Vorwort. I Einführung 1. 1 Einleitung Signale Systeme Signalverarbeitung Struktur des Buches 9. 2 Mathematische Grundlagen 11

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1 Vorwort V I Einführung 1 1 Einleitung Signale Systeme Signalverarbeitung Struktur des Buches 9 2 Mathematische Grundlagen Räume Metrischer Raum Linearer Raum Normierte Räume Innenproduktraum Unitärer Raum Hilbert-Raum Basis Integraltransformationen Integrationskerne Zweidimensionale Transformationen Operatoren Lineare Operatoren Typen von linearen Operatoren Darstellungsmatrix Verschiebungsoperator 41

2 VIII Inhaltsverzeichnis 2.4 Holomorphe Funktionen Cauchy'sche Integralformel Laurent-Reihe Residuensatz 48 II Zeitkontinuum 51 3 Zeitkontinuierliche Signale Funktionenräume Signalklassen Norm und Innenprodukt von Signalen Norm und Innenprodukt mit Belegung Stochastische Signale Wahrscheinlichkeit Wahrscheinlichkeitsverteilung Stochastische Prozesse Deterministische Signale Orthogonale Funktionensysteme Biorthogonale Funktionensysteme Fourier-Reihe Fourier-Transformation Definition der Fourier-Transformation Eigenschaften der Fourier-Transformation Energie- und Leistimgsdichte Cosinus- und Sinus-Transformation Testsignale Dirac-Impuls Konstantes Signal Vorzeichenfunktion Einheitssprung Komplexe Schwingung Rechteckfunktion Exponentialimpuls Doppelseitige Exponentialfunktion Exponentialsignal Gauß-Impuls 112

3 IX 3.7 Besonderheiten der Fourier-Transformation Leckeffekt Gibbs'sches Phänomen Allgemeine Signaleigenschaften Zeitdauer-Bandbreite-Produkt Riemann-Lebesgue'sches Lemma Verwendung von Fensterfunktionen Zeitkontinuierliche Systeme Eigenschaften Lineare zeitinvariante Systeme (LTI-Systeme) Mehrgrößensysteme Systembeschreibung durch Differentialgleichungen Allgemeine Darstellung Zustandsraum Laplace-Transformation Definition Konvergenz der Laplace-Transformation Inverse Laplace-Transformation Eigenschaften Rücktransformation Anwendung bei der Systembeschreibung Vergleich zwischen Laplace- und Fourier-Transformation Systemfunktion Pol- und Nullstellen Verknüpfung von Systemfunktionen Frequenzgang Bode-Diagramm Minimalphasensystem und Allpass Strukturdarstellung kontinuierlicher LTI-Systeme Frequenzselektive Filter Filtertransformation Entwurf normierter Tiefpässe Bestimmving der Übertragungsfunktion Hilbert-Transformation 204

4 X Inhaltsverzeichnis III Zeitdiskretisierung Zeitdiskrete Signale Grundlagen Zeitdiskretisierung Abtasttheorem Aliasing Rekonstruktion Diskrete Zufallsvariablen Fourier-Transformation zeitdiskreter Signale Definition der Fourier-Transformation zeitdiskreter Signale Eigenschaften der Fourier-Transformation zeitdiskreter Signale Energie- und Leistimgsdichte Abtastfrequenz Überabtastung Unterabtastung Spektralanalyse Diskrete Fourier-Transformation (DFT) Schnelle Fourier-Transformation (FFT) Eigenschaften der DFT Auflösung im Zeit- und Frequenzbereich DFT einer komplexen Schwingimg ohne Leckeffekt DFT einer komplexen Schwingung mit Leckeffekt Zero-Padding Periodogramm Verwendung von Fensterfunktionen Definition Rechteckfenster Dreieckfenster Hann-Fenster Blackman-Fenster Dolph-Tschebyscheff-Fenster Zeitdiskretes Gauß-Fenster Zusammenfassung Weitere diskrete Transformationen Walsh-Transformation Allgemeine diskrete Transformation 285

5 XI 6 Zeitdiskrete Systeme Eigenschaften Lineare zeitinvariante Systeme (LTI-Systeme) Mehrgrößensysteme Systembeschreibung durch Differenzengleichungen Allgemeine Darstellung Zustandsraum Die z-transformation Definition Existenz der z-transformierten Inverse z-transformation Möglichkeiten der Rücktransformation Eigenschaften Systemfunktion Pol- und Nullstellen Verknüpfung von Systemen Frequenzgang Minimalphasensystem und Allpass Strukturdarstellung zeitdiskreter LTI-Systeme Linearphasige Systeme Definition und Eigenschaften Linearphasige FIR-Filter Zeitdiskrete Darstellung kontinuierlicher Systeme Aufbau Umsetzung der Übertragungsfunktion Impulsinvarianz Pol-/Nullstellenübertragung Numerische Integration Frequenzselektive Filter Kausales FIR-Filter über Impulsinvarianz Akausales FIR-Filter über die DFT IIR-Filter über die zeitdiskrete Übertragungsfunktion FIR-Filter über Transformation des Frequenzganges Spezielle zeitdiskrete Filter Zeitdiskrete Hilbert-Transformation Zeitdiskreter Differenzierer Korrektur der Gruppenlaufzeit eines Filters 383

6 XII Inhaltsverzeichnis IV Zeit-Frequenz-Analyse Signaldarstellung mit Frames Fensterfunktionen Verschiebungsinvarianz Effektive Zeitdauer und effektive Bandbreite Skalierung Skalierung im Zeit-und Frequenzbereich Skalierungsinvarianz Hilbert-Räume Basisfunktionen Orthonormalität Biorthonormalität Frames Straffe Frames Frames mit verschobenen Fensterfunktionen Kurzzeit-Fourier-Transformation Kontinuierliche Kurzzeit-Fourier-Transformation Definition und Interpretationen Spektrogramm Verschiebungsinvarianz Rekonstruktion des Zeitsignals Beispiele zur Kurzzeit-Fourier-Transformation Gabor-Reihe Diskretisierung von Zeit- und Frequenzverschiebimg Abtasttheorem für die Zeit-Frequenz-Verteilung Rekonstruktion des Zeitsignals Gabor-Reihe als Frame Diskrete Kurzzeit-Fourier-Transformation Definition Rekonstruktion des zeitdiskreten Signals Berechnung der Synthesefunktionen Filterbank-Interpretation Wavelet-Transformation Kontinuierliche Wavelet-Transformation Skalierung des Analysefensters 475

7 XIII Definition der Wavelet-Transformation Skalogramm Zulässigkeitsbedingung Zulässige Wavelet-Signale Eigenschaften Verschiebungs- und Affin-Invarianz Verteilung der Signalenergie Energieerhaltung Rekonstruktion des Signals im Zeitbereich Lokalisierungseigenschaft Reproduzierender Kern Wavelet-Funktionen Gabor-Wavelet (Morlet-Wavelet) Haar-Wavelet Shannon-Wavelet Semidiskrete dyadische Wavelets Dyadisch diskretisierter Skalierungsfaktor Rekonstruktion des Signals im Zeitbereich 505 A Fourier-Transformationen 509 B Laplace-Transformation 515 C z-transformation 519 D Blockschaltbilder 523 E Beweise 525 E.l Polarisationsgleichung 525 E.2 Zeitdiskrete Poisson'sche Summenformel 526 E.3 Innenprodukt von Gabor-Wavelets 528 Literaturverzeichnis 531 Index 535