, wenn du ein Rechteck um eine seiner Seiten rotieren lässt? Berechne die Oberfläche für den bgebildeten Fll und vergleiche mit dem Fll, dss ds Rechteck um die 5 cm lnge Seite rotiert. Um wie viel Prozent ist die Oberfläche im bgebildeten Fll größer bzw. kleiner ls die Oberfläche im nderen Fll? (Vgl. bsv Mthemtik 9 Seite 87 / Nr. ) 9 Lösung XX Prismen und Zylinder 406 Bei der Rottion entsteht ein Zylinder. Rottion wie in Zeichnung: r 5 cm, h cm O (5 cm) π + 5 cm π cm 75π cm ndere Rottion: r cm, h 5 cm O ( cm) π + cm π 5 cm 8π cm Im bgebildeten Fll ist die Oberfläche um 47π cm ; ds sind 68 %

7 9 Üben XX Prismen und Zylinder 407 Beschreibe den Körper, der durch Rottion der gezeichneten Figur um die eingezeichnete Achse entsteht. Berechne sein Volumen und seine Oberfläche (innen und ußen). (Vgl. bsv Mthemtik 9 Seite 87 / Nr. ) 9 Lösung XX Prismen und Zylinder 407 Es hndelt sich um einen Zylinder mit einem zylinderförmigen Hohlrum. V V z (r ; h 5) V Z (r 0,5; h 4) π 5 0,5 π 4 5π π 4π,6 (cm ) O F Kr (r ) + F Kr (r ) + M z (r ; h 5) M Z (r 0,5; h 4) π + 0,5 π + π 5 + 0,5 π 4 π + 0,5π + 0π + 4π 6, 5π 5,8 (cm )

8 9 Üben XXX Prismen und Zylinder 408 Ein Rechteck mit den Seiten x und y rotiert einml um x und einml um y und erzeugt so jedes ml einen Zylinder. Berechne die Verhältnisse der Volumin, der Mntelflächen und der Oberflächen dieser Zylinder in Abhängigkeit von x und y. (Hinweis: Mch dir eine Skizze. Solltest du mit der llgemeinen Rechnung Schwierigkeiten hben, so verwende für x 0 cm und y 0 cm) [Aus: Ehrenwirth: Anschuliche Geometrie: S.59 Nr. ] 9 Lösung XXX Prismen und Zylinder 408 Rottion um Seite x: r y, h x Volumen V y πx Mntelfläche M yπx Oberfläche S y π + yπx Rottion um Seite y: r x, h y Volumen V x πy Mntelfläche M xπy Oberfläche S x π + xπy V y M V x M S S y x + xy + xy y x ( y + x) y ( x + y) x (Für x 0 und y 0 ergibt sich: V M V M S ) S

9 9 Üben XXX Prismen und Zylinder 409 Ein Bltt Ppier im DIN-Formt (Seitenlängen und ) lässt sich uf zwei Arten zu einem Zylindermntel biegen. Es entstehen dbei ein kurzer dicker, bzw. ein lnger dünner Zylinder. r r ) Berechne Umfng und Rdius der beiden Zylinder in Abhängigkeit von. b) Berechne ds Volumen der beiden Zylinder in Abhängigkeit von. Welcher Zylinder ht ds kleinere Volumen? Um wie viel Prozent ist es kleiner, ls ds des nderen Zylinders? c) Berechne die Oberflächen in Abhängigkeit von. Um wie viel Prozent ist die Oberfläche des einen größer ls die des nderen?. 9 Lösung XXX Prismen und Zylinder 409 ) Zylinder: u r Zylinder: π u r π b) V 4π π 4π V V < V 4π π π V V π 0, 4π V ist um 9, % kleiner ls V c) S π + π + 4π π π S π + π + S ist größer ls S 4π π π S S + π,0 S ist um 0, % größer ls S + π

10 9 Üben XX Prismen und Zylinder 40 Durch einen Würfel wird ein zylinderförmiges Loch prllel zu einer Würfelknte gebohrt. Wie viel Prozent der Kntenlänge beträgt der Lochrdius r, wenn der Würfel dnn nur noch hlb so schwer ist? [nch: Ehrenwirth: Anschuliche Geometrie: S.60 Nr. ] 9 Lösung XX Prismen und Zylinder 40 D die Msse m direkt proportionl zum Volumen ist, ist ds Zylindervolumen hlb so groß wie ds Würfelvolumen. V V Z W r π r π r 0,99 π Der Rdius muss etw 40 % der Kntenlänge des Würfels betrgen.

11 9 Üben XX Prismen und Zylinder 4 Die Skizze zeigt einen rottionssymmetrischen Körper, der zur besseren Übersicht ufgeschnitten drgestellt ist. Berechne us den Angben der Zeichnung Volumen und Oberfläche des Körpers. (Beim Ergebnis knn die Zhl π stehen gelssen werden. Die Rechnung erfolgt ohne Einheiten.) [Aus: Ehrenwirth: Anschuliche Geometrie: S.6 Nr. 6] 9 Lösung XX Prismen und Zylinder 4 V V Z (r 6;h 4) + V Z (r 0;h 8) + V Z (r 6;h 8) 44π + 800π + 88π π (Volumeneinheiten) S M Z (r 6;h 4) + M Z (r 0;h 8) + M Z (r 6;h 8) + F Kr (r 0) 48π + 60π + 96π + 00π 504π (Anmerkung: Die beiden Kreisflächen mit r 6 und die beiden Kreisringe im Mittelteil ergeben zusmmen zwei Kreisflächen mit r 0.)

12 9 Üben XXX Prismen und Zylinder 4 Die Skizze zeigt einen rottionssymmetrischen Körper, der zur besseren Übersicht ufgeschnitten drgestellt ist. Berechne us den Angben der Zeichnung Volumen und Oberfläche des Körpers. (Beim Ergebnis knn die Zhl π stehen gelssen werden. Die Rechnung erfolgt ohne Einheiten) [Aus: Ehrenwirth: Anschuliche Geometrie: S.6 Nr. 6d] 9 Lösung XXX Prismen und Zylinder 4 V V Z (r 6;h ) + V Z (r 4;h ) - V Z (r ;h 4) 7π + 5π - 6π 08π (Volumeneinheiten) S M Z (r 6;h ) + M Z (r 4;h ) + M Z (r ;h 4) + + (F Kr (r 6) - F Kr (r ) + F Kr (r 6) - F Kr (r 4) ) 4π + 76π + 44π + (6π - 9π +6π - 6π) 44π + 94π 48π (LE) (Die Oberfläche setzt sich zusmmen us den beiden äußeren Zylindermänteln und dem Mntel des usgefrästen Zylinders sowie zwei Kreisringen unten bzw. n der Abstufung ußen.)

13 9 Üben XX Prismen und Zylinder 4 ) Ein zylinderförmiges Sftgls ht einen Durchmesser von 4,6 cm. In welcher Höhe muss sich die Mrkierung für 0, l befinden? b) Gießt mn den Sft in ein nderes zylinderförmiges Gls, so wird es bis zu einer Höhe von 6 cm gefüllt. Welchen Umfng ht dieses Gls? c) Für eine Feier stehen uch Kristllgläser in Form sechsseitiger Prismen zur Verfügung, deren Grundfläche regelmäßige Sechsecke sind. Wie lng muss ihre Grundknte sein, dmit der Sft dort ebenflls bis zu einer Höhe von 6 cm steht? (Vgl. bsv Mthemtik 9 Seite 87 / Nr. ) 9 Lösung XXX Prismen und Zylinder 4 ) V V r πh h r π 00cm (,cm) π,0cm V 00cm b) V r πh r,6cm u 0,5cm hπ 6cm π c) V 00cm G,cm h 6cm G A 6 5,56cm A 4 A 4 5,56cm 4,6cm

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