Statistik im Versicherungs- und Finanzwesen

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1 Springr Gablr PLUS Zusatzinformationn zu Mdin von Springr Gablr Grimmr Statisti im Vrsichrungs- und Finanzwsn Ein anwndungsorintirt Einführung 04. Auflag Lösungssizzn dr Übungsaufgabn zu Kapitl 8 [Txt ingbn]

2 Grimmr Statisti im Vrsichrungs- und Finanzwsn,. Auflag 04 Aufgabn zu Abschnitt 8.: Aufgab 8..: a) Di Umfrag bziht sich auf Hssn und rfolgt nach Vorausstzung rpräsntativ. Wir önnn also in Zufallsauswahl bi großr Grundgsamthit (Hssn) annhmn, so dass n = 400 < 0,05 N gilt. Ist in Zufallsvariabl, di di Anzahl dr Ja-Antwortn untr 400 Bfragtn angibt, orrspondirt damit in ZV Pˆ ds Antilswrts dr Ja-Antwortn in Stichprobn ds Umfangs Ja-Antwortn ntsprchn inm Stichprobnantilswrt von pˆ = 0,; damit folgt di zwit Approximationsbdingung n pˆ qˆ 400 0, 0, Dr Stichprobnantilswrt Pˆ ist bi 400-lmntign Stichprobn also normalvrtilt mit dm zu schätzndn Erwartungswrt μ = p und dr Standardabwichung σ p pq/ n. Da dis unbannt sind, rstzn wir si durch dn Nährungswrt σ pˆ pˆqˆ / n 0, 0,8/ 400 0,0. Dr Schätzfhlr bim zwisitign Schätzn rgibt sich folglich zu z α / σpˆ, und das ist glich,645 0,0 = 0,033 für α = 90%,,96 0,0 = 0,039 für α = 95% und,576 0,0 = 0,055 für α = 99%. Di dri Konfidnzintrvall lautn somit pˆ ± = 0, ± 0,033 = [0,67; 0,33] bzw. pˆ ± = 0, ± 0,039 = [0,608; 0,39] bzw. pˆ ± = 0, ± 0,055 = [0,485; 0,55]. b) Darf dr Schätzfhlr in ggbn Größ nicht übrschritn, muss di Stichprobngröß gignt gwählt wrdn. Untr dr Annahm, dass di Approximationsbdingungn rfüllt sind, bstimmt man n aus dr Glichung z z z σpˆ z pq/ n zu n pq pˆqˆ, muss dann allrdings im Nachhinin noch di tatsächlich Gültigit dr Approximationsbdingungn für diss n übrprüfn. Ist p völlig unbannt, muss man für pˆ qˆ dn ungünstigstn, also größtmöglichn Wrt 0,5 annhmn und rhält so z n 0,5. Ist daggn brits in Grobschätzung für p vorhandn, vrwnd man dis, was mistns in linr Stichprobngröß rmöglicht. Mit = 0,005 und z -α/ = z 0,975 =,96 rgibt sich nun insgsamt i) n 0, ; ii) n 0,6 0, ; iii) n 0, 0, ,005 0,005 0,005 In alln dri Fälln sind offnsichtlich di Approximationsbdingungn tatsächlich rfüllt. Springr Gablr Wisbadn 04

3 Grimmr Statisti im Vrsichrungs- und Finanzwsn,. Auflag 04 Aufgab 8..: a) Di Zufallsvariabl zähl di Prsonn in inr Auswahl von 0 (bzw. 00), di nicht wissn, wi vil 30% sind. Exat müsst di Brchnung dr Wahrschinlichitn P( = ) anhand dr hyprgomtrischn Vrtilung mit dr Bvölrungszahl N rfolgn. Hir ann jdoch (lin Stichprob!) di Binomialvrtilung mit onstant angnommnr Erfolgswahrschinlichit p = 0,3 dafür, dass jmand nicht wiß, wi vil 30% sind, bnutzt wrdn. n = 0: n = 00: P ( P ( 3) 30) fb( 0; 0,3) 0,3 0,7 0, fb( 00; 0,3) 0,3 0,7 0, Vrgrößrn wir di Gruppngröß n und bstimmn di Wahrschinlichit, dass di Anzahl drr, di nicht Bschid wissn, größr als dr Erwartungswrt E() = 0,3 n, wird dis sich immr mhr 50% annährn, da das Profil dr Binomialvrtilung dann nahzu symmtrisch wird. So ist bspw. P( > 300) = 0,4844 bi n =.000 und P( > 3.000) = 0,495 bi n = b) Wir btrachtn widr di Zufallsvariabl Pˆ = / n mit n = 50. Approximationsbdingungn: N = Größ dr Gsamtbvölrung n = 50 < 0,05 N; 50 0,35 0,675 = 54,8 > 9 Pˆ ist vrtilt wi N(μ; σ p ), mit μ = p und σ σ Pˆ 0,35 0,675 / 50 0, 096 α = 5% z -α/ = z 0,975 =,96 Dr Schätzfhlr rgibt sich widr als Produt aus 97,5%-Quantil und Standardabwichung ds Stichprobnantilswrts zu =,96 0,096 = 0,058, das zwisitig Konfidnzintrvall dmnach zu pˆ 0,35 0,058 [0,67; 0,383]. z z,96,96 c) n pq pˆqˆ 0, bzw. n 0,3 0, Springr Gablr Wisbadn 04

4 Grimmr Statisti im Vrsichrungs- und Finanzwsn,. Auflag 04 Aufgab 8..3: a) : Anzahl BU-britr Studntn in inr Stichprob von n = 00 Studntn; Pˆ = / n ntsprchndr Stichprobnantilswrt Approximationsbdingungn: 00 < 0, = 5; 00 0, 0,8 = 6 > 9 (s wurd dr linst bobachtt Stichprobnantilswrt 0, vrwndt) Pˆ ~ N(μ; σ p ) mit σ σ ; 0, pˆ 0,34; z -α/ = z 0,95 =,645 p pˆ Arbitsgrupp : σ pˆ 0,0444 0,073 KI 0,7 0,073 [0,97; 0,343] Arbitsgrupp : σ pˆ 0,0439 0,07 KI 0,6 0,07 [0,88; 0,33] Arbitsgrupp 3: σ pˆ 0,046 0,076 KI 0,3 0,076 [0,34; 0,386] Arbitsgrupp 4: σ pˆ 0,0444 0,073 KI 0,7 0,073 [0,97; 0,343] Arbitsgrupp 5: σ pˆ 0,0433 0,07 KI 0,5 0,07 [0,79; 0,3] Arbitsgrupp 6: σ pˆ 0,0474 0,078 KI 0,34 0,078 [0,6; 0,48] Arbitsgrupp 7: σ pˆ 0,046 0,076 KI 0,3 0,076 [0,34; 0,386] Arbitsgrupp 8: σ pˆ 0,04 0,069 KI 0,3 0,069 [0,6; 0,99] Arbitsgrupp 9: σ pˆ 0,0400 0,066 KI 0,0 0,066 [0,34; 0,66] Arbitsgrupp 0: σ pˆ 0,0454 0,075 KI 0,9 0,075 [0,5; 0,365] b) Di Intrvallschätzung dr Arbitsgrupp 9 (mit pˆ 0, ) nthält dn wahrn Wrt 0,8 nicht, währnd all andrn Schätzungn zuvrlässig sind. Ein von zhn Schätzungn ist dmnach fhlrhaft, was dm vorggbnn Konfidnznivau von 90% ntspricht. Zufallsbdingt ann s natürlich passirn, dass all zhn Schätzungn vrlässlich sind; bnso gut önntn auch durchaus inmal zwi odr mhr Arbitsgruppn Konfidnzintrvall rmittln, di nicht trffsichr sind. Aufgab 8..4: Pˆ Antilswrt positivr Antwortn in Stichprobn dr Größ n = 875; 9/875 0,04; a) : pˆ α = 0,95 Für dn gsuchtn Antilswrt ist in Obrgrnz zu bstimmn (Schlüsslwort: maximal). Approximationsbdingungn: n = 875 < 0,05 N, da sich N auf in Zilgrupp in ganz Dutschland bziht; 875 0,04 0,896 = 8,5 > 9 Di Standardabwichung von Pˆ ist nährungswis ggbn durch σ pˆ 0,04 0,896 / z α σ z 0,95 σ, Pˆ Pˆ KI = [0; 0,04 + 7] = [0; 0,] Dr gsucht Maximalwrt ligt bi,%.,645,645 b) n 0, ohn Vorinformation übr p, n 0, 0, Antilswrt rlativ lin, sind also dutlich linr Stichprobn ausrichnd. mit p 0,. Ist dr gsucht Springr Gablr Wisbadn 04

5 Grimmr Statisti im Vrsichrungs- und Finanzwsn,. Auflag 04 Aufgab 8..5: Pˆ Antilswrt positivr Antwortn in Stichprobn dr Größ n =.045; 30 /.045 0,; a) : pˆ α = 0,90 Für dn gsuchtn Antilswrt ist in Untrgrnz zu bstimmn (Schlüsslwort: mindstns). Approximationsbdingungn: n =.045 < 0,05 N, da sich N auf inn großn Vrsichrr bziht;.045 0, 0,78 = 79 > 9 Di Standardabwichung von Pˆ ist nährungswis ggbn durch σ pˆ 0, 0,78 / z α σ z 0,9 σ, KI = [0, 7;,0] = [0,03;,0] Pˆ Pˆ Dr gsucht Mindstwrt ligt bi 0,3%.,8,8 b) n 0, ohn Vorinformation übr p, n 0,5 0, mit p 0,5. c) Sich slbst ds Vrsichrungsbtrugs zu bzichtign, ist in vrbritt Tugnd. Bi Fragn, di riminlls Vrhaltn dr Probandn, dn Intimbrich o. ä. btrffn, ist damit zu rchnn, dass vil Prsonn nicht orrt odr hrlich antwortn. Drartig Bfragungsrgbniss sind dshalb immr mit größtr Vorsicht zu gnißn, auch wnn si statistisch sriös dahrommn. Aufgab 8..6: a) Pˆ : Antilswrt ngativr Antwortn zum Euro-Bitritt in Stichprobn dr Größ n =.0; pˆ 688 /.0 0,6; α = 0,95 Für dn gsuchtn Antilswrt ist in Untrgrnz zu bstimmn (Schlüsslwort: höchstns). Approximationsbdingungn: n =.0 < 0,05 N, da sich N auf di Britn bziht;.0 0,6 0,38 = 6 > 9 Di Standardabwichung von Pˆ ist nährungswis ggbn durch σ pˆ z 0,6 σ 0,38 /.0 z σ 46, ,04 α Pˆ 0,95 Pˆ KI = [0; 0,6 + 0,04] = [0; 0,644] Dr gsucht Höchstwrt ligt bi 64,4%. b) Mit n =.066 rfolgt di glich Rchnung wi in Til a), ldiglich das Konfidnzintrvall ist nach untn bgrnzt. Man rhält als Zwischnwrt pˆ 795 /.066 0,746; σ 33; z σ 0, 0 Pˆ 0,95 Pˆ und damit als Mindstwrt 0,746 0,0 = 0,74 ˆ 7,4%. c) Offnbar lign di bidn Wrt um acht Prozntpunt ausinandr, das ist das Vir- bis Fünffach ds Schätzfhlrs und damit durch Zufallsfft aum zu rlärn. Vilmhr ist von Untrschidn in dr Bfragungstchni odr Fragstllung auszughn, di bi Bfragungn mit politischr Tndnz wohlbannt sind: Di Ergbniss habn in solchn Fälln oft in Schlagsit, di von dr politischn Orintirung dr Auftraggbr odr dr di Bfragung durchführndn Organisation abhängt. Springr Gablr Wisbadn 04

6 Grimmr Statisti im Vrsichrungs- und Finanzwsn,. Auflag 04 Aufgabn zu Abschnitt 8.3: Aufgab 8.3.: a) ist in rwartungstrur Schätzr für μ, das hißt E() μ 80, σ ds Stichprobnmittlwrts ist ggbn durch σ / n 0 / 00. di Standardabwichung Ist normalvrtilt, so auch ; bi inm andrn Vrtilungstyp von ist nach dm Gstz dr großn Zahln immrhin noch nährungswis normalvrtilt. Dis gilt im vorligndn Fall, da di Stichprob mit n = 00 > 30 in hinrichnd absolut Anzahl an Elmntn umfasst. b) Nach dm Inlusionsschlussprinzip gilt wgn dr Normalvrtilung ds Stichprobnmittlwrts : P(80 FSN () 80 FSN ( ) ) 78 E() 8 E() P Z σ σ 0,843 0,587 0,686 68% Di vorggbn insitig Intrvallbrit ntspricht grad inr Standardabwichung von. Ein Abwichung von ±4 ntspricht zwi Standardabwichungn, dahr gilt P(76 84) P( Z ) P Z 8 FSN () FSN ( ) 0,977 0,08 0, P( Z ) Aufgab 8.3.: a) P(,8) = P( <,8) = F t (,8 ν = 0) = 0,975 = 0,05, wobi F t (t α ν = 0) für dn Wrt dr Vrtilungsfuntion dr t-vrtilung mit zhn Frihitsgradn zum α-quantil t α stht. b) P( <,764) = F t (,764 ν = 0) = 0,99 c) P(,8 < 3,69) = F t (3,69 ν = 0) F t (,8 ν = 0) = 0,995 0,95 = 0,045 d) P(,8 < <,8) = F t (,8 ν = 0) F t (,8 ν = 0) = 0,95 0,05 = 0,9 Dis folgt wi bi dr Normalvrtilung aus dr Symmtri dr t-vrtilung, dnn damit hat man F t (,8 ν = 0) = F t (,8 = 0) = 0,95 = 0,05. Aufgab 8.3.3: a) normalvrtilt, bannt Struung σ = 3, lin Stichprob zu n = 6 30 ist normalvrtilt mit Struung σ σ / 6 0,75.,995 σ; x z0,995 σ] [3,575 0,75;3,575 0,75] [,07;4,93] 3, 93 b) normalvrtilt, bannt Struung σ = 4, groß Stichprob zu n = 64 > 30 ist normalvrtilt mit Struung σ σ / 64 0,5.,995 σ; x z0,995 σ] [3,575 0,5;3,575 0,5] [,7;4,9] 3, 9 c) normalvrtilt, unbannt Struung, lin Stichprob zu n = 6 30, Struung aus dr Stichprob gschätzt zu σˆ 3, ist t-vrtilt mit ν = n = 5 Frihitsgradn und Struung σˆ σˆ / 6 0,8. KI [x t σˆ ; x t σˆ ] [3,947 0,8;3,947 0,8] [0,64;5,36] 3, 36 5 ;0,995 5;0,995 Das Konfidnzintrvall ist also twas größr als im Fall banntr Struung in Til a), was di zusätzlich Schätzunsichrhit für σˆ zum Ausdruc bringt. Springr Gablr Wisbadn 04

7 Grimmr Statisti im Vrsichrungs- und Finanzwsn,. Auflag 04 d) normalvrtilt, unbannt Struung, groß Stichprob zu n = 64 > 30, Struung aus dr Stichprob gschätzt zu σˆ 3,6 ist approximativ normalvrtilt mit Struung σˆ σˆ / 64 0,45.,995 σˆ ; x z0,995 σˆ ] [3,575 0,45;3,575 0,45] [,84;4,6] 3, 6 ) Di Konstllation ntspricht dr in Til c), di Schätzwrt x und σˆ müssn aus dn Mssdatn brchnt wrdn. x ; ˆ 6 [( ist t-vrtilt mit ν = n = 5 Frihitsgradn und Struung σˆ σˆ / 6 0,736. KI [x t σˆ ; x t σˆ ] [3,947 0,736;3,947 0,736] [0,83;5,7] 3, 7 5 ;0,995 5;0,995 f) Vrtilung von unbannt, lin Stichprob zu n = 6 30 Di approximativ Vrtilung von und drn Quantil önnn nicht bstimmt wrdn; di Aufgab ist so nicht lösbar. g) Vrtilung von unbannt, groß Stichprob zu n = 64 > 30, Struung aus dr Stichprob gschätzt zu σˆ 3, 6 ist nach dm Gstz dr großn Zahln approximativ normalvrtilt mit Struung σˆ σˆ / 64 0, 45,995 σˆ ; x z0,995 σˆ ] [3,575 0,45;3,575 0,45] [,84;4,6] 3, 6 Das Schätzrgbnis ntspricht somit dm aus Til d). Da übr di Vrtilung von nichts bannt ist, ist di Güt dr Approximation dr Vrtilung von durch di Normalvrtilung nicht gnau bstimmbar. Im Brich 30 < n < 50 wird in dr Litratur dshalb glgntlich in Zuschlag zum Schätzfhlr mpfohln. Andr Statistir mpfhln, di Mssdatn dr Stichprob auf Symmtri zu prüfn und bi dutlichr Abwichung von inr symmtrischn glocnförmign Strutur di t-vrtilung und rst ab n 50 di Normalvrtilungsapproximation zu vrwndn. 3) (8 3) (9 3) (8 3) ],944 Aufgab 8.3.4: a) : Anzahl dr Dibstähl j Einwohnr pro Jahr, (nährungswis) normalvrtilt mit banntr Standardabwichung σ = 85, lin Stichprob zu n = 5 30, Stichprobnmittlwrt x 77 ist normalvrtilt mit Struung σ σ / 5 7. Dr gsucht Höchstwrt für di Dibstahlhäufigit rgibt sich dann als Obrgrnz ins insitign Konfidnzintrvalls: α = 0,90 KI [0; x z0,90 σ] [0; 77,8 7] [0; 98,8 ], α = 0,95 KI [0; x z0,95 σ] [0; 77,645 7] [0; 305,0], α = 0,99 KI [0; x z0,99 σ] [0; 77,37 7] [0;36,6] b) Di Struung muss aus dn 5 Datn dr Stichprob gschätzt wrdn, ist t-vrtilt mit ν = n = 4 Frihitsgradn und im Schätzfhlr sind di Quantil dr Normalvrtilung durch di (größrn) dr t-vrtilung zu rstzn. Für di Stichprobnstruung rgibt sich nährungswis σˆ σˆ / 5 88 / 5 7,6. Di Konfidnzintrvall lautn nun: α = 0,90 KI [0; x t4 ;0,90 σ] [0; 77,38 7,6] [0; 300,], α = 0,95 KI [0; x z0,95 σ] [0; 77,7 7,6] [0; 307,], α = 0,99 KI [0; x z0,99 σ] [0; 77,49 7,6] [0; 30,9] Wgn dr größrn Unschärf dr Datn rgbn sich hirbi also twas größr Höchstwrt als im Til a). Springr Gablr Wisbadn 04

8 Grimmr Statisti im Vrsichrungs- und Finanzwsn,. Auflag 04 Aufgab 8.3.5: a) : Pris dr Rparaturlistung in inr zufällig ausgwähltn Wrstatt, unbanntr Vrtilungstyp, groß Stichprob zu n = 40 > 30, unbannt und aus dr Stichprob gschätzt Standardabwichung σˆ 768, x.753 ist nach dm Gstz dr großn Zahln approximativ normalvrtilt mit Struung σˆ σˆ / 40,4.,99 σˆ ; x z0,95 σˆ ] [.753,645,4;.753,645,4] [.553;.953] =.753 ± 00 b) Dr Schätzfhlr soll von 00 auf 80 gsnt wrdn. Da das Konfidnznivau bibhaltn wrdn soll, muss di Stichprob vrgrößrt wrdn; di Approximationsaussag aus Til a) blibt dabi gültig. z σˆ, z0,95 σˆ z0, 95 σˆ / n 80 n 50 Da nicht untrstllt wrdn ann, dass für σˆ dr Wrt dr Stichprob aus Til a) idntisch vrwndt wrdn ann, mpfihlt sich in twas größr Stichprob. Faustrgl: Ght man von inm Fhlr von 5% zwischn σˆ und σ aus, sollt n ggnübr obigr Brchnung um 0% rhöht wrdn. 80 Aufgab 8.3.6: a) : durchschnittlichr jährlichr Bruttojahrsgwinn pro Mitarbitr inr Ban, unbanntr Vrtilungstyp, groß Stichprob zu n = 4 > 30, unbannt Standardabwichung ist nach dm Gstz dr großn Zahln approximativ normalvrtilt. Man bacht, dass slbst in Mittlwrt für di Mitarbitr inr Ban ist. Di hir btrachttn Mrmalsträgr sind jdoch di inzlnn Bann, nicht drn Mitarbitr. Dshalb ist in gwöhnlichs mtrischs Mrmal mit gnau inr Ausprägung j Ban. Dn Datn ntnimmt man x 43, T$. Aus σ,65t$ folgt σ,65 / 4,95 T$. Di gsucht Untrgrnz rgibt sich als Grnz ins insitign Konfidnzintrvalls: KI [x z0,90 σˆ ; ) [43,,8,95; ) [40,7; ) Di gsucht Untrgrnz bträgt also Dollar mittlrr Jahrsgwinn für all Mitarbitr ds untrsuchtn Bannsgmnts. b) Zur ggbnn Irrtumswahrschinlichit ligt dr Wrt Dollar außrhalb ds Konfidnzintrvalls. Mit inr Sichrhit von 90% rziln also di Mitarbitr dr fraglichn Ban im Durchschnitt inn nidrigrn Jahrsgwinn als im Durchschnitt ds gsamtn Bannsgmnts. Aufgab 8.3.7: a) :Qualitätsnot ins zufällig ausgwähltn Kundn dr Banfilial, unbanntr Vrtilungstyp, groß Stichprob zu n = 50 > 30, unbannt Standardabwichung ist nach dm Gstz dr großn Zahln approximativ normalvrtilt. Dn Datn ntnimmt man x 6,34. Aus σˆ, 63 folgt σˆ,63 / 50 0,306. KI [x z0,975 σˆ ; x z0,975 σˆ ] [6,34,96 0,306; 6,34,96 0,306] [5,74; 6,94] b) Da dr Schätzfhlr sich umghrt proportional zur Wurzl aus dr Stichprobngröß n vrändrt, rfordrt di Rduzirung von um dn Fator 3 von 0,6 auf 0, in nunfach Stichprobngröß, also mindstns n = ,34 0,6 Springr Gablr Wisbadn 04

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