Inhaltsverzeichnis. Teil I

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1 Inhaltsverzeichnis Teil I Ein-Perioden-Wertpapiermärkte Ein-Perioden-Modelle Portfolios Optionen und Forward-Kontrakte Optionen Forward-Kontrakte Die Bewertung von Auszahlungsprofilen Die Transformation deterministischer Zahlungsströme Die Transformation zustandsabhängiger Zahlungsströme Die Bewertung von Auszahlungsprofilen mit Hilfe von Replikation Replikation und das Law of One Price" Arbitrage Der Fundamentalsatz der Preistheorie Der Nachweis der Arbitragefreiheit Replizierbarkeit und Vollständigkeit Interpretation von ip und d Preise als diskontierte Erwartungswerte Das Ein-Perioden-Zwei-Zustands-Modell Partial-Hedging Wertgrenzen für Call- und Put-Optionen Das diskontierte Marktmodell Zusammenfassung Weitere Aufgaben 69 Portfoliotheorie Rendite und Risiko Die erwartete Rendite Risiko, Varianz und Volatilität 74 Bibliografische Informationen digitalisiert durch

2 XII Inhaltsverzeichnis Rationale Investoren Das /i-ff-diagramm Portfolioanalyse Rendite und erwartete Rendite eines Portfolios Varianz und Standardabweichung eines Portfolios Relative Risikobeiträge Interpretation der Kovarianz Die Korrelation Diversifikation Die klassische Darstellung des CAPM Systematisches und spezifisches Risiko Minimum-Varianz-Portfolio-Analyse Die Zustandsdichte CAPM und das Minimum-Varianz-Optimierungsproblemll Anwendungsbeispiel für den Fall C G Im D T Der Fall CeR K beliebig Weitere Aufgaben Mehr-Perioden-Modelle Modellierung der Informationszunahme Informationsbäume, Algebren und Partitionen Stochastische Prozesse und Messbarkeit Die natürliche Filtration Das Marktmodell Die Bewertung von Auszahlungsprofilen Lokalisierung Ein-Perioden-Teilmodelle Konstruktion einer replizierenden Handelsstrategie Das Law of One Price Arbitragefreiheit und der Fundamentalsatz Die Diskontierung von Zahlungsströmen Der Diskontierungsoperator Definition und Eigenschaften Direktes und rekursives Verfahren zur Bestimmung der Preise von Auszahlungsprofilen Darstellung der Preise als Erwartungswerte Festverzinsliche Handelsstrategien Der Diskontierungsoperator wird zur bedingten Erwartung Preisprozesse werden zu Martingalen Wertgrenzen für Call- und Put-Optionen Die Zinsstrukturkurve Das diskontierte Marktmodell Zusammenfassung 220

3 Inhaltsverzeichnis XIII 3.12 Weitere Aufgaben 226 Optionen, Futures und andere Derivate Das Mehr-Perioden-Binomialbaum-Modell Rekombinierende Binomialbäume Das direkte und das rekursive Bewertungsverfahren Kalibrierung der Parameter des Binomialbaums Bestimmung des Zinssatzes r n pro Periode Die Modellierung der Aktienkurse Binomialbäume und Binomialverteilung Die Bestimmung der Parameter u n und p n Näherungslösungen für u n und p n Die Bewertung europäischer Standard-Derivate Das direkte Bewertungsverfahren Das rekursive Bewertungsverfahren Die Berücksichtigung von Dividendenzahlungen Die Modellierung von Aktienkursen mit Dividendenzahlungen Die Bewertung im Ein-Perioden-Zwei-Zustands-Modell Dividenden im Mehr-Perioden-Modell Algorithmen zur Bewertung europäischer Auszahlungen mit Dividenden Amerikanische Optionen Die Bewertung amerikanischer Optionen ohne Dividendenzahlungen Ein Algorithmus zur Berechnung amerikanischer Auszahlungen ohne Dividendenzahlung Amerikanische Optionen mit Dividendenzahlungen Ein Algorithmus zur Berechnung von amerikanischen Optionen mit Dividendenzahlung Die Black-Scholes-Formeln Bewertungsformeln im Binomialbaum-Modell Die Konvergenz der Bewertungsformeln des Binomialbaum-Modells gegen die Black-Scholes-Formeln Die analytische Bewertung von Standard-Optionen im Black-Scholes-Modell Implementierung der Black-Scholes-Formeln Present Value und die Bewertung von Zahlungsströmen Swaps Forward-Preise Futures Bonds Die Bewertung von Bonds Interne Renditen Duration 308

4 XIV Inhaltsverzeichnis Konvexität Forward-Start-Optionen Forward-Start-Performance-Optionen Ein strukturiertes Produkt Weitere Aufgaben Value at Risk und kohärente Risikomaße Verteilungsfunktionen Konstruktion einer Zufallsvariablen mit vorgegebener Verteilungsfunktion Quantile Definition des Value at Risk Darstellung des Value at Risk mit Hilfe der Renditeverteilung eines Portfolios Normalverteilte Portfoliorenditen Zeitliche Skalierung Die Portfoliorendite als Linearkombination normalverteilter Renditen Die Delta-Normal-Methode Das Differential eines Finanzinstrumentes Der Value at Risk nach der Delta-Normal-Methode Berechnung der modifizierten Sensitivitäten Component VaR Directional VaR Diskussion: Value at Risk als Risikomaß Kohärente Risikomaße Expected Shortfall Der Nachweis der Kohärenz des Expected Shortfall Weitere Eigenschaften und Schätzung des Expected Shortfall Weitere Aufgaben 372 Teil II 6 Diskrete Stochastische Analysis Bedingte Erwartung und Martingale Die bedingte Erwartung als Projektion Unabhängigkeit Martingale Die Doob-Zerlegung Kovariations-Prozesse Orthogonale Martingale Das diskrete stochastische Integral Stochastische Integrale und Kovariations-Prozesse 398

5 Inhaltsverzeichnis XV 6.9 Die Itô-Formel Stochastische Exponentiale Der Martingal-Darstellungssatz Der Satz von Girsanov Die bedingte Wahrscheinlichkeitsdichte Der Satz von Girsanov Martingalmaße und Maßwechsel Die Existenz von Martingalmaßen Stoppzeiten Weitere Aufgaben 417 Stochastische Finanzmathematik in diskreter Zeit Das Black-Scholes-Modell Schritt 1: Modellierung der Dynamik der Wertpapiere, das Black-Scholes-Modell Schritt 2: Konstruktion eines Martingalmaßes Schritt 3: Definition des Preises von CT als Erwartungswert Schritt 4: Konstruktion einer die Endauszahlung c T replizierenden selbstfinanzierenden Handelsstrategie Vollständigkeit und Arbitragefreiheit binomialer Marktmodelle Die Binomialbaum-Formeln Die Black-Scholes-Formeln Amerikanische Optionen Aufgaben 437 Einführung in die stetige Finanzmathematik Das Black-Scholes-Modell Schritt 1: Modellierung der Dynamik der Wertpapiere, das Black-Scholes-Modell Schritt 2: Konstruktion eines Martingalmaßes Schritt 3: Definition des Preises von CT als Erwartungswert Schritt 4: Konstruktion einer die Endauszahlung er replizierenden selbstfinanzierenden Handelsstrategie Die Black-Scholes-Formeln Elemente der stochastischen Analysis Bedingte Erwartung und Martingale Brownsche Bewegung und Wienermaße Das Ito-Integral Itô-Prozesse und Itô-Formel Der Satz von Girsanov Der Martingal-Darstellungssatz 461

6 XVI Inhaltsverzeichnis Literaturverzeichnis 463 Sachverzeichnis 467