Othmar Marti Experimentelle Physik Universität Ulm

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1 PHYS3100 Grundkurs IIIb für Physiker Othmar Marti Experimentelle Physik Universität Ulm Vorlesung nach Tipler, Gerthsen, Känzig, Alonso-Finn Skript: Übungsblätter und Lösungen: November 2002 Universität Ulm, Experimentelle Physik

2 Influenz und Bildladung Links: Feldlinien in der Nähe eines Leiters. Rechts: Diese Feldlinien können mit einer Bildladung erklärt werden. Universität Ulm, Experimentelle Physik 1

3 Influenz und Bildladung II Da elektrische Feldlinien immer senkrecht auf der Oberfläche eines Leiters stehen müssen, sieht das Feldlinienbild einer Punktladung in der Nähe eines Leiters wie die Hälfte des Feldlinienbildes eines Dipols aus. Das elektrische Feld der Punktladung erzeugt an der Oberfläche die Influenzladung σ( r), die das äussere Feld im Leiter abschirmt. Formal kann das Feldlinienbild berechnet werden, indem man zu einer Ladung q im Abstand a von der Oberfläche eines Leiter im Leiter drin eine Bildladung q auch im Abstand a von der Oberfläche verwendet. Das Konzept der Bildladung zeigt, dass eine Ladung q im Abstand a von einem Leiter mit der Kraft angezogen wird. F (a) = 1 4πɛ 0 q 2 4a 2 (1) Universität Ulm, Experimentelle Physik 2

4 Bildladung III Die Senkrechtkomponente (z-komponente) des elektrischen Feldes ist im Abstand r vom Aufpunkt in der Leiteroberfläche E z (r, a) = 2 4πɛ 0 Damit ist die Oberflächenladungsdichte qa (r 2 + a 2 ) 3/2 (2) σ(r) = 1 2π qa (r 2 + a 2 ) 3/2 (3) Mit analogen Überlegungen kann auch die Bildladungsdichte von kontinuierlichen Ladungsverteilungen berechnet werden 1. 1 Auch bei Dielektrikas gibt es Bildladungen Universität Ulm, Experimentelle Physik 3

5 Kapazität: Integrationsfläche An der Oberfläche sind die E-Felder senkrecht zur Oberfläche Zwischen den Leitern ist ρ = 0, also U = 0 Die Ladungen auf den Leitern sind Oberflächenladungsdichten. Integrationsoberfläche an der Grenze Metall-Vakuum Universität Ulm, Experimentelle Physik 4

6 Kapazität II Wir betrachten eine kleine zylinderförmige Oberfläche und verwenden I s Eds = ρ eingeschlossen ɛ 0 (4) Da das Feld im Inneren des Leiters verschwindet und die Seitenflächen keinen Beitrag geben, ist ɛ 0 E = σ (5) Bei einer genügend grossen ebenen Fläche A ist die Ladung dann Q = Z σda = Z ɛ 0 E ɛ 0 E A (6) A A Universität Ulm, Experimentelle Physik 5

7 Kapazität U j U i = Q C ji = U ji = φ ij (7) mit U j dem Potential auf dem Leiter j und U i dem Potential auf dem Leiter i. C ji ist die Kapazität zwischen den Leitern i und j. Es ist C ij = C ji Die Einheit der Kapazität ist 1 F arad = 1 F = 1 C V = 1As V (8) Universität Ulm, Experimentelle Physik 6

8 Plattenkondensator Unendlich ausgedehnte homogene Flächenladung: E = σ 2ɛ 0 Kondensatorplatten (2 Seiten!) Q = 2Aσ = ɛ 0 EA. Geometrie eines Plattenkondensators. Wir betrachten auf beiden Seiten eine Fläche A die jeweils in eine unendlich ausgedehnte Fläche eingebettet ist. oder E = 2E Ebene (9) U 2,1 = E d = 2E Ebene d = 2 σ d = σd ɛ 0 ɛ 0 (10) U = σd ɛ 0 = Qd Aɛ 0 (11) Q U = ɛ A 0 d = C (12) Universität Ulm, Experimentelle Physik 7

9 Wie mache ich einen perfekten Kondensator? Die kleine Lücke stört das homogene Feld nur unwesentlich. Randeffekte werden so minimiert. Universität Ulm, Experimentelle Physik 8

10 Parallelschaltung von Kondensatoren Q 1 = C 1 U Q 2 = C 2 U Q 3 = C 3 U (13) Q ges = Q 1 + Q 2 + Q 3 = (C 1 + C 2 + C 3 )U (14) Q ges U = C ges = Q 1 + Q 2 + Q 3 U = C 1 + C 2 + C 3 (15) Universität Ulm, Experimentelle Physik 9

11 Parallelschaltung von Kondensatoren II bei Parallelschaltung C = n i=1 C i (16) Universität Ulm, Experimentelle Physik 10

12 Reihenschaltung von Kondensatoren Q = Q 1 = (U U 1 ) C 1 = Q 2 = (U 1 U 2 ) C 2 = Q 3 = U 2 C 3 Q C 1 = U U 1 Q C 2 = U 1 U 2 Q C 3 = U 2 (17) U = Q C 1 + Q C 2 + Q C 3 = Q = 1 C C C 3 Q C ges. (18) Universität Ulm, Experimentelle Physik 11

13 Reihenschaltung von Kondensatoren II Für die Reihenschaltung gilt 1 n 1 = (19) C ges C i i=1 Universität Ulm, Experimentelle Physik 12

14 Energie des elektrischen Feldes Ein Plattenkondensator der Kapazität C sei auf die Spannung U = Q C aufgeladen. Wir transportieren die Ladung Q von einer Seite zur anderen. Die Arbeit ist W (Q, Q + Q) = U Q = Q Q C (20) Dabei haben wir die Ladung Q über die Potentialdifferenz U transportiert. W (0, Q) = Z Q 0 QdQ C = Q2 2C (21) also E pot (C) = Q2 2C (22) Universität Ulm, Experimentelle Physik 13

15 Energie des elektrischen Feldes II oder mit C = ɛ 0 A d oder mit Q = U C E pot (d) = Q2 d 2ɛ 0 A E pot (U) = U 2 C 2 oder mit Q = EAɛ 0 und A d = V (das Volumen) (23) (24) E pot = E 2 A d ɛ 0 = E 2 V ɛ 0 = E D V (25) E oder mit w el = lim pot V 0 V der Energiedichte des elektrischen Feldes w el = ɛ 0E 2 2 = E D 2 (26) Universität Ulm, Experimentelle Physik 14

16 Energie des elektrischen Feldes III Die Kraft F V auf ein Volumenelement V wird durch F V ( r) = lim V 0 F V ( r) V = ρ el ( r) E ( r) (27) beschrieben, da F V ( r) = E ( r) Q = E ( r) ρ el V (28) Das elektrische Feld übt eine mechanische Spannung aus σ Maxwell = lim A 0 F ( r) A Diese Spannung wird Maxwellspannung genannt. Sie hat die Einheit des Druckes. (29) Die Oberflächenladungsdichte eines Metalls sei die Ursache des elektrischen Feldes. Wir hatten die potentielle Energie im Feld des Plattenkondensators ausgerechnet: E pot = Q2 2C. Die Arbeit, den Kondensator von d auf d + d zu bringen ist. Universität Ulm, Experimentelle Physik 15

17 Energie des elektrischen Feldes IV W (d, d + d) = F d = E pot (d + d) E pot (d) = Q2 2ɛ 0 A (d + d) Q2 d 2ɛ 0 A = Q2 d 2ɛ 0 A = Q2 A 2 da 2ɛ 0 = σ 2 da 2ɛ 0 = ɛ 2 0 E2 A d 2ɛ 0 = ɛ 0 2 E2 A d (30) Universität Ulm, Experimentelle Physik 16

18 Energie des elektrischen Feldes V und damit σ Maxwell = F A = ɛ 0 2 E2 = D E (31) Beispiel: In einem Laser können Felder von V/m auftreten. Dies entspricht einer Maxwell-Spannung von P a bar. Wichtig: Energiedichten haben die Einheit des Drucks. In jedem Raumgebiet, in dem Energie gespeichert wird, herrscht Druck. Universität Ulm, Experimentelle Physik 17

19 Elektrische Eigenschaften der Materie Schematisches Bild eines Atoms mit seiner Elektronenhülle nicht gefüllte Elektronenschale Atom oder Molekül α/ 10 H 0.7 Li 13 K 38 Cs Asm2 V gefüllte Elektronenschale Atom oder Molekül α/ 10 He 0.2 Li Ne 0.4 K Xe 3.5 O 3.5 CCL 4 10 CL 4 I 7 40 Asm2 V Universität Ulm, Experimentelle Physik 18

20 Dielektrika Isolatoren in einem Kondensatoren Universität Ulm, Experimentelle Physik 19

21 Dielektrizitätskonstanten Material ɛ Vakuum 1 Luft Parafin 2.1 Glas 5-9 Wasser(291k, 0Hz) 81 Wasser (291k, 1PHz 1,77 Universität Ulm, Experimentelle Physik 20

22 Polaristionen Anordnung permanenter Dipole ohne und mit elektrischem Feld. Links: unpolares Medium ohne äusseres elektrisches Feld. Rechts: mit einem nach links gerichteten elektrischen Feld. Universität Ulm, Experimentelle Physik 21

23 Kondensator mit Dielektrikum Links: Kondensator ohne und rechts: mit Dielektrikum Universität Ulm, Experimentelle Physik 22

24 Steigen eines Dielektrikums im Kondensator Links eine dielektrische Flüssigkeit im Kondensator ohne angelegtes Feld. Rechts mit angelegtem Feld. Skizze der Änderungen beim Anlegen einer Spannung Universität Ulm, Experimentelle Physik 23