4. Lineare Gleichungen mit einer Variablen

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1 4. Linere Gleichungen mit einer Vrilen 4. Einleitung Werden zwei Terme einnder gleichgesetzt, sprechen wir von einer Gleichung. Enthlten eide Terme nur Zhlen, so entsteht eine Aussge, die whr oder flsch sein knn. 3 5 whre Aussge whre Aussge 3 6 flsche Aussge Enthält die Gleichung mindestens Vrile (uch Uneknnte oder Pltzhlter gennnt), so wird die Gleichung zur Aussgeform. Je nchdem, welche Zhlen für die Vrile eingesetzt werden, erhlten wir eine whre oder flsche Aussge. Ds Finden der Zhl (oder der Zhlen), welche eine whre Aussge ergit, nennt mn Lösen der Gleichung. Die Lösung einer Gleichung ist die Menge der Zhlen, welche us der Aussgeform eine whre Aussge mcht. 6 Für 4 ergit sich die Aussge 4 6, ws einer whren Aussge entspricht. 4 ist die Lösung der Gleichung und wird ls Lösungsmenge wie folgt geschrieen: L { 4 }. Äquivlente Gleichungen Die eiden oigen Gleichungen sind äquivlent, denn sie ergeen diesele Lösung ( 4 ). Äquivlente ( gleichwertige) Gleichungen ergeen sich, wenn wir uf eiden Seiten einer Gleichung diesele Opertion nwenden: 6 Addition von uf eiden Seiten 3 7 Solnge wir lso die gleiche Opertion uf eide Seiten nwenden, entstehen äquivlente Gleichungen. Dies ist der Schlüssel zum Lösen von Gleichungen. Arten von Gleichungen Linere Gleichung: 4 Die Vrile ist in einfcher Form vorhnden. Der Eponent wird nicht geschrieen. Qudrtische Gleichung: 4 Die Vrile ist in der. Potenz (d.h. mit dem Eponent ) vorhnden. Dieser Typ Gleichungen wird in Kpitel 6 ehndelt. Arten von Vrilen Vrilen (uch Pltzhlter gennnt) sind es lso, die Aussgen in der Schwee hlten. Dei unterscheiden wir zwischen folgenden Vrilen: Uneknnte Prmeter ( Formvrile) Ihr Wert ist uneknnt und soll erechnet werden. Durch ds Einsetzen des erechneten Wertes entsteht eine whre Aussge. Sie werden mit Buchsten vom Ende des Alphets (z, y,, w, v, u...) ezeichnet. Ihr Wert ist sehr wohl eknnt, soll er im Moment nicht eingesetzt werden (um z.b. ein llgemeines Gesetz drzustellen). Sie werden mit Buchsten vom Beginn des Alphets (,, c, d...) ezeichnet. Linere Gleichungen mit einer Vrilen 65

2 4. Lösen einer lineren Gleichung mit einer Vrilen Um die Lösung einer Gleichung zu ermitteln, muss die Vrile uf einer Seite isoliert werden. Dies geschieht durch geeignete Äquivlenzumformungen. Eine Gleichung knn genu eine, keine oder unendlich viele Lösungen hen. Beim Lösen einer Gleichung können grundsätzlich folgende Schritte unterschieden werden: Definitionsmenge estimmen, d.h. den Definitionsereich der Gleichung festlegen Müssen ei der Definitionsmenge gewisse Zhlen usgeschlossen werden, schreien wir: D \ { }, wenn nicht sein drf ( ) Ausrechnen und Vereinfchen der eiden Seiten der Gleichung (sofern nötig) Isolieren der Vrilen durch Äquivlenzumformungen Addition oder Sutrktion einer Zhl zw. eines Termes uf eiden Seiten der Gleichung Multipliktion eider Seiten der Gleichung mit einer Zhl zw. einem Term ( 0) Division eider Seiten der Gleichung durch eine Zhl zw. einen Term ( 0) Lösungsmenge drstellen Je nch Kompleität der Ausgngsgleichung können die Punkte und vertuscht werden. Beispiele (G ) ) 4 3 ( 5 - ) - D (Schritt ist hier nur für die rechte Seite der Gleichung nötig.) : 6 L { } ) 4 3 ( ) D \ { } D ei einer Division der Nenner nicht Null sein drf, d.h. 3 ( - ) 0, folgt, dss nicht sein drf ( 3-3 ) 4 ( 3-3 ) usmultiplizieren : 4 4 die eiden Seiten dürfen vertuscht werden L { 4 } 66 Linere Gleichungen mit einer Vrilen

3 3 5 c) 5 D 4 4 D zusmmenfssen usrechnen : ( -0 ) L { - } L { - } 3 d) 0 D \ ; D \ { ½ ; } ( - ) ( - ) 3 ( ) ( ) 0 usmultiplizieren zusmmenfssen L { 5 } L { 5 } 8 e) 3 4 D \ 4 ; 3 4 D \ ( ) ( 3-4 ) (3 4) 8 ( ) ( ) (3 4) usmultiplizieren zusmmenfssen , -, : L { - } L { - } Linere Gleichungen mit einer Vrilen 67

4 f) D \ { 4 ; 6 ; 7 } D \ { 4 ; 6 ; 7 } ( - 7 ) ( - 6 ) ( 4 - ) ( 6) (4 ) ( 7) (4 ) ( 7) ( 6) usmultiplizieren ( 4) (4 ) ( L { 0 } L { 0 } ) , 3, Es esteht ein wesentlicher Unterschied zwischen den Lösungen L { 0 } und L { }. Die Lösung { 0 } ist eine Lösung mit dem Element 0 [ vgl. untenstehendes Beispiel g) ]. { } ist die leere Menge. Die Auflösung der Gleichung ergit eine flsche Aussge oder der Wert ist nicht in der Definitionsmenge enthlten [ vgl. untenstehendes Beispiel h) ]. g) ( ) - ( ) 3 D ( ) ( ) - ( ) ( ) ( ) , L { 0 } h) D \ { -4 ; 4 } ( 4)( 4) 4 4 ( 4 ) ( - 4 ) 5 3 ( - 4 ) 4 ( 4 ) usmultiplizieren zusmmenfssen , : 4 L { } Weil 4 nicht zur Definitionsmenge gehört, ist die Lösungsmenge leer. 68 Linere Gleichungen mit einer Vrilen

5 i) D \ { ; 3 } ( - ) ( - 3 ) ( 5 ) ( - 3 ) ( 3 ) ( - ) usmultiplizieren D die Gleichung -5-3 eine flsche Aussge ist, ergit jeder Wert für eine flsche Aussge, d.h. es git keine Lösung. L { } Es git er uch Gleichungen, ei denen jeder Wert für eine whre Aussge ergit. j) D \ { - } ( ) 3 3 ( ) 3 ( ) ( ) usmultiplizieren zusmmenfssen L \ { - } D die Gleichung 6 6 eine whre Aussge ist, ergit jeder Wert für eine whre Aussge. (usser für -, weil ei diesem Wert der Bruch nicht definiert ist). k) D \ { - } D \ { - } 3 4 ( ) ( ) ( - ) 3-4 usmultiplizieren, zusmmenfssen D die Gleichung - - eine whre Aussge ist, ergit jeder Wert für eine whre Aussge. (usser für -, weil ei diesem Wert der Bruch nicht definiert ist) L \ { - } L \ { - } Linere Gleichungen mit einer Vrilen 69

6 4.3 Linere Gleichungen mit Prmetern Prmeter sind uns von llgemeinen Formeln her eknnt. Sie vertreten eine Zhl, deren Wert llgemein gefsst werden soll. Beim Anwenden der Formel, der Ausrechnung, werden dnn die Prmeter durch die jeweiligen konkreten Werte ersetzt. K p Beim Ausrechnen vom gewünschten Jhreszins "Z" wird Z 00 "K" durch ds effektive Kpitl und "p" durch den effektiven Zinsstz ersetzt. Auch eine Gleichung knn zusätzlich zur Vrilen noch Prmeter (,, c, d...) enthlten, die stellvertretend für momentn noch nicht eknnte Werte stehen. Auch in dem Fll muss die Gleichung immer nch der Vrilen ufgelöst werden. Die Prmeter müssen nicht usgerechnet werden, sondern leien Teil der Lösung. Ds Lösungsvorgehen leit generell gleich, schwieriger gestltet sich er zum Teil ds Isolieren der gesuchten Vrilen. Beispiele (G ) ) D - (Ausdrücke mit der Vrilen uf eine Seite) - - (Ausdrücke ohne uf die ndere Seite) - - usklmmern ( - ) - : ( - ) ( ) ( ) d.h. ( - ) 0, folgt:. L { } ( ) ) D \ { - } ( ) - ( ) ( ) - -, - - usklmmern ( ) - : ( ) d.h. ( ) 0, folgt: -. L - 70 Linere Gleichungen mit einer Vrilen

7 4 c) 3 3 D 3 oder D ( 3 ) ( - 3 ) 3 3 ( - 4 ) ( 3 ) - ( - ) ( - 3 ) ( 3 ) ( - 3 ) ( ) , usklmmern ( 9 ) 3 36 : ( 9 ) ( 9) ( 4) 9 4 L { 4 } -9 d.h. ( 9 ) 0, folgt: -9. d) D D usklmmern ( ) : ( ) d.h. ( ) 0, folgt: - L { } - L { } - Linere Gleichungen mit einer Vrilen 7

8 e) ( ) ( ) D D ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) usmultiplizieren - - usklmmern ( ) vereinfchen ( ) ( ) ( ) : ( - ) ( - ) ( ) ( ) ( ) d.h. ( - ) 0, folgt: L L f) ( ) D 0 D 0 ( ) ( ) ( ) usmultiplizieren : L 0 folgt: 0 L 0 7 Linere Gleichungen mit einer Vrilen

9 ( ) g) D \ { 0 } D \ { 0 } ( ) ( ) ( ) usmultiplizieren : 4 4 d.h. 4 0, folgt: 0 L 0 L 0 h) D \ { - } 0 D \ { - } 0 ( ) ( ) ( ) usmultiplizieren zusmmenfssen - usklmmern ( )( ) ( ) : ( ) ( )( ) d.h. ( ) 0, folgt: - L { } - L { } - Linere Gleichungen mit einer Vrilen 73

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