2. Vorlesung Partielle Differentialgleichungen

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1 2. Vorlesung Partielle Differentialgleichungen Wolfgang Reichel 2.Transatlantische Vorlesung aus Oaxaca, Mexiko, 20. Oktober 2010 Institut für Analysis KIT University of the State of Baden-Wuerttemberg and National Research Center of the Helmholtz Association

2 Korrektur eines Fehlers von gestern Sei Ω R 3 offen und U : Ω R 3 sei C 1 (Ω), U = (u 1, u 2, u 3 ) Rotation: u 3 u 2 x 2 x 3 u 1 rot U = U = u 3,x2 u 2,x3 u 1,x3 u 3,x1 u 2,x1 u 1,x2 = u 3 x 3 x 1 u 2 u 1 x 1 x 2 2/ Oktober 2010 Wolfgang Reichel - PDGl Vorlesung Institut für Analysis

3 Kann man sich das merken? rot U = U = Für i, j, k, {1, 2, 3} sei ɛ ijk = u 3,x2 u 2,x3 u 1,x3 u 3,x1 u 2,x1 u 1,x2 { Vorzeichen der Permutation (i, j, k) 0, falls (i, j, k) keine Permutation. e i = i-ter Einheitsvektor im R 3, i = 1, 2, 3. Dann gilt 3 u k rot U = ɛ ijk e i x j i,j,k=1 1. Komponente: i = 1, Permutation: (1,2,3) Permutation: (1,3,2) Beitrag: + u 3 x 2 u 2 x 3 2. Komponente: i = 2, Permutation: (2,3,1) Permutation: (2,1,3) Beitrag: + u 1 x 3 u 3 x 1 3. Komponente: i = 3, Permuation: (3,1,2) Permutation: (3,2,1) Beitrag: + u 2 x 1 u 1 x 2 3/ Oktober 2010 Wolfgang Reichel - PDGl Vorlesung Institut für Analysis

4 Beispiele PDGlen Erinnerung (a) Transportgleichung: (2) Kurz: C u + u t = 0, n u c i (x, t) + u (x, t) = 0 x i t i=1 C = (c 1,..., c n ) T = konstant (b) Diffusionsgleichung: (4) u (x, t) = d u(x, t) + f(x, t, u(x, t)) t wobei =Laplace Operator in den Ortskoordinaten x 1,..., x n ist. Kurz: u t = d u + f(x, t, u) Allgemeine Diffusions-Konvektions-Reaktionsgleichung: (7) u t = div ( d(x, t) u ) C(x, t) u + f(x, t, u) 4/ Oktober 2010 Wolfgang Reichel - PDGl Vorlesung Institut für Analysis

5 Weitere Beispiele (Poisson-/Laplace) (c) Laplace bzw. Poissongleichung: Wir betrachten spezielle Lösungen der Diffusionsgleichung: u t = d u + f(x, u) [beachte: der Rekationsterm darf hier nicht von der Zeit t abhängen!] Gesucht sind Lösungen der Form u(x, t) = v(x), d.h. zeitunabhängige Lösungen. Da v t = 0, muss v die Gleichung 0 = d v(x) + f(x, v(x)), x Ω erfüllen. Hier können wir o.b.d.a. d = 1 annehmen. 5/ Oktober 2010 Wolfgang Reichel - PDGl Vorlesung Institut für Analysis

6 Poisson- bzw. Laplacegleichung Die Gleichung 0 = }{{} d v(x) + f(x, v(x)), =1 (10) v = f(x, v) in Ω heisst (nichtlineare) Poissongleichung. x Ω Hängt f nur von x und nicht von v selbst ab so heisst lineare Poissongleichung. Im Fall f = 0 nennt man Laplacegleichung. (11) v = f(x) in Ω (12) v = 0 in Ω 6/ Oktober 2010 Wolfgang Reichel - PDGl Vorlesung Institut für Analysis

7 Ein paar explizite Lösungen (i) n = 2, v(x, y) = x 2 y 2 (bzw. v(x, y) = x, v(x, y) = y) löst v = 0 in R 2 (ii) allgemeiner: n 1, v(x 1,..., x n ) = x 2 i x 2 j (bzw. v(x) = x i ) löst v = 0 in R n Da die Gleichung linear ist, kann man durch Linearkombinationen neue Lösungen erzeugen. Z.B. v(x 1, x 2, x 3 ) = x 2 1 x2 2 + cx 3 (iii) n = 2, v(x, y) = e x cos y löst (iv) n 1, v(x) = 1 x 2 2n v = 0 in R 2 (hier: x 2 = x x x2 n ) löst v = 1 in R n und v ist positiv in B 1 (0) R n, v = 0 auf B 1 (0). 7/ Oktober 2010 Wolfgang Reichel - PDGl Vorlesung Institut für Analysis

8 Weitere Beispiele (d) Maxwell-Gleichungen (für elektromagnetische Felder): } E(x, t) elektrisches Feld x R 3, t R, E, H : R 4 R 3 H(x, t) magnetisches Feld Zwei weitere Felder: }{{} D = ɛe, }{{} B = µh el. Flußdichte mag. Flußdichte elektrische Leitfähigkeit: ɛ = ɛ 0 (Vakuum) ɛ r (Material) magnetische Suszeptibilität: µ = µ 0 (Vakuum) µ r (Material) Maxwell-System: div B = 0 div D = ρ = Ladungsdichte (13) rot E + B = 0 rot H D = j = Stromdichte t t gegeben: Funktionen von (x, t): ρ, j, Funktionen von x: ɛ, µ gesucht: E, H bzw. D, B 8/ Oktober 2010 Wolfgang Reichel - PDGl Vorlesung Institut für Analysis

9 Spezielle Lösungsansätze (13) div B = 0 div D = ρ = Ladungsdichte rot E + B = 0 rot H D = j = Stromdichte t t Elektrostatik: j = 0, H = B = 0, Ladungsdichte ρ = ρ(x) zeitunabhängig. Ansatz: E(x) = grad u(x) ebenfalls zeitunabhängig. div D = div(ɛ grad u) = ρ, rot(grad u) = 0 automatisch erfüllt Im Vakuum gilt ɛ = ɛ 0 = const.. Dann erhalten wir die Poissongleichung ɛ 0 u = ρ im R 3 9/ Oktober 2010 Wolfgang Reichel - PDGl Vorlesung Institut für Analysis

10 Spezielle Lösungsansätze Forts. (13) div B = 0 div D = ρ = Ladungsdichte rot E + B = 0 rot H D = j = Stromdichte t t Zeitharmonische Felder: j = 0, ρ = 0 Ansatz: E(x, t) = E(x)e iωt, Einsetzen in Maxwell führt zu B(x, t) = B(x)e iωt (i) rot E(x) iωb(x) = 0 div B = 0, da div rot = 0 ( 1 ) (ii) rot µ B(x) + iω ɛe(x) = 0 div D = div(ɛe) = 0 }{{}} {{ } =D(x) =H(x) 10/ Oktober 2010 Wolfgang Reichel - PDGl Vorlesung Institut für Analysis

11 Zeitharmonische Felder Aus (i) folgt: Einsetzen in (ii): (i) rot E(x) iωb(x) = 0 (ii) ( 1 ) rot µ B(x) + iωɛe(x) = 0 B = i ω rot E Maxwell Eigenwertproblem: (14) rot ( 1 µ rot E ) ω 2 ɛe = 0 Im Vakuum gilt: µ = µ 0 = const., ɛ = ɛ 0 = const.. Benutze außerdem Ergibt: rot(rot E) = grad }{{} div E E =0 Helmholtz Gleichung (15) E + ω2 E = 0 im R3 c2 wobei c = 1/ ɛ 0 µ 0 die Lichtgeschwindigkeit im Vakuum ist. 11/ Oktober 2010 Wolfgang Reichel - PDGl Vorlesung Institut für Analysis

12 Lösungen der Helmholtzgleichung Helmholtz Gleichung (15) E + ω2 E = 0 im R3 c2 Ansatz: E(x) = e ik x z mit k, z R 3 fest E x j = ik j e ik x z, Erfüllt die Helmholtz-Gleichung falls 2 E x 2 j = k 2 j e ik x z k 2 + ω2 c = 0, 2 d.h. k = ω c Die resultierenden Lösungen (der ursprüng. Maxwell-Gleichungen) E(x, t) = e i(k x ωt) z, k = ω c heissen monochromatische, ebene Wellen und beschreiben polarisiertes Licht der Wellenlänge λ = c ω und der Frequenz ω. 12/ Oktober 2010 Wolfgang Reichel - PDGl Vorlesung Institut für Analysis

13 Weitere Beispiele (e) Wellengleichung: am Beispiel der schwingenden Saite (x,u(x,t)) u(x, t) = Auslenkung der Saite ρ = konstante Massendichte R 2 T(x, t) = Spannung der Saite = Vektor, tangential zur Saite x ( elastische ) Saite 1 1 Tangente: 1 + ux(x, 2 u x (x, t) t) ( ) τ(x, t) 1 Spannung: T(x, t) = 1 + ux(x, 2 u x (x, t) t) Idealisierung der elastischen Saite: bei kleinen Auslenkungen nur vertikale Bewegung keine longitudinale Bewegung 13/ Oktober 2010 Wolfgang Reichel - PDGl Vorlesung Institut für Analysis

14 Die schwingende Saite Spannung: T(x, t) = ( τ(x, t) 1 + ux(x, 2 t) 1 u x (x, t) Ausgleich der longitudinalen Kräfte: für x 1 < x: τ(ξ, t) x τ = 0 = const. = λ 1 + ux(ξ, 2 x t) ux 2 Newtonsches Kraftgesetz F = ma für vertikale Bewegung: τ(ξ, t)u x (ξ, t) x x = ρu tt (ξ, t) dξ 1 + ux(ξ, 2 x t) 1 x 1 d.h. λ ( u x (x, t) u x (x 1, t) ) = x x 1 ρu tt (ξ, t) dξ Differentiation nach x: 1-d Wellengleichung: (16) u xx (x, t) = ρ λ u tt(x, t), (x, t) R 2 ) 14/ Oktober 2010 Wolfgang Reichel - PDGl Vorlesung Institut für Analysis

15 Die schwingende Saite 1-d Wellengleichung: (16) u xx (x, t) = ρ λ u tt(x, t), (x, t) R 2 Spezielle Lösung z.b.: u(x, t) = sin(x ct) mit c 2 = λ ρ. 2-d Wellengleichung: (17) u xx (x, y, t) + u yy (x, y, t) = ρ λ u tt(x, y, t), (x, y, t) R 3 n-dimensionale Wellengleichung: (18) u = ρ λ u tt, (x, t) R n+1 15/ Oktober 2010 Wolfgang Reichel - PDGl Vorlesung Institut für Analysis

16 Weitere Beispiele (f) Krümmung von Funktionsgraphen x 3 u(x 1, x 2 )= Höhe der Fläche über der x 1, x 2 -Ebene x 1 Dabei X 1 = N = P N X 1 (x,x ) 1 2 X2 x 2 P = (x 1, x 2, u(x 1, x 2 )) Beschreibung als Funktionsgraph Die Tangentialebene in P wird aufgespannt von zwei Vektoren X 1 = (1, 0, u x1 ) T, X 2 = (0, 1, u x2 ) T d ( x1, x 2, u(x 1, x 2 ) ) T, X2 = d ( x1, x 2, u(x 1, x 2 ) ) T dx 1 dx 2 1 (u x1, u x2, 1) T 1 + ux ux / Oktober 2010 Wolfgang Reichel - PDGl Vorlesung Institut für Analysis

17 Krümmung von Funktionsgraphen X 1 = (1, 0, u x1 ) T, X 2 = (0, 1, u x2 ) T, N = 1 (u x1, u x2, 1) T 1 + ux ux 2 2 Offenbar gilt N 2 = 1 und N X 1 = N X 2 = 0 Krümmung Die Krümmung der Fläche wird gemessen durch die Veränderung der Normalen. N x1 := N x 1, N x2 := N x 2 Diese beiden Vektoren im R 3 lassen sich durch die Basis X 1, X 2, N im Punkt P darstellen: N x1 = αx 1 + βx 2 + λn N x2 = γx 1 + δx 2 + µn 17/ Oktober 2010 Wolfgang Reichel - PDGl Vorlesung Institut für Analysis

18 Krümmung von Funktionsgraphen ( ) { Nx1 = αx 1 + βx 2 + λn N x2 = γx 1 + δx 2 + µn Bestimme λ, µ durch Skalar-Multiplikation mit N. Beachte N x1 N = N x2 N = 0 folgt aus Differentiation von N N = 1 d.h. λ = µ = 0 Bestimmung von α, β, γ, δ: Für i, j = 1, 2 g ij := X i X j, h ij := N X i x j = N x j X i letzeres folgt aus Differentiation von N X i = 0 nach x j. Auflösen des LGS ( ): ( ) α β = (g γ δ ij ) 1 i,j=1,2 (h ij) i,j=1,2 18/ Oktober 2010 Wolfgang Reichel - PDGl Vorlesung Institut für Analysis

19 Krümmung von Funktionsgraphen Auflösen des LGS ( ): ( ) α β γ δ = (g ij ) 1 i,j=1,2 (h ij) i,j=1,2 ( = X 1 2 X 1 X 2 X 1 X 2 X 2 2 ) 1 ( Nx1 X 1 N x2 X 1 N x1 X 2 N x2 X 2 ) 1 2spur bzw. Determinante der Matrix ( α β γ δ nennet man mittlere Krümmung H bzw. Gaußsche Krümmung K der Fläche im Punkt P = ( x 1, x 2, u(x 1, x 2 ) ). ) 19/ Oktober 2010 Wolfgang Reichel - PDGl Vorlesung Institut für Analysis

20 Krümmung von Funktionsgraphen Einsetzen der Ausdrücke für X 1, X 2, N x1, N x2 in ( ) ( ) α β X = ( ) X 1 X 2 Nx1 X 1 N x2 X 1 γ δ X 1 X 2 X 2 2 N x1 X 2 N x2 X 2 liefert H = α + δ 2 = 1 (1 + ux 2 1 )u x2 x 2 + (1 + ux 2 2 )u x1 x 1 2u x1 u x2 u x1 x 2 2 (1 + ux ux 2 2 ) 3/2 = 1 2 div u Rechnung! 1 + u 2 K = αδ βγ = u x 1 x 1 u x2 x 2 (u x1 x 2 ) 2 (1 + ux ux 2 2 ) 2 ( D 2 ) u = det 1 + u 2 20/ Oktober 2010 Wolfgang Reichel - PDGl Vorlesung Institut für Analysis

21 Krümmung von Funktionsgraphen Nun stellt man sich folgendes Problem: wie sieht eine Fläche aus, deren mittlere Krümmung/Gaußsche Krümmung vorgegeben ist? Z.B. bei konstanter mittlere Krümmung bzw. Gaußsche Krümmung sucht man Lösungen der folgenden partiellen DGlen: konstante mittlere Krümmung: (19) konstante Gaußsche Krümmung: 1 2 div u = H = const. 1 + u 2 ( D 2 ) u (20) det = 1 + u 2 K = const. 21/ Oktober 2010 Wolfgang Reichel - PDGl Vorlesung Institut für Analysis