Parallelprojektion einer Ebene in eine andere Ebene: Motivation für die Abbildungsvorschrift von Achsenaffinitäten.

Transkript

1 Kpitel 5: ffine bbildungen Prllelprojektion einer Ebene in eine ndere Ebene: Motivtion für die bbildungsvorschrift von chsenffinitäten. E 1 Figuren us E 1. werden uf Figuren us E 2 bgebildet. E 2 Eigenschften? Prllelprojektion durch Sonne 1

2 P 5 cm 1 cm S Q 1,4 cm 7 cm 3 cm P' bewegen Woruf werden wohl die folgenden Figuren bgebildet: Rechteck, Qudrt, gleichseitiges Dreieck, rechtwinkliges Dreieck, Trpez, Prllelogrmm, Kreis? Gegeben ist ein Punkt P in E 1 und sein ildpunkt P in E 2. Wie findet mn zu einem beliebigen weiteren Punkt Q den ildpunkt Q? Prllelprojektion durch Sonne 2

3 P 5 cm 1 cm S Q 1,4 cm Q' 7 cm 3 cm P' bewegen Gegeben ist ein Punkt P in E 1 und sein ildpunkt P in E 2. Wie findet mn zu einem beliebigen weiteren Punkt Q den ildpunkt Q? Zeichne in der Ebene, die durch P, P und Q bestimmt wird! Dmit die Verhältnisse einfcher werden, stellen wir nur noch P, P und Q dr. bbildung weiterer Punkte 1

4 Ein Punkt P und sein ildpunkt P' sind gegeben. Dieses Punktepr legt die bbildung offenbr fest. P Zeichnen Sie zwei Ebenen wie im nebenstehenden ild, wählen Sie zwei Punkte P und P und bilden Sie weitere Punkte b. S Q 5 cm 6 cm Q' 4 cm P' Ds ild ist die Kvlierprojektion von zwei Ebenen. bewegen Wir wollen diese bbildung ls bbildung einer Ebene in sich drstellen, indem wir die ildebene in die Urbildebene drehen. bbildung weiterer Punkte 2

5 Drehung der Projektionsebenen P P Q 5 cm 4 cm P' Q 5 cm S 6 cm Q' S bewegen Q' Zeichnen Sie jetzt in einer einzigen Zeichenebene die chse sowie zwei Punkte P und P. 6 cm 4 cm P' ilden Sie weitere Punkte Q b. Zeichnen Sie uch ein Rechteck und bilden dieses b. bewegen Formulieren Sie die bbildungsvorschrift, die Sie verwenden. Gibt es Punkte, bei denen Ihre Vorschrift Schwierigkeiten bereitet?

6 P Q P' ilden Sie weitere Punkte Q b. Zeichnen Sie uch ein Rechteck und bilden dieses b. Formulieren Sie die bbildungsvorschrift, die Sie verwenden. Gibt es Punkte, bei denen Ihre Vorschrift Schwierigkeiten bereitet? Übung chsenffinität mit, P, P

7 P Q Q' P' bbildungen dieser rt nennen wir chsenffinitäten. Eine chsenffinität ist festgelegt durch die ffinitätschse und ein Punktepr P, P. Welche edingungen muss mn n P,P stellen, dmit eine bijektive bbildung der Ebene definiert wird? Lösung zu chsenffinität mit, P, P

8 bbildungsvorschrift chsenffinität chsenffinität Q P us den Strhlensätzen ergibt sich, dss für lle Punkte Q gilt SQ Q' : SQQ = SPP' : SPP = : k S PQ S Q S P Q' P' S Q Q' = k S egründung? Q Q Dmit knn die bbildungsvorschrift folgendermßen formuliert werden: Definiere k := SP P' : S Für lle Punkte Q gilt - Q Q ist prllel zu P P, - für den Schnittpunkt S Q von Q Q mit gilt P P S Q Q' = k S Wir geben eine etws bgewndelte Definition n, d sie leichter hndhbbr ist ls die ngbe eines Punktepres P, P. Q Q

9 chsenffinität Eine chsenffinität knn festgelegt werden durch - eine ffinitätschse, - einen ffinitätswinkel α, der die ffinitätsrichtung bestimmt, (0< α <180 ) - einen ffinitätsfktor k 0 sowie die folgende Vorschrift zur bbildung von Punkten P der Ebene in sich P P = P P S ist der Schnittpunkt von PP mit, PP schließt mit den Winkel α ein, -2 k = -1,5 2 ffinitätschse_ SP' = k SP P 70 α ffinitätsrichtung_r (d.h. für k>0 liegen P und P uf der gleichen Seite von, für k<0 liegen P und P uf verschiedenen Seiten von ). S P' lterntive: Sttt des Winkels α gibt mn eine Gerde r ls ffinitätsrichtung n. Definition chsenffinität

10 ufgben ilden Sie ein beliebiges Dreieck, ein Rechteck, ein Qudrt mit folgenden chsenffinitäten b: 1. α = 90, k = α = 90, k = α = 90, k = -0,5 4. α = 90, k = 2 5. α = 90, k = 0,5 6. α = 30, k = α = 60, k = α = 60, k = 3 ufgben chsenffinität

11 Spezilfälle von chsenffinitäten: Spezilfälle von chsenffinitäten: Identität: k = +1 chsenspiegelung: α = 90, k = -1 Schrägspiegelung: k = -1 Senkrechte chsenffinität: α = 90 Spezilfälle chsenffinität

12 Eigenschften von chsenffinitäten Fixelemente: Fixpunkte: Fixpuktgerde: Fixgerden: lle Punkte der ffinitätschse ffinitätschse lle Gerden prllel zur ffinitätsrichtung Invrinten: gerdentreu, prllelentreu, teilverhältnistreu nicht längenverhältnistreu. Nur in speziellen Fällen: Umlufsinn erhlten wenn k>0 Eigenschften chsenffinität

13 Veränderung des Flächeninhlts bei chsenffinitäten Dreiecke mit Grundseite prllel zur ffinitätsrichtung: P 60 α ffinitätschse_ ffinitätsrichtung_r Länge der Grundseite mit k multipliziert, Länge der Höhe unverändert Flächeninhlt mit k multipliziert. FP P' eliebige Dreiecke: Zerlegen in zwei Dreiecke mit Grundseite prllel zur ffinitätsrichtung Flächeninhlt mit k multipliziert. Flächeninhlt bei chsenffinität 1

14 Veränderung des Flächeninhlts bei chsenffinitäten eliebige n-ecke: Zerlegen in Dreiecke Flächeninhlt mit k multipliziert. P 60 α ffinitätschse_ ffinitätsrichtung_r FP P' eliebige Figuren, z.. Kreis: nnähern durch n-ecke Flächeninhlt mit k multipliziert. Flächeninhlt bei chsenffinität 2

15 nmerkung: echten Sie im Folgenden jeweils den Unterschied zwischen den folgenden leicht zu verwechselnden Eigenschften von bbildungen. Geben Sie jeweils ein eispiel dzu n. Längentreue: lle Streckenlängen bleiben erhlten. Längenverhältnistreue: Verglichen werden die Längen von 2 beliebigen Strecken, b und die Längen ihrer ildstrecken und b : ' = b b' Teilverhältnistreue Verglichen werden die Längenverhältnisse uf einer Gerden mit den Längenverhältnissen uf der ildgerden: T ' T ' = wenn,, T uf einer T T ' ' Gerden liegen. g T ' T' ' g' egriffe Längenverhältnistreue, Teilverhältnistreue

16 Prllelentreue: Prllele Gerden werden uf prllele Gerden bgebildet, g h g h Gerden und ildgerden sind prllel: g g ufgben egründen Sie: Für die Gültigkeit der Teilverhältnistreue einer gerdentreuen bbildung reicht schon us, dss die Mitte einer jeden Strecke uf die Mitte der ildstrecke bgebildet wird. ' g M' ' g' M ijektive, gerdentreue bbildungen sind prllelentreu. Mitten bleiben erhlten ->Teilverhältnistreue

17 ffine bbildungen Wir definieren: Eine bbildung f: E E heißt ffine bbildung f ist bijektiv und gerdentreu Folgerungen: ffine bbildungen sind prllelentreu. chsenffinitäten sind ffine bbildungen. Verkettungen von chsenffinitäten sind ffine bbildungen. ffine bbildungen sind teilverhältnistreu (eweis nächste Seite) Definition ffine bbildung

18 ffine bbildungen sind teilverhältnistreu egründung: Eine Strecke mit Mittelpunkt M wird uf eine Strecke bgebildet. Zu zeigen: Ds ild von M ist Mittelpunkt von. M h Sgh Zeichne einen Hilfspunkt H. Die Prllelen g zu durch H und h zu H durch H werden bgebildet uf entsprechende Prllelen g und h. Die Digonlen des Prllelogrmms S gh H werden bgebildet uf die entsprechenden Digonlen von S gh H. Die Prllele i zu H durch den durch den Digonlenschnittpunkt geht durch M und wird bgebildet uf die Prllele i durch den entsprechenden Digonlenschnittpunkt von S gh H zu H. Der Schnittpunkt S i _ b von i mit mit ist Mittelpunkt von. D S i _ b ds ild von M ist folgt die ehuptung. H' g H ' g' i Si'_'' Sgh' h' i' ' ffine bbildungen sind teilverhältnistreu

19 us der Teilverhältnistreue ffiner bbildungen folgt zusmmen mit der Gerdentreue mit den gleichen rgumenten wie bei Kongruenzbbildungen: Eine ffine bbildung wird eindeutig festgelegt durch die bbildung eines einzigen Dreiecks. eweisidee übernächste Seite. Für Kongruenzbbildungen konnte leicht gezeigt werden, dss sich jedes Dreieck mit höchstens 3 chsenspiegelungen uf jedes kongruente Dreieck bbilden lässt. nlog können wir beweisen: Jedes Dreieck knn mit höchstens 3 chsenffinitäten uf jedes beliebige ndere Dreieck bgebildet werden. lle Dreiecke sind zueinnder ffin! eweisidee nächste Seite. Wieder folgert mn drus wie bei der Untersuchung der Kongruenzbbildungen: Die ffinen bbildungen sind genu die Verkettung von chsenffinitäten. ffine bbildungen durch Dreiecke festgelegt

20 Jedes Dreieck knn mit höchstens 3 chsenffinitäten uf jedes beliebige ndere Dreieck bgebildet werden. lle Dreiecke sind zueinnder ffin! '_uf_# ' ' Mn knn sogr zeigen, dss jedes Dreieck knn mit höchstens 2 chsenffinitäten uf jedes beliebige ndere Dreieck bgebildet werden. Mittelsenkrechte# # '' # ' # Dieser eweis ist llerdings schwieriger und verwendet Sätze us der Geometrie, die bisher nicht bewiesen wurden. '' Dreiecke durch chsenffinitäten ufeinnder bbilden 1

21 ufgbe: Ds Dreieck wird durch eine ffine bbildung uf ds Dreieck bgebildet. Konstruieren Sie ds ild eines beliebigen Punktes P. ' ' P ' Dreiecke durch chsenffinitäten ufeinnder bbilden 2

22 Mn knn zwei Seiten des Dreiecks, z.. und zur Definition eines Koordintensystems benutzen: Durch jeden Punkt P knn mn die Prllelen g zu und h zu zeichnen. Deren Schnittpunkte mit und bezeichnet mn mit x P und y P. Wegen der Teilverhältnistreue der ffinen bbildung liegen die ildpunkte x P von x P und y P von y P uf den verlängerten Seiten des ilddreiecks eindeutig fest. Wegen der Prllelentreue gehen g und h in Prllelen g zu durch x P bzw. h zu durch y P über. Ihr Schnittpunkt ist P. g h ' g ' y P P h P' y P ' x P x P ' ' Dreiecke durch chsenffinitäten ufeinnder bbilden 2 Demo

23 ufgbe ilden Sie mit der chsenffinität mit der chse, dem Winkel α und dem ffinitätsfktor k b. ) α =90, k = -½ b) α =60, k = -½ D M chsenffinität ufgbe 1

24 ufgbe Ein Kreis mit Mittelpunkt O(0/0) und Rdius ht im krtesischen Koordintensystem die Gleichung 2 2 x + y = Eine Ellipse wird ls senkrechtchsenffines ild eines Kreises definiert. Ist der Rdius des Kreises und verwendet mn ls ffinitätschse die x-chse, dnn erhält mn eine Ellipse mit den Hlbchsen und b. 2 b -4-3,5-3 -2,5-2 -1,5-1 -0,5 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 3,5 3 2,5 2 1,5 1 0,5 M -0,5 x P(x/y) y estimmen Sie den ffinitätsfktor k, mit dem die Ellipse us dem Kreis hervorgeht. estimmen Sie den Flächeninhlt der Ellipse mit den Hlbchsen und b. estimmen Sie die Gleichung der Ellipse mit den Hlbchsen und b und Mittelpunkt O. -1-1,5-2 -2, chsenffinität ufgbe 2 Ellipse Demo

25 Die Scherung: Spezilfll einer ffinen bbildung Während im llgemeinen ffine bbildungen nicht flächeninhltstreu sind, ergibt sich us den bisher gewonnen Ergebnissen : Wenn mn zwei chsenffinitäten mit ffinitätsfktoren k 1 und k 2 hintereinnder usführt, dnn ändert sich der Flächeninhlt von Figuren mit dem Fktor k 1 k 2. Ist k 1 k 2 =1, dnn müssen bei der Hintereinnderusführung Flächeninhlte erhlten bleiben! eispiele für solche Fktoren k 1 und k 2 könnten etw k 1 = -1, k 2 = -1 k 1 = 2, k 2 = ½ sein. Es gibt lso nichttrivile ffine bbildungen, die Flächeninhlte erhlten. Ein solcher Typ von bbildung, die Scherung, die in der Elementrgeometrie eine große Rolle spielt, soll jetzt untersucht werden. Scherung 1

26 ufgbe: Führen Sie hintereinnder zwei Schrägspiegelungen n zwei sich schneidenden chsen 1 und 2 mit der gleichen durch eine Gerde r gegebenen ffinitätsrichtung durch. Untersuchen Sie insbesondere die Punkte, die uf der durch den Schnittpunkt von 1 und 2 verlufenden Prllelen r 0 zu r liegen. r 1 2 S r 0 Scherung 2

27 eobchtung: Die Punkte uf r 0 sind Fixpunkte. Die Verbindungsgerden PP sind prllel zu r. Solche bbildungen nennt mn Scherungen. Zeigen Sie, dss mn diese bbildung uch durch ndere chsenffinitäten mit der gleichen ffinitätsrichtung drstellen knn. r 1 2 S r 0 Scherung 3

28 r P'' P Q FQ FP Durch einen Punkt P und seinen ildpunkt P ist eine Scherung eindeutig festgelegt. eschreiben Sie, wie mn zu jedem weiteren Punkt Q den ildpunkt konstruieren knn. Dies führt zur folgenden einfchen Definition einer Scherung uf der nächsten Seite. Scherung 4

29 Definition der Scherung Gegeben sind eine Scherungsgerde ein Scherungswinkel α, -90 < α < 90. P' P bbildungsvorschrift für Punkte P: α P P =P P P P, PF P P = α, wobei F P der Lotfußpunkt von P uf ist. FP lterntive Definition: Sttt des Winkels α gibt mn ds Scherungsverhältnis v n: (mit geeignetem Vorzeichen) v = tn α = PP' PF P Scherung Definition

30 Eigenschften der Scherung Fixelemente Fixpunkte: Die Punkte uf der Scherungschse Fixpunktgerde P' P Invrinten: α Zu den Invrinten llgemeiner ffinitätsbbildungen kommt hinzu: Flächeninhlt bleibt erhlten Umlufsinn bleibt erhlten FP Scherung Eigenschften

31 ufgbe Scheren Sie mit der chse und dem Winkel α = 60. Scheren Sie mit der chse und dem Winkel α = 60. Scheren Sie mit der chse und dem Winkel α = -30. D M Scherung ufgbe

32 Zum egriff Scherung In Physik, Technik oder Geogrphie unterscheidet mn n Grenzflächen wirkende Kräfte nch ihrer Richtung. Normlkrft: Scherkrft: Senkrecht zur Grenzfläche Prllel zur Grenzfläche Normlkrft Scherkrft Scherung egriff Scherkrft

33 nwendung 1 der Scherung: Flächeninhltsgleiche Umwndlung von n-ecken in Dreiecke Problem: Ein beliebiges n-eck soll mit Zirkel und Linel in ein flächeninltsgleiches Dreieck (Rechteck, Qudrt) umgewndelt werden. Lösung: Ecken ncheinnder bscheren, bis ein Dreieck entstnden ist (s. Skizze). F E' E D Ds Dreieck knn dnn in ein Rechteck und schließlich in ein Qudrt umgewndelt werden (mit dem Kthetenstz oder dem Höhenstz). Funktioniert ds Verfhren uch, wenn ds n-eck nicht konvex ist, lso etw die Ecke E einspringt? Scherung nwendung Flächentrnsformtion

34 Umwndlung bis zum Dreieck ' D' E' E F D Scherung nwendung Flächentrnsformtion

35 nwendung 2 der Scherung: eweis des Kthetenstzes Erklären Sie n Hnd der folgenden ildsequenz einen eweis für den Kthetenstz. D γ D γ D γ F F F E E E D γ F D γ F Ws geschieht mit diesem eweis, wenn ds Dreieck nicht rechtwinklig ist? E E Scherung nwendung Kthetenstz

36 nwendung 3 der Scherung: eweis des osinusstzes Wenn ds Dreieck bei keinen rechten Winkel besitzt, dnn knn mn immer noch ds Lot in uf ls Scherungschse benutzen: γ γ γ D F F D F F D F F F F F E E E Jetzt wird nicht mehr ds Qudrt über der Seite, sondern ds Rechteck us - der Projektion der Seite uf die Seite und - der Seite geschert. Erklären Sie den eweisgng und formulieren Sie den Zusmmenhng in Worten. Scherung nwendung osinusstz

37 osinusstz Für jedes Dreieck gilt die folgende Verllgemeinerung des Stzes von Pythgors: γ c = + b 2b cosγ egründen Sie diesen Schverhlt für spitzwinklige Dreiecke mit Hilfe der vorngehenden Überlegungen. Für beliebige Dreiecke wird der eweis im Zusmmenhng mit den trigonometrischen Funktionen im nächsten Kpitel behndelt. osinusstz

38 ufgbe 1 Konstruieren Sie ein Dreieck mit den Seitenlängen = 5 cm, b = 6 cm und c = 4 cm. erechnen Sie die Winkel in diesem Dreieck. c = + b 2b cosγ b = b + c 2bc cosα 2 2 = + c 2c cos β 6 cm b 5 cm ufgbe 2 c 4 cm Konstruieren Sie ein Dreieck mit den Seitenlängen b = 6 cm und c = 5 cm und α = 50. erechnen Sie die Seitenlänge in diesem Dreieck. b 6 cm γ 50 c α 5 cm β osinusstz nwendung1

39 ufgbe 1 Konstruieren Sie ein Dreieck mit den Seitenlängen = 5 cm, b = 6 cm und c = 4 cm. erechnen Sie die Winkel in diesem Dreieck. c = + b 2b cosγ b = b + c 2bc cosα 2 2 = + c 2c cos β 6 cm b 41,4 5 cm 55,8 82,8 ufgbe 2 c 4 cm Konstruieren Sie ein Dreieck mit den Seitenlängen b = 6 cm und c = 5 cm und α = 50. erechnen Sie die Seitenlänge in diesem Dreieck. 6 cm b 53,8 4,7 cm 50 c 5 cm 76,2 osinusstz nwendung1