Kanonische Primfaktorzerlegung

Transkript

1 Kanonische Primfaktorzerlegung Jede natürliche Zahl Form kann auf eindeutige Weise in der geschrieben werden, wobei, für und Primzahlen sind. Dies ist die kanonische Primfaktorzerlegung von. Mathematik I für Informatiker Zahlen p.1/48

2 ggt und kgv Je zwei natürliche Zahlen und besitzen einen größten gemeinsamen Teiler ggt ein kleinstes gemeinsames Vielfaches kgv und Zur Bestimmung des ggt kann man den Algorithmus der Wechselwegnahme benutzen: while do begin if then if then end output( ggt =, m).. Mathematik I für Informatiker Zahlen p.2/48

3 Gauss Klammer Ist eine reelle Zahl, dann bezeichnet Zahl, die kleiner oder gleich ist. die größte ganze Analog ist gleich ist. die kleinste ganze Zahl, die größer oder Sind und ganze Zahlen,, so ist div Mathematik I für Informatiker Zahlen p.3/48

4 Ist eine beliebige ganze Zahl und ist Zahl, dann ist eine natürliche Beispielsweise ist und. In jedem Falle gilt Mathematik I für Informatiker Zahlen p.4/48

5 Rechnen modulo Wenn man umfangreiche Rechnungen modulo auszuführen hat, dann ist die Homomorphieregel außerordentlich hilfreich. Sie besagt, dass man auch Zwischenergebnisse modulo rechnen darf, ohne dass sich das Endergebnis ändert. Formal besagt sie, dass für ganze Zahlen stets folgendes gilt: Mathematik I für Informatiker Zahlen p.5/48

6 Der ständige Zusatz wird rasch lästig und gern weggelassen. Um Missverständnisse zu vermeiden, kann man ihn am Ende der Rechnung in Klammern angeben und die Gleichheitszeichen durch ersetzen, wie im folgenden Beispiel: Statt schreibt man oft auch und liest dies etwas altertümlich aber einprägsam als ist kongruent zu modulo. Mathematik I für Informatiker Zahlen p.6/48

7 Ein Satz von J.P.Fermat Eine Primzahl ist genau dann nicht als Summe zweier Quadrate ganzer Zahlen darstellbar, wenn kongruent zu 3 modulo 4 ist. Solche Ergebnisse der elementaren Zahlentheorie haben in den letzten Jahren für die Kryptologie an Bedeutung gewonnen. Mathematik I für Informatiker Zahlen p.7/48

8 Rechnen modulo 5 Die Verknüpfungstafeln für die Rechenarten modulo 5. Mathematik I für Informatiker Zahlen p.8/48

9 Operationen auf einer Menge Grundsätzlich hat man nahezu unbegrenzte Freiheiten, sich neue Rechenstrukturen zu verschaffen: Man wählt sich eine Trägermenge und definiert darauf Operationen, beispielsweise indem man willkürlich Verknüpfungstafeln hinschreibt. Operation und Verknüpfung bedeuten in diesem Zusammenhang dasselbe. Eine -stellige Operation auf einer Trägermenge nimmt als Input eine Folge von Elementen aus und gibt ein Element von als Output zurück. Eine -stellige Operation auf ist also eine Abbildung Mathematik I für Informatiker Zahlen p.9/48

10 Tischtennisturniermultiplikation der Spieler, der aussetzt, wenn gegen spielt falls falls,. Mathematik I für Informatiker Zahlen p.10/48

11 Tischtennisturniermultiplikationstafel Mathematik I für Informatiker Zahlen p.11/48

12 Regeln (1) für das Rechnen modulo Die Addition ist assoziativ: es gilt für alle, ist kommutativ: es gilt für alle, ist kürzbar: aus folgt stets. Das ist wichtig, wenn man Gleichungen lösen will. hat als neutrales Element: gilt für alle. hat inverse Elemente: Zu jedem ist ein Element mit. Daraus folgt übrigens die Kürzbarkeit. ist eine abelsche Gruppe. Mathematik I für Informatiker Zahlen p.12/48

13 Regeln (2) für das Rechnen modulo die Multiplikation ist assoziativ: es gilt für alle, ist kommutativ: es gilt für alle, hat als neutrales Element: gilt für alle. ist über der Addition distributiv: gilt für alle (Leseregel: Punktrechnung vor Strichrechnung ). ist ein kommutativer Ring mit Eins. Mathematik I für Informatiker Zahlen p.13/48

14 Ein anderer Zugang zu Für Zahlenmengen Komplexaddition durch definiert man die Entsprechend kann man eine Komplexsubtraktion und eine Komplexmultiplikation einführen. So kommt man (wenn man noch Klammern einspart) für natürliche Zahlen und zu der Restklasse zum Rest modulo. Diese Menge enthält genau diejenigen ganzen Zahlen, die bei der ganzzahligen Division durch den Rest ergeben. Mathematik I für Informatiker Zahlen p.14/48

15 Restklassenringe Man überzeugt sich, dass bei festem Komplexaddition, Komplexsubtraktion und Komplexmultiplikation die von Restklassen als Ergebnisse immer Restklassen liefern. Die Restklassen modulo bilden einen kommutativen Ring mit Eins, den Restklassenring der ganzen Zahlen modulo. Mathematik I für Informatiker Zahlen p.15/48

16 Rechnen mit Repräsentanten Jede Restklasse modulo. enthält genau eine der Zahlen Deshalb rechnet man nicht wirklich mit den Restklassen, sondern mit ihren Repräsentanten aus. Das entspricht genau der oben eingeführten Rechenweise modulo. Der Restklassenring modulo ist also isomorph zum Ring der ganzen Zahlen modulo. Mathematik I für Informatiker Zahlen p.16/48

17 Rechnen modulo 2 Der für die Informatik wichtigste Fall ist natürlich. In diesem Fall stimmen Addition und Subtraktion überein. Die beiden Restklassen sind die Menge der geraden und die der ungeraden Zahlen. Das Rechnen modulo 2. Mathematik I für Informatiker Zahlen p.17/48

18 Dividieren modulo? Eine Division modulo kann man nicht ohne erhebliche Einschränkungen erfinden. Das zeigt ein einfaches Beispiel: das Rechnen modulo 6. Wenn es möglich wäre, eine Division durch 2 modulo 6 zu erfinden, dann sollte doch jedenfalls 2 geteilt durch 2 das Ergebnis 1 und 0 geteilt durch 2 das Ergebnis Null liefern. Daraus erhält man die widersprüchliche Gleichung So geht es also nicht! Mathematik I für Informatiker Zahlen p.18/48

19 Nullteiler Man kann dieses Beispiel verallgemeinern. Man nennt eine Zahl (in einem Ring) einen Nullteiler, wenn es eine Zahl mit gibt. Im Ring ist diese Bedingung für 2 ist also ein Nullteiler in. und erfüllt: Die Argumentation der vorigen Seite zeigt: eine Division durch Nullteiler kann nicht sinnvoll definiert werden. Mathematik I für Informatiker Zahlen p.19/48

20 Einheiten Eine Zahl Zahl mit in einem Ring ist eine Einheit, wenn es eine gibt. Durch Einheiten kann man dividieren, denn ja wie ein Kehrwert zu. verhält sich Man sagt, sei multiplikativ invers zu. Man dividiert durch, indem man mit multipliziert. Mathematik I für Informatiker Zahlen p.20/48

21 Mittelwert mod 5 Auf diese Weise können wir z.b. einen Mittelwert modulo 5 definieren, nämlich die Operation denn wegen ist modulo 5 dasselbe wie. Mathematik I für Informatiker Zahlen p.21/48

22 Tischtennis mod 5 Auf diese Weise können wir z.b. einen Mittelwert modulo 5 definieren, nämlich die Operation denn wegen ist modulo 5 dasselbe wie. Mathematik I für Informatiker Zahlen p.22/48

23 Welche Zahlen sind Einheiten mod? Durch Einheiten kann man dividieren, durch Nullteiler nicht. Es bleibt die Frage, wie man Einheiten und Nullteiler erkennt. Modulo ist das einfach: Hilfssatz 1 Eine Zahl Einheit modulo, wenn zu Ist keine Einheit, dann ist ist genau dann eine teilerfremd ist. ein Nullteiler. Mathematik I für Informatiker Zahlen p.23/48

24 Eulersche -Funktion Die Eulersche definiert: -Funktion ist für folgendermaßen ggt gibt also die Anzahl der zu Zahlen an, die kleiner als sind. teilerfremden natürlichen gibt also auch die Anzahl der Einheiten in an. Mathematik I für Informatiker Zahlen p.24/48

25 Eine Formel für Satz 1 Ist die kanonische Primfaktorzerlegung von, dann gilt, deshalb Beispiel:. Mathematik I für Informatiker Zahlen p.25/48

26 Funktion Wegnahme Input: Output: Eine Menge Zahlen und. WN, bestehend aus natürlichen falls sonst. Es wird also die größere der beiden Zahlen ersetzt durch die positive Differenz der beiden Zahlen. Das Ergebnis ist eine zwei- oder einelementige Menge. Mathematik I für Informatiker Zahlen p.26/48

27 Eigenschaften der Funktion Wegnahme 1. Ist WN dann gibt es ganze Zahlen mit und 2. Ist Teiler von von. WN und und ist ein gemeinsamer, dann ist auch ein Teiler von und Mathematik I für Informatiker Zahlen p.27/48

28 Wechselwegnahme Algorithmus Wechselwegnahme. Input: Natürliche Zahlen WHILE do OUTPUT:. WN ;. Weil bei jedem WHILE-Schritt die größere der beiden Zahlen verkleinert wird, terminiert dieser Algorithmus offenbar, d.h., er kommt zu einem Ergebnis. Mathematik I für Informatiker Zahlen p.28/48

29 Beispiel zur Wechselwegnahme Input: also: also: also: also: also: also: also: stop. Mathematik I für Informatiker Zahlen p.29/48

30 ggt-berechnung Hilfssatz 2 Der Algorithmus Wechselwegnahme berechnet den größten gemeisamen Teiler (ggt). Beweis Sei das Ergebnis einer Ausführung des Algorithmus bei dem Input. Wendet man die Beobachtungen 1) und 2) induktiv an, so erhält man: 1. Es gibt ganze Zahlen 2. teilt und. mit Das zweite zeigt, dass ein gemeinsamer Teiler von und ist, und aus dem ersten folgt, dass jeder gemeinsame Teiler von und auch ein Teiler von ist. Deshalb muss der größte gemeinsame Teiler von und sein., Mathematik I für Informatiker Zahlen p.30/48

31 Beobachtung Eine Erkenntnis aus dem Beweis wollen wir als Satz festhalten, weil sie oft sehr nützlich ist: Satz 2 Zu je zwei ganzen Zahlen existieren ganze Zahlen mit ggt Diese Zahlen kann man durch Rückwärtseinsetzen beim Algorithmus Wechselwegnahme leicht bestimmen. Mathematik I für Informatiker Zahlen p.31/48

32 Beschleunigung der ggt-berechnung Am Beispiel erkennt man eine Möglichkeit, den Algorithmus zu beschleunigen: die letzten vier Schritte kann man zu einem einzigen zusammenfassen. Funktion Mehrfachwegnahme. Input: Natürliche Zahlen und mit. Output: MW. Es wird also die größere der beiden Zahlen ersetzt durch ihren Rest modulo der anderen. Algorithmus (Euklidischer Algorithmus). Input: Ganze Zahlen WHILE do ; Output:. MW mit Mathematik I für Informatiker Zahlen p.32/48

33 ... berechnet den ggt Der Euklidische Algorithmus führt offenbar zum gleichen Ergebnis wie die Wechselwegnahme. Wir haben also: Satz 3 Der Euklidische Algorithmus berechnet den ggt. Mathematik I für Informatiker Zahlen p.33/48

34 Beispiel Mathematik I für Informatiker Zahlen p.34/48

35 Mathematik I für Informatiker Zahlen p.35/48 Beispiel

36 Mathematik I für Informatiker Zahlen p.36/48 Beispiel

37 Mathematik I für Informatiker Zahlen p.37/48 Beispiel

38 ggt Beispiel Mathematik I für Informatiker Zahlen p.38/48

39 Mathematik I für Informatiker Zahlen p.39/48 Beispiel ggt

40 Mathematik I für Informatiker Zahlen p.40/48 Beispiel ggt

41 ggt Mathematik I für Informatiker Zahlen p.41/48 Beispiel

42 Mathematik I für Informatiker Zahlen p.42/48 Beispiel ggt

43 Mathematik I für Informatiker Zahlen p.43/48 Beispiel ggt ggt

44 ggt ggt Mathematik I für Informatiker Zahlen p.44/48 Beispiel ggt

45 Beispiel ggt ggt ggt ggt Mathematik I für Informatiker Zahlen p.45/48

46 Beweis des Hilfssatzes über die Einheiten Beweis Wenn Satz Zahlen zu und teilerfremd ist, dann gibt es nach dem mit und folglich woraus folgt. ist dann multiplikativ invers zu in. Ist, dann ist eine ganze Zahl in, die von Null verschieden ist. Aber ist dann ein Vielfaches von und folglich, d.h. ist ein Nullteiler oder gleich 0. Mathematik I für Informatiker Zahlen p.46/48

47 Inversenberechnung Aufgabe: Bestimme die Lösung der Gleichung Lösungsweg: 1. Zeige mit Hilfe des Euklidischen Algorithmus, dass ggt gilt. 2. Berechne Zahlen und mit 3. Multiplikativ invers zu 13 is dann 4. Die (einzige) Lösung der Aufgabe ist daher.. Mathematik I für Informatiker Zahlen p.47/48

48 GF Wenn eine Primzahl ist, dann ist jede Zahl in teilerfremd zu. Wenn eine Primzahl ist, dann gibt es modulo keine Nullteiler. Man kann durch alle Zahlen von (außer Null) modulo dividieren. Der Ring, prim, ist ein Körper! Er wird auch mit dem Symbol GF ( Galois-Field ). abgekürzt Mathematik I für Informatiker Zahlen p.48/48