63.5 Das Vektorprodukt - Übungen (2)

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Anke Winter
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1 Mathematik mit Mathcad MK.. Vektorprodukt_Ueb_.xmcd. Das Vektorprodukt - Übungen () Aufgaben () Gegeben sind zwei Vektoren a, die ein Parallelogramm aufspannen. () Gegeben sind die drei Eckpunkte A( -; -; ), B( -; -; -) und C( -; -; -) eines Dreiecks. siehe auch:../../mcd/geometrie/vektorprodukt_spatprodukt/vektorprodukt_ueb_.mcd () Gegeben sind die Vektoren a, b und c. Berechnen Sie einen zu a senkrechten Vektor n. Untersuchen Sie, ob der Vektor c in der gleichen Ebene liegt, die durch die Vektoren a festgelegt ist. () Gegeben sind die Vektoren a, b und c. Untersuchen Sie, ob die Vektoren linear abhängig sind. () Gegeben sind die Punkte A( ; ; -), B( ; ; -), C( -; ; ) und D( -; 7; ). Untersuchen Sie, ob die vier Punkte in einer Ebene liegen. () Gegeben sind die Punkte A, B, C, D aus (). Die Vektoren a AC spannen ein Parallelogramm auf. Untersuchen Sie, ob der Punkt D im Inneren des Parallelogramms liegt. (7) Gegeben sind die Punkte A, B, C aus (), sowie der Punkt E( ; ; 7 ). Die Vektoren a und b AC spannen ein Dreieck auf. Untersuchen Sie, ob der Punkt E im Inneren des Dreiecks liegt.

() Gegeben sind die drei Eckpunkte A( -; -; ), B( -; -; -) und C( -; -; -) eines Dreiecks.

2 Lösungen () Gegeben sind zwei Vektoren a, die ein Parallelogramm aufspannen. Formel für den Flächeninhalt von Parallelogrammen: A a b Vektorprodukt bilden: a b Fläche ausrechnen: A a b. () Gegeben sind die drei Eckpunkte A( -; -; ), B( -; -; -) und C( -; -; -) eines Dreiecks. Die Fläche des Dreiecks C entspricht der halben Fläche des von und AC aufgespannten Parallelogramms: A Dreieck A Parallelogramm AC AC 7 AC Fläche des Parallelogramms: A Parallelogramm ( ) ( ) Flächeninhalt des Dreiecks: A Dreieck.

() Gegeben sind die Vektoren a, b und c. Berechnen Sie einen zu a senkrechten Vektor n. Das Vektorprodukt steht immer senkrecht auf a : n steht senkrecht auf a.

3 () Gegeben sind die Vektoren a, b und c. Berechnen Sie einen zu a senkrechten Vektor n. Das Vektorprodukt steht immer senkrecht auf a : n steht senkrecht auf a. Untersuchen Sie, ob der Vektor c in der gleichen Ebene liegt, die durch die Vektoren a festgelegt ist. Wenn der Vektor c in der durch a beschriebenen Ebene E liegt, dann muss c auch zu n senkrecht sein. Berechnen Sie: n c c liegt in der Ebene E () Gegeben sind die Vektoren a, b und c. Untersuchen Sie, ob die Vektoren linear abhängig sind. Drei Vektoren im R sind dann linear abhängig, wenn sie in einer gemeinsamen Ebene liegen. Bilden Sie das Vektorprodukt aus zwei dieser Vektoren, z.b. a. Das Vektorprodukt ist senkrecht zu den beiden Vektoren. c ist folglich linear abhängig von a, wenn c auch senkrecht auf a b liegt. Vektorprodukt bilden: a b Überprüfen, ob n Antwort: c c : n c n liegt in der gleichen Ebene, die durch die Vektoren a Die drei Vektoren sind linear abhängig. festgelegt wird.

4 () Gegeben sind die Punkte A( ; ; -), B( ; ; -), C( -; ; ) und D( -; 7; ). Untersuchen Sie, ob die vier Punkte in einer Ebene liegen. Wenn die Punkte A, B, C und D in einer gemeinsamen Ebene liegen, müsste das für die aus ihnen gebildeten Vektoren ebenfalls gelten. Demnach wären beispielsweise die Vektoren, AC und AD linear abhängig. Das können Sie überprüfen, indem Sie ermitteln, ob AD senkrecht auf dem Vektorprodukt AC steht. Es gilt: AC AD 7 Vektorprodukt: AC Überprüfen, ob Antwort: AD AC AD: liegt in der gleichen Ebene, die durch die Vektoren und AC festgelegt wird. Demnach sind die drei Vektoren linear abhängig und die vier Punkte liegen in einer Ebene. () Gegeben sind die Punkte A, B, C, D aus (). Die Vektoren a AC spannen ein Parallelogramm auf. Untersuchen Sie, ob der Punkt D im Inneren des Parallelogramms liegt. Aus () geht hervor, dass alle Punkte in einer Ebene liegen. a b d AD D liegt im Inneren, falls d λ a μ b mit λ, μ [ ; ] λ μ I-II: μ > μ liegt nicht drin! λ μ auflösen λ μ ( )

(7) Gegeben sind die Punkte A, B, C aus (), sowie der Punkt E( ; ; 7 ). Die Vektoren a und b AC spannen ein Dreieck auf. Untersuchen Sie, ob der Punkt E im Inneren des Dreiecks liegt.

5 (7) Gegeben sind die Punkte A, B, C aus (), sowie der Punkt E( ; ; 7 ). Die Vektoren a und b AC spannen ein Dreieck auf. Untersuchen Sie, ob der Punkt E im Inneren des Dreiecks liegt. e e AE 7 AE k a k b E liegt auf der Strecke [BC]: e a k b a mit k, k, k [ ;] k a k b a k b a ( k k ) a ( k k) b k k k k falls a, b k linear unabhängig. k in I: k k ist die Bedingung für auf [BC] > k k Im Inneren, höchstens auf der Umrandung. λ μ I-II: in II: μ > μ λ > λ > alle Punkte liegen in einer Ebene. und und > innerhalb! λ μ auflösen λ μ

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