Logik für Informatiker

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1 Logik für Informatiker 3. Prädikatenlogik Teil Viorica Sofronie-Stokkermans Universität Koblenz-Landau 1

2 Semantik Semantik geben bedeutet für logische Systeme, einen Begriff von Wahrheit für Formeln zu definieren. Das hier für die Prädikatenlogik zu definierende Konzept geht auf Tarski zurück. In der klassischen Logik (zurückgehend auf ristoteles) gibt es nur die zwei Wahrheitswerte wahr und falsch, die wir mit 1 und 0 bezeichnen. 2

3 Strukturen Definition. ine Σ-Struktur (bzw. Σ-Interpretation bzw. Σ-Modell) ist ein Tripel = (U, (f : U n U) f /n Ω, (p U m ) p/m Π ) wobei U eine Menge, genannt Universum von. Oft identifizieren wir U mit, wenn die Interpretation der Funktions- und Prädikatensymbole eindeutig aus dem Kontext hervorgeht. Mit Σ-Str bezeichnen wir die Menge aller Σ-Strukturen. 3

4 Valuationen Variablen für sich haben keine Bedeutung. Hierfür müssen Wertebelegungen (Valuationen) explizit oder implizit aus dem Kontext zur Verfügung stehen. Definition. Unter einer (Variablen-) Belegung oder einer Valuation (über einer Σ-Struktur ) versteht man eine bbildung β : X U 4

5 Wert eines Terms in bzgl. β Durch strukturelle Induktion definieren wir: (β)(x) = β(x), x X (β)(f (s 1,...,s n )) = f ((β)(s 1 ),..., (β)(s n )), f /n Ω 5

6 Wert eines Terms in bzgl. β Wert eines Terms in bzgl. β, (β)(t): Falls t = x X: (β)(t) = β(x) Falls t = c eine Konstante: (β)(t) = c 6

7 Wert eines Terms in bzgl. β Wert eines Terms in bzgl. β, (β)(t): Falls t = x X: (β)(t) = β(x) Falls t = c eine Konstante: (β)(t) = c Falls t = f (t 1,...,t n ): (β)(t) = f ((β)(t 1 ),..., (β)(t n )) 7

8 Wert eines Terms in bzgl. β Wert eines Terms in bzgl. β, (β)(t): Falls t = x X: (β)(t) = β(x) Falls t = c eine Konstante: (β)(t) = c Falls t = f (t 1,...,t n ): (β)(t) = f ((β)(t 1 ),..., (β)(t n )) Beispiel: Σ = ({+/2,0/0}, {, }) N = (N, {0 N,+ N : N N N}, { N N N, N }) 0 N = 0 N, + N (n 1, n 1 ) = n 1 + n 2 N β : {x,y,z} N mit β(x) = 5, β(y) = 10, β(z) = 3 N(β)((x + (y + z)) + (z + 0)) = = (β(x) + N (β(y) + N β(z))) + N (β(z) + N 0 N ) = = (5 + (10 + 3)) + (3 + 0) = 21 8

9 Wahrheitswert einer Formel in bzgl. β Die Menge der Wahrheitswerte sei {0,1}. (β) : For Σ {0,1} wird induktiv über ufbau von F wie folgt definiert: (β)( ) = 0 (β)( ) = 1 9

10 Wahrheitswert einer Formel in bzgl. β (β)(p(s 1,...,s n )) = 1 (β)(s t) = 1 g.d.w. ((β)(s 1 ),..., (β)(s n )) p g.d.w. (β)(s) = (β)(t) 10

11 Wahrheitswert einer Formel in bzgl. β (β)( F) = 1 g.d.w. (β)(f) = 0 (β)(fρg) = B ρ ((β)(f), (β)(g)) mit B ρ die ρ zugeordnete Boolesche Funktion 11

12 Wahrheitswert einer Formel in bzgl. β (β)( (β)( xf) = min{(β[x a])(f)} = a U xf) = max{(β[x a])(f)} = a U ( 1 falls (β[x a])(f) = 1 für alle a U 8 >< >: 0 sonst 1 falls (β[x a])(f) = 1 für mindestens 0 sonst ein a U Für x X und a U bezeichne β[x a] : X U die Belegung, mit 8 < a falls x = y β[x a](y) := : β(y) sonst 12

13 Beispiel U N = {0, 1, 2,...} 0 N = 0 U N s N : U N U N, s N (n) = n N : UN 2 U N, + N (n, m) = n + m N : UN 2 U N, N (n, m) = n m N = kleiner-gleich UN 2 < N = kleiner UN 2 Mit β(x) = 1, β(y) = 3 ergibt sich beispielsweise: N(β)(s(x) + s(0)) = 3 N(β)(x + y s(y)) = 1 N(β)( N(β)( N(β)( x, y(x + y y + x)) = 1 z z y) = 0 x y x < y) = 1 13

14 Modelle, Gültigkeit, rfüllbarkeit 14

15 Gültigkeit und rfüllbarkeit Definition. F gilt in unter β:, β = F g.d.w. (β)(f) = 1 Definition. F gilt in ( ist Modell von F): = F g.d.w., β = F, für alle β : X U Definition. F ist (allgemein-) gültig: = F g.d.w. = F, für alle Σ-Str F heißt erfüllbar gdw. es und β gibt, so daß, β = F. Sonst heißt F unerfüllbar. 15

16 Folgerung und Äquivalenz Definition. F impliziert G (oder G folgt aus F), i.z. F = G gdw. für alle Σ-Str und β : X U gilt: Falls, β = F, so, β = G. Definition. F und G sind äquivalent gdw. für alle Σ-Str und β : X U gilt:, β = F genau dann, wenn, β = G. Satz. F impliziert G gdw. (F G) ist gültig Satz. F und G sind äquivalent gdw. (F G) ist gültig. rweiterung auf Formelmengen N in natürlicher Weise, z.b.: N = G gdw. für alle Σ-Str und β : X U : falls, β = F, für alle F N, so, β = G. 16

17 Gültigkeit und Unerfüllbarkeit Nachweis von Gültigkeit (und damit Folgerung oder Äquivalenz) durch Unerfüllbarkeitstest: F gültig genau dann, wenn F unerfüllbar 17

18 Universelle Quantifizierung Intuition xf entspricht in etwa der (unendlichen) Konjunktion aller Instanzen von F 18

19 Universelle Quantifizierung Intuition xf entspricht in etwa der (unendlichen) Konjunktion aller Instanzen von F Beispiel: x(studiertin(x, koblenz) schlau(x)) entspricht: (studiertin(student1, koblenz) schlau(student1)) (studiertin(student2, koblenz) schlau(student2))... (studiertin(koblenz, koblenz) schlau(koblenz)) 19

20 Universelle Quantifizierung Faustregel ist der logische (Top-level-)Operator mit 20

21 Universelle Quantifizierung Faustregel ist der logische (Top-level-)Operator mit Häufiger Fehler Verwendung von mit 21

22 Universelle Quantifizierung Faustregel ist der logische (Top-level-)Operator mit Häufiger Fehler Verwendung von mit Beispiel lle, die in Koblenz studieren, sind schlau Richtig: Falsch: x(studiertin(x, koblenz) schlau(x)) x(studiertin(x, koblenz) schlau(x)) lle studieren in Koblenz und sind schlau 22

23 Universelle Quantifizierung Faustregel ist der logische (Top-level-)Operator mit Häufiger Fehler Verwendung von mit Beispiel lle, die in Koblenz studieren, sind schlau Richtig: Falsch: x(studiertin(x, koblenz) schlau(x)) x(studiertin(x, koblenz) schlau(x)) lle studieren in Koblenz und sind schlau, d.h. lle studieren in Koblenz und alle sind schlau 23

24 xistenzielle Quantifizierung Intuition. xf entspricht in etwa der (unendlichen) Disjunktion aller Instanzen von F. 24

25 xistenzielle Quantifizierung Intuition. xf entspricht in etwa der (unendlichen) Disjunktion aller Instanzen von F. Beispiel: x(studiertin(x, landau) schlau(x)) entspricht (studiertin(student1, landau) schlau(student1)) (studiertin(student2, landau) schlau(student2))... (studiertin(landau, landau) schlau(landau)) 25

26 Universelle Quantifizierung Faustregel ist der logische (Top-level-)Operator mit 26

27 Universelle Quantifizierung Faustregel ist der logische (Top-level-)Operator mit Häufiger Fehler Verwendung von mit 27

28 Universelle Quantifizierung Faustregel ist der logische (Top-level-)Operator mit Häufiger Fehler Verwendung von mit Beispiel s gibt jemand, der in Landau studiert und schlau ist Richtig: Falsch: x(studiertin(x, landau) schlau(x)) x(studiertin(x, landau) schlau(x)) s gibt jemanden, der, falls er/sie in Landau studiert, schlau ist Trivial wahr, wenn es irgendjemanden gibt, der nicht in Landau studiert 28

29 igenschaften von Quantoren Quantoren gleicher rt kommutieren x x y ist das gleiche wie y ist das gleiche wie y y x x 29

30 igenschaften von Quantoren Verschiedene Quantoren kommutieren NICHT 30

31 igenschaften von Quantoren Verschiedene Quantoren kommutieren NICHT Beispiel: x y Mutter(x, y) Jeder hat eine Mutter (richtig) 31

32 igenschaften von Quantoren Verschiedene Quantoren kommutieren NICHT Beispiel: x y Mutter(y, x) Jeder hat eine Mutter (richtig) y x Mutter(y, x) s gibt eine Person, die die Mutter von jedem ist (falsch) 32

33 igenschaften von Quantoren Dualität der Quantoren x... ist das gleiche wie x... ist das gleiche wie x... x... 33

34 igenschaften von Quantoren Dualität der Quantoren x... ist das gleiche wie x... ist das gleiche wie x... x... Beispiel: x mag(x, eiskrem) ist das gleiche wie x mag(x,broccoli) ist das gleiche wie x mag(x, eiskrem) x mag(x, broccoli) 34

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