Geometrie der Cartan schen Ableitung

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1 Geoetie de Catan schen Ableitung - -

2 Notation Sei + Sei + Wi bezeichnen it ( L den Vektoau alle fach ultilineaen Abbildungen f : -al 2 Wi bezeichnen it S die Guppe alle Peutationen σ : {,, } {,, } Des weiteen bezeichne sgn ( die Signu-Funktion von S 3 Sei f L, Wi definieen dann: ( f ist altenieend : π S,, v v f v,, v sgn ( π,, π π f v v 4 Wi definieen: ( : { f ( : f ist altenieend} L alt L ( L alt ist ein Untevektoau von ( L - 2 -

3 5 Sei V ein endlich diensionale Vektoau Sei f : V V eine lineae Abbildung Sei U ein Untevektoau von V Wi definieen dann: ( f V U f f f und f ( V U ist eine Pojektion von auf : Sei f eine Pojektion von V auf U Dann gilt: ( { } u U f u u und ken f U 0 6 Sei G eine offene Teilenge von Sei ϕ C G Dann bezeichne das sogenannte totale Diffeential von ϕ ( d ϕ : G L, 7 Sei G eine offene Teilenge von Wi definieen dann A ( G als die Menge alle altenieenden C Diffeentialfoen ω : G L alt ( Weitehin bezeichne d die sogenannte Catan sche ode äußee - Ableitung - 3 -

4 2 Pojektion und altenieende Multilineafoen Sei + Sei + Wi definieen nun eine offenba lineae Abbildung p :,, L L, duch ( v v (, ( v v ϕ L,,, p ϕ,, : : sgn ( σ ϕ v,, v σ σ! σ S Dann gilt de folgende Satz: Satz: Beh: p (, ist eine Pojektion von L ( auf L alt, Bew: In 3 Schitten: Es gilt p, ( ( alt ( zu zeigen: L L, dh es ist f L, p, f ist altenieend ( Beweis von (: Sei f L, Seien v,, v Sei π S - 4 -

5 Wi definieen nun w,, w duch { } i,, w : v (2 i π Dann gilt insbesondee: ( i { } κ S j,, w v κ j j π κ (3 Nun gilt: ( p ( f ( v,, v, sgn ( σ,,! f v v σ σ σ S sgn ( π σ f v,, v π σ π σ! σ S Dann folgt ittels (2 und (3: ( p ( f ( v,, v, ( f ( w, w ( f v, v π π sgn ( π σ f w,, w σ σ! σ S sgn ( π sgn ( σ f w,, w σ σ! σ S sgn π p,, sgn ( π p,, - 5 -

6 2 Es gilt p, ( ( alt (, L L wegen alt ( ( L L nu zu zeigen:, dh es ist ( p ( g g L alt, g (4 Beweis von (4: Sei g L alt, Seien v,, v Dann folgt: Da g ( p ( g ( v,, v, sgn ( σ g v,, v σ σ! σ S ( L alt,, gilt: (5 σ S g v,, v σ σ (6 Außede gilt: g ( v v sgn σ,, #S! (7 Aus (5 - (7 folgt offenba: ( p ( g ( v,, v g ( v,, v, - 6 -

7 3 Es gilt p, p, p,, dh es ist nu zu zeigen: h L ( ( p, p, ( h p, ( h Dies ist abe eine Konsequenz von ( und (4-7 -

8 3 Hilfsittel Satz: Foel fü die Signu-Funktion s gn auf S Vo: Sei + it 2 Beh: ( i π( j π π S sgn ( π i j i< j { } Be: Wegen S i d gilt offenba: {} π S sgn π i< j π ( i π( j i j - 8 -

9 Satz: Eine Eigenschaft de Signu-Funktion s gn auf S Vo: Sei + Sei π S + Beh: ( { } π + + ( π,, S sgn ( π {,, } sgn ( π + Bew: Gelte π ( + + Da π : {,, + } {,, + } bijektiv ist, folgt dann: bzw ( π {,, } : {,, } {,, } ( π { } ist bijektiv,, S Dann folgt sofot: ( i π( j π sgn + ( π i j i< j + π ( i π ( j π ( i π ( j i j i j i< j i< j + sgn π ( i π ( + ( π {,, } i ( + i sgn π ( i ( + ( π {,, } i ( + i sgn ( π {,, } - 9 -

10 Def: Sei + Sei k {,, + } Wi definieen dann λ k, S + duch i i < k i < + i {,, + } λ : i + i k i < + k, i k i + Be: Man kann λ k, auch wie folgt bescheiben: k k + λ k, + + k k k (* Dann gilt offenba: λ k, < < λ k, (** Satz: Vo: Sei + k,, + Sei { } Beh: ( λ ( sgn + +, k k Bew: Zunächst gilt: ( j λ ( i λ k, k, sgn λ + k, i j i< j + λ ( i λ ( j λ ( i λ ( + k, k, k, k, i j i ( + i< j i > 0 nach (** λ ( i k k, i ( + i - 0 -

11 Wi definieen eine Funktion : \ { 0} {, } + z > 0 z \ {} 0 V ( z : z < 0 Dann bleibt zu zeigen: V duch V i λ k, ( i k ( + k i ( + ( Beweis hievon: Offenba gilt: V i ( + ( (2 i Weitehin gilt nach (*: { } i,, k V λ k, ( i k und { } i k,, V λ k, ( i k + (3 (4 Mit (2 (4 folgt dann ( (Cave k! - -

12 4 Bekannte Eigenschaften de Catan schen Ableitung Satz: Invaiante Bescheibung de Catan schen Ableitung Vo: Sei + Sei + Sei G eine offene Teilenge von Sei ω A ( G Sei p G Seien v,, v 0 Beh: ( d ( v,, ω p 0 v ω k 0 ( ( v v v v 0 + ( v p k k k k d (,,,,, - 2 -

13 5 Neue invaiante Bescheibung de Catan schen Ableitung Satz: Vo: Sei + Sei + Sei G eine offene Teilenge von Sei ω A ( G Sei p G ζ L +, duch Wi definieen ( ( w,, ζ,, : w + w w + ( ( w w ( w p + : d ω,, Beh: ( p ( ζ ( d ω +, + p Bew: Seien v,, v + Es gilt nach Definition: ( p ( v,, v ζ +, + sgn σ ζ v,, v + σ σ ( + +! σ S + ( - 3 -

14 Nun gilt abe sgn + ( σ ζ v,, v σ σ ( + σ S + + sgn + ( σ ζ v,, v, v σ σ k k σ S + σ + k ( (2 und (Beweis von (3 späte σ S k {,, + } + σ ( + k ζ v,, v σ σ ( + sgn + σ λ ζ sgn + k, v,, v λ λ k, k +, + k (3 und { } { } k,, + # σ S + : σ + k! (4 Aus ( (4 folgt dann offenba: ( p ( v,, v +, ζ + (! + ( ζ k v,, v +! λ λ ( +,, k k k ( + ( k + k ( ω + p ( d p ( ( v,, v k, v k+,, v + ( v k ω ( d ( v,, v

15 Nun zu Beweis von (3: Sei {,, + } k Sei σ S + und gelte σ + k Wi definieen dann π S + duch π : σ λ S k, + (5 und u,, u duch { } i,, u : v i σ ( i (6 Dabei gilt wegen σ + k: π + + (7 Insbesondee gilt dann: j {,, } π ( j {,, } und u v π σ π( j j (8 Dait ehält an schließlich wegen (5 (8 und ω A ( G: ζ v,, v σ σ ( + ζ v,, v, v σ σ k ( u,, u, v ζ k sgn ( π {,, } ζ u,, u, v π π k sgn ( π ζ v,, v, v + σ π σ π k ( sgn σ λ ζ + k, v,, v, v λ λ k k, k, sgn σ λ + sgn + k, sgn + ( σ ζ v,, v λ λ ( + k, k, - 5 -

κ Κα π Κ α α Κ Α

κ Κα π Κ α α Κ Α κ Κα π Κ α α Κ Α Ζ Μ Κ κ Ε Φ π Α Γ Κ Μ Ν Ξ λ Γ Ξ Ν Μ Ν Ξ Ξ Τ κ ζ Ν Ν ψ Υ α α α Κ α π α ψ Κ α α α α α Α Κ Ε α α α α α α α Α α α α α η Ε α α α Ξ α α Γ Α Κ Κ Κ Ε λ Ε Ν Ε θ Ξ κ Ε Ν Κ Μ Ν Τ μ Υ Γ φ Ε Κ Τ θ

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