Mathematik I für Studierende der Informatik und Wirtschaftsinformatik (Diskrete Mathematik) im Wintersemester 2015/16

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1 Mathematik I für Studierende der Informatik und Wirtschaftsinformatik (Diskrete Mathematik) im Wintersemester 2015/ November 2015

2 Satz 3.16 (Binomischer Lehrsatz) Seien a, b R. Dann gilt für alle n N 0 (a+b) n = n ( ) ( ) ( ) n n n a n i b i = a n + a n 1 b+...+ ab n 1 +b n. i 1 n 1 i=0 Beispiel Für n = 2 ergibt sich die bekannte binomische Formel (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b Für n = 3 gilt (a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b Für n = 4 gilt (a + b) 4 = a 4 + 4a 3 b + 6a 2 b 2 + 4ab 3 + b 4.

3 Wir bemerken noch zwei wichtige Regeln für Binomialkoeffizienten. Korollar Für alle n N 0 gilt 2 n = n ( n ) i=0 i. 2. Für alle n, k N 0 mit n k gilt ( ) ( n k = n n k). Korollar 3.19 Sei n N 0 und sei M eine n-elementige Menge. Dann hat P(M) genau 2 n Elemente.

4 Grundaufgabe 4. Sei n N und k N 0. Es seien n Gefäße K 1,..., K n gegeben, auf die k ununterscheidbare Kugeln verteilt werden sollen. Wieviele Möglichkeiten gibt es, die Kugeln zu verteilen? Antwort. Es gibt ( ) n+k 1 k Möglichkeiten, die Kugeln zu verteilen. Beispiel 3.20 Angenommen, k Abgeordnete wählen je einen von n Kandidaten. Keiner der Abgeordneten enthält sich. Dann gibt es ( ) n+k 1 k mögliche Verteilungen der k Stimmen auf die n Kandidaten.

5 Grundaufgabe 5. Gegeben seien r verschiedene Zeichen Z 1,..., Z r. Wie viele verschiedene Zeichenfolgen der Länge n kann man aus den Zeichen Z 1,..., Z r bilden, wenn man verlangt, dass das Zeichen Z 1 genau n 1 -mal auftritt, das Zeichen Z 2 genau n 2 -mal und so weiter. Beispiel 3.21 Wie viele Wörter lassen sich aus den Buchstaben des Wortes ANAGRAMM bilden (wobei alle Buchstaben verwendet werden sollen)?

6 Antwort zu Grundaufgabe 5. Es gibt genau (n n r )! n 1!... n r! Zeichenfolgen aus den Zeichen Z 1,..., Z r, in denen für jedes i {1,..., r} das Zeichen Z i genau n i -mal vorkommt. Definition 3.22 Seien n 1,..., n r N 0 und n = r i=1 n i. Dann nennt man ( ) n = n 1,..., n r einen Multinomialkoeffizienten. n! n 1!... n r!

7 Im Spezialfall r = 2 sind die Multinomialkoeffizienten genau die schon betrachteten Binomialkoeffizienten. Sei nämlich n = n 1 + n 2. Dann gilt ( ) n = n 1, n 2 n! n 1! n 2! = n! n 1! (n n 1 )! = = ( ) n n 1 n! n 2! (n n 2 )! = ( ) n. n 2

8 Die ersten vier Grundaufgaben gehen alle auf dieselbe grundlegende Frage zurück: Wieviele Möglichkeiten gibt es, k Elemente aus einer n-elementigen Menge zu ziehen? Dabei wird auf unterschiedliche Weisen gezogen, und die Ergebnisse werden auf unter schiedliche Arten gezählt. Es gibt folgende Möglichkeiten: 1. Ziehen mit Zurücklegen, wobei die Reihenfolge, in der die Elemente gezogen werden, berücksichtigt wird. 2. Ziehen ohne Zurücklegen, mit Berücksichtigung der Reihenfolge. 3. Ziehen ohne Zurücklegen, ohne Berücksichtigung der Reihenfolge. 4. Ziehen mit Zurücklegen, ohne Berücksichtigung der Reihenfolge.

9 Satz 3.23 Seien n, k N 0. Dann gibt es genau n k Möglichkeiten, k Elemente mit Zurücklegen aus einer n-elementigen Menge zu ziehen, wobei die Reihenfolge, in der die Elemente gezogen werden, berücksichtigt wird. Beweis. Die Möglichkeiten, die k Elemente zu ziehen, entsprechen genau den k-tupeln von Elementen der n-elementigen Menge. Gemäß der Lösung von Grundaufgabe 1 gibt es also genau n k Möglichkeiten.

10 Satz 3.24 Seien n, k N 0 mit k n. Dann gibt es genau n k Möglichkeiten, k Elemente ohne Zurücklegen aus einer n-elementigen Menge zu ziehen, wobei die Reihenfolge, in der die Elemente gezogen werden, berücksichtigt wird. Beweis. Die Möglichkeiten, die k Elemente zu ziehen, entsprechen genau den k-tupeln von Elementen der n-elementigen Menge, in denen kein Element doppelt vorkommt. Gemäß der Lösung von Grundaufgabe 2 gibt es also genau n k Möglichkeiten.

11 Satz 3.25 Seien n, k N 0 mit k n. Dann gibt es genau ( n k) Möglichkeiten, k Elemente ohne Zurücklegen aus einer n-elementigen Menge zu ziehen, wobei die Reihenfolge, in der die Elemente gezogen werden, nicht berücksichtigt wird. Beweis. Die Möglichkeiten, die k Elemente zu ziehen, entsprechen genau den k-elementigen Teilmengen der n-elementigen Menge. Gemäß der Lösung von Grundaufgabe 3 gibt es also genau ( ) n k Möglichkeiten.

12 Satz 3.26 Seien n, k N 0. Dann gibt es genau ( ) n+k 1 k Möglichkeiten, k Elemente mit Zurücklegen aus einer n-elementigen Menge zu ziehen, wobei die Reihenfolge, in der die Elemente gezogen werden, nicht berücksichtigt wird.

13 Satz 3.27 (Multinomialsatz) Seien r, n N 0. Dann gilt für alle x 1,..., x r R ( ) (x x r ) n n = x n 1 1 n 1,..., n... x r nr. r n n r =n Diese Summe läuft über alle r-tupel (n 1,..., n r ) N r 0 mit n n r = n. Man beachte, dass man für r = 2 aus dem Multinomialsatz genau den Binomialsatz erhält.

14 Beispiel 3.28 Nach Ausmultiplizieren von (x + y + z) 10 ist der Koeffizient vor dem Produkt x 5 y 3 z 2 die Zahl ( ) 10 = 5, 3, 2 10! 5! 3! 2! = ! 2! = = =

15 Satz 3.29 (Schubfachprinzip) Seien m, n N mit m > n. Wenn m Objekte auf n Fächer verteilt werden, so gibt es mindestens ein Fach mit mindestens zwei Objekten. Eine andere Formulierung dieses Satzes ist die folgende: Sind m und n natürliche Zahlen mit m > n, so gibt es keine injektive Abbildung f : {1,..., m} {1,..., n}.

16 Beispiel 3.30 In einer Menge von 13 Menschen gibt es mindestens zwei, die im gleichen Monat Geburtstag haben. In einer Menge von 367 Menschen gibt es mindestens zwei, die am gleichen Tage Geburtstag haben. (Der 29. Februar ist ein möglicher Geburtstag.) Satz 3.31 Seien m, n N. Wenn m Objekte auf n Fächer verteilt werden, so gibt es mindestens ein Fach mit mindestens m n Objekte.

17 Satz 3.32 Sei M eine unendliche Menge und n N. Sind M 1,..., M n Teilmengen von M mit M = M 1 M n, so ist eine der Mengen M 1,..., M n unendlich. Proof. Angenommen, M 1,..., M n sind endlich. Sei m das Maximum der Mächtigkeiten der M i. Dann ist auch M endlich und es gilt M m n.

18 Seien A 1,..., A n endliche Mengen. Wir suchen eine Formel für die Mächtigkeit der Vereinigung der Mengen A i, i {1,..., n}, also für die Mächtigkeit A 1 A n der Menge A 1 A n. Für zwei Mengen A 1 und A 2 gilt A 1 A 2 = A 1 + A 2 A 1 A 2. Für drei Mengen A 1, A 2 und A 3 gilt A 1 A 2 A 3 = A 1 + A 2 + A 3 A 1 A 2 A 1 A 3 A 2 A 3 + A 1 A 2 A 3

19 Satz 3.33 (Prinzip der Inklusion und Exklusion, Siebformel) Sei n N und seien A 1,..., A n endliche Mengen. Dann gilt n A 1 A n = ( 1) k 1 A n1 A nk. k=1 1 n 1 < <n k n Die innere Summe auf der rechten Seite der Gleichung läuft dabei über alle k-tupel (n 1,..., n k ) natürlicher Zahlen mit 1 n 1 < < n k n. Für den Beweis dieses Satzes benutzen wir folgendes Lemma: Lemma 3.34 Jede nichtleere endliche Menge M hat genauso viele Teilmengen mit gerader Mächtigkeit wie mit ungerader Mächtigkeit.