Jede Fläche hat einen Inhalt aber welchen?

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1 Jede Fläche hat einen Inhalt aber welchen? ufgabe 46 ürgermeister Pfiffig sitzt mit zwei auern aus seiner Gemeinde an einem Tisch. Vor sich haben sie einen Plan, in den eine trapezförmige Fläche eingezeichnet ist. arin sind zwei dreieckige Wiesen farbig unterlegt, die diesen auern gehören. s wäre für die Gemeinde sehr nützlich, wenn beide auern ihre Grundstücke tauschen würden. Für diese kommt ein Tausch aber nur dann in etracht, wenn beide Flächen gleiche Größe haben und deshalb keiner von beiden einen Nachteil hat. Kann ürgermeister Pfiffig beide auern davon überzeugen, dass der Tausch gerecht wäre? ufgabe 47 Gegeben ist ein Rechteck, dessen lange Seite 14 cm und dessen kurze Seite cm lang ist. In dieses Rechteck ist ein farbiges Parallelogramm eingezeichnet. lle Maße sind in Zentimetern angegeben. Welchen Flächeninhalt hat das Parallelogramm? ufgabe 48 S U W X T V Gegeben ist ein Quadrat. ie Punkte S, T, U und V liegen so auf seinen Seiten, dass U = US = S und UV ST gilt. en wievielten Teil des Flächeninhalts des Quadrats nimmt der Flächeninhalt des reiecks WTX ein? 4

2 ufgabe 4 k s sei der urchmesser eines Kreises k mit dem Mittelpunkt M und dem Radius r. In M sei auf die Senkrechte errichtet und auf ihr der Punkt mit bezeichnet, der von M den bstand M = 1 r hat. Weiter seien der zweite Schnittpunkt von mit dem Kreis k und der Schnittpunkt der Geraden M und. M r Welchen Flächeninhalt hat das reieck M? ufgabe 0 ie bbildung zeigt eine Pyramide, wie sie im mittelamerikanischen Urwald öfter zu finden ist. Um sie vor Witterungseinflüssen zu schützen, wird sie in regelmäßigen bständen mit einem farblosen Schutzanstrich versehen. ie Pyramide ist unten 10 m und oben 4 m breit, ihre Höhe beträgt m. lle Schichten sind gleich hoch, haben quadratische Grundflächen und sind so aufeinandergesetzt, dass alle Stufen gleich breit sind. Wie groß ist die Fläche dieser Pyramide, die gestrichen werden muss?

3 zu ufgabe 4 a) Wegen 60 : = 1 erzielen die beiden Frauen uro 1 = 4 uro. b) Wegen uro : 60 = 1 uro muss jedes Glas ntwort: Um für 60 Gläser uro zu erzielen, hätten die beiden Frauen beispielsweise,0 uro für 6 Gläser verlangen müssen. 1 uro kosten. S. 3 zu ufgabe 46 iese zu ufgabe liegt folgender Satz zugrunde: In einem beliebigen Trapez schneiden sich die beiden iagonalen im Punkt. ann sind die aus den bschnitten der iagonalen und den Schenkeln des Trapezes gebildeten reiecke flächengleich. Zum eweis verwenden wir: Zwei reiecke sind dann flächengleich, wenn sie in ihren Grundlinien und in ihren Höhen übereinstimmen. S. 4 rste Überlegung: = Zweite Überlegung: = ritte Überlegung: = Wenn Gleiches von Gleichem subtrahiert wird, dann entsteht Gleiches. lso gilt: =. ntwort: uf diese Weise konnte ürgermeister Pfiffig die beiden auern davon überzeugen, dass ihre Wiesen gleich groß sind. zu ufgabe 47 rste Lösung Parallelogramm = Rechteck 1 = 14 cm cm cm cm cm cm = 16 cm 81 cm cm Paralellogramm = 0 cm 67

4 S. 4 Zweite Lösung 1 P 1 ie großen reiecke sind gleichschenkligrechtwinklig, also müssen es auch die kleinen sein. aher sind die senkrechten Seiten des Parallelogramms cm lang. Seine Höhe bezüglich dieser Seiten beträgt offensichtlich 4 cm, und daher hat es den Flächeninhalt 4 cm cm = 0 cm. ntwort: as Parallelogramm hat einen Flächeninhalt von 0 cm. zu ufgabe 48 X S U W T V urch die Parallelen wird das Quadrat gedrittelt. aher gilt auch: UW = XT = SU = 1 3. Weil XT die Grundseite und SU die Höhe des gesuchten reiecks ist, gilt WTX = 1 XT SU = = ntwort: er Flächeninhalt des reiecks WTX nimmt den 18. Teil des Flächeninhalts des Quadrats ein. S. zu ufgabe 4 k M r er Winkel ist nach dem Satz des Thales 0 groß. lso sind die reiecke und M rechtwinklig. iese reiecke haben den Winkel = gemeinsam. amit stimmen sie auch in der Größe des dritten Winkels überein, so dass Winkel = Winkel M gilt. Weil aber das rechtwinklige reieck M auch diesen Winkel = M besitzt, ist es zu den beiden anderen reiecken ähnlich. Seine kürzeste Seite hat die Länge 1 r und ist damit halb so lang wie die kürzeste Seite des reiecks M mit der Länge r. ntsprechend ist die Seite M mit der Länge r halb so lang wie die Seite M; diese muss also die Länge r besitzen. 68

5 ann gilt für den Flächeninhalt von M: M = 1 r r = r. ntwort: er Inhalt des reiecks M beträgt r Flächeneinheiten. S. zu ufgabe 0 Sämtliche horizontalen Flächen dieser Pyramide haben zusammen den gleichen Inhalt wie das Grundflächenquadrat, also 100 m. lle senkrechten Flächen sind 1 m hoch. Ihr Gesamtumfang beträgt 4(10 m + 8,0 m + 7 m +,0 m + 4 m) = 140 m. Ihre Gesamtfläche beträgt somit 140 m. rgebnis: 100 m m = 40 m. ntwort: ie zu streichende Pyramidenfläche beträgt 40 m. zu ufgabe 1 rster Lösungsweg Nehmen wir an, es wären nur Käfer. ann hätten diese 8 Tiere zusammen 48 eine. Somit würden 6 eine fehlen. Jeder Käfer, der durch eine Spinne ersetzt wird, vermehrt die nzahl der eine um. s müssen also 3 Käfer durch Spinnen ersetzt werden. Zweiter Lösungsweg Nehmen wir an, es wären nur Spinnen. ann hätten diese 8 Tiere zusammen 64 eine. Somit würden 10 eine zuviel sein. Jede Spinne, die durch einen Käfer ersetzt wird, vermindert die nzahl der eine um. s müssen also Spinnen durch Käfer ersetzt werden. ritter Lösungsweg Wir bezeichnen die nzahl der Käfer mit k und die nzahl der Spinnen mit s. ie Mengengleichung lautet k + s = 8. ie eingleichung lautet 6k + 8s = 4. us der ersten Gleichung folgt s = 8 k. insetzen in die zweite liefert 6k k = 4 und nach Umformen k =. araus ergibt sich s = 3. ntwort: In dem Glasbehälter befinden sich Käfer und 3 Spinnen. S. 6 6