WS 2008/09. Diskrete Strukturen

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1 WS 2008/09 Diskrete Strukturen Prof. Dr. J. Esparza Lehrstuhl für Grundlagen der Softwarezuverlässigkeit und theoretische Informatik Fakultät für Informatik Technische Universität München

2 Kapitel V Algebraische Strukturen Algebraische Strukturen Grundlagen Gruppen Endliche Körper 2

3 Sei A = S, eine Gruppe. Dann gilt: S enthält genau ein neutrales Element e. Jedes a 2 S hat genau ein inverses Element a -1. Für alle a S: a = (a -1 ) -1 (Involutionsgesetz) Für alle a,b,c S (Kürzungsregel): a c = b c c a = c b a = b a = b 3

4 Sei A = S, eine Gruppe. Dann gilt: Für alle a,x,b S (eindeutige Lösung linearer Glgn.) a x = b x = a -1 b x a = b x = b a -1 Für alle a,b,c S (Injektivität der Operation ) a b a c b c c a c b Für alle a,b S (Surjektivität der Operation ) ( x)(a x = b) und ( y)(y a = b) 4

5 Beweis: Beweis der Eindeutigkeit von e: Seien e 1, e 2 neutrale Elemente. Dann gilt e 1 = e 1 ± e 2 = e 2. Beweis der Eindeutigkeit von a -1 : Seien i 1, i 2 inverse Elemente von a. i 1 = i 1 ± e = i 1 ± (a ± i 2 ) = (i 1 ± a) ± i 2 = e ± i 2 = i 2. 5

6 Beweis: Beweis von: a = (a -1 ) -1 (Involutionsgesetz) (a -1 ) -1 =: b = b e = b (a -1 a) = (b a -1 ) a = e a = a. Beweis von: a c = b c a = b (Kürzungsregel) b = b (c c -1 ) = (b c) c -1 = (a c) c -1 = a (c c -1 ) = a. 6

7 Verknüpfung eines Elements mit sich selbst Definition: Sei A = S, eine Gruppe, a a 0 := e a n := a a n-1 = a n-1 a n 1 a -n := (a -1 ) n S, dann ist 7 Man bezeichnet a n auch als die n-te Potenz des Elements a.

8 Ordnung eines Gruppenelements Definition: Sei A = S, eine Gruppe mit dem neutralen Element e. Sei a S ein Gruppenelement mit a e. Dann ist die Ordnung ord(a) von a die minimale Zahl r N, so dass a r = e. Falls kein solches r existiert, dann ist ord(a) :=. 8

9 Ordnung eines Gruppenelements Beispiele: Z,+ : ord(1) =. Z 12,+ 12 : a ord(a)

10 Ordnung eines Gruppenelements Satz: Sei A = S, eine endliche Gruppe. Dann hat auch jedes Element in S endliche Ordnung. 10 Beweis: Sei a S beliebig. Mindestens zwei der Elemente a 0,,a S sind gleich (Schubfachprinzip). Wähle zwei Elemente a j = a k mit 0 j<k, so dass k minimal ist. Durch Multiplikation mit a -j erhält man a 0 = a k-j. Da k minimal gewählt wurde, kann dies nur für j=0 gelten, d.h. e=a 0 =a k. Aus der Minimalität von k folgt dann ord(a) = k.

11 Untergruppen 11 Definition: Eine Unteralgebra H, einer Gruppe G, heißt Untergruppe von G, falls H, ein Gruppe ist. Beispiele: Z, + ist Untergruppe von Q, +. Z n, + n ist nicht Untergruppe zu Z, +, da sich die Operationen unterscheiden.

12 Untergruppen Lemma: Ist G eine Gruppe und H eine Untergruppe von G, dann sind die neutralen Elemente von G und H identisch. Beweis: Seien e H und e G die neutralen Elemente von H und G. Dann gilt e H e H = e H = e G e H und daraus folgt e H = e G. 12

13 Untergruppen Satz: Jede Unteralgebra (bzgl. ) einer endlichen Gruppe ist eine Untergruppe. Beweis: Sei S, eine Unteralgebra einer endliche Gruppe T,. Sei b S, b e. Dann gilt: b n S für alle n N. Sei m := ord(b). Dann gilt: e = b m = b m-1 b = b b m-1 d.h. b m-1 S ist das Inverse zu b. 13

14 Untergruppen 14 Satz: Seien A 1 = S 1, und A 2 = S 2, Untergruppen von A = S,. Dann ist auch A 1 A 2 = S 1 S 2, eine Untergruppe von A. Beweis: a S 1 S 2 a -1 S 1 a -1 S 2 a -1 S 1 S 2