! Die Klausureingrenzung besteht in Aufgabentypen. Die Testaufgaben

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1 Vorbemerkung zu den Testaufgaben Die klausurrelevanten Aufgabentypen, der Klausurablauf und das Bewertungsschema (Stichwort: Methodenpunkte ) sind im Klausurinfo erläutert.! Die Klausureingrenzung besteht in Aufgabentypen. Die Testaufgaben sind eine unvollständige Sammlung von Beispielen dieser Aufgabentypen keine weitere Klausureingrenzung! Die folgenden Testaufgaben dienen aber dazu... (Fragestellung)...dass Sie Sicherheit für Fragestellungen zu jedem Aufgabentyp bekommen. Natürlich können diese in der Klausur leicht variieren, es werden aber keine (völlig) neuartigen Fragestellungen auftauchen. (Bewertung/Schwierigkeitsgrad)...dass Sie den zu erwartenden Schwierigkeitsgrad und den Punkteertrag für die einzelnen Aufgabentypen besser einschätzen können, es wird nicht schwieriger. (Zeitaufwand)...dass Sie ein Gefühl für Ihren eigenen Zeitaufwand bekommen und in Ihrer Vorbereitung entsprechend gegensteuern können. Bei insgesamt 120 Minuten Bearbeitungszeit für 50 Punkte können Sie, nach Abzug eines gewissen Leerlaufs, durchschnittlich ca. zwei Minuten Netto-Bearbeitungszeit je Bewertungspunkt ansetzen. Alle Testaufgaben sind besprochene Übungsaufgaben, Tutoriumsaufgaben oder Beispiele der Vorlesung und somit mit Ergebniskontrolle (und einem möglichen Lösungsweg). Sie können selbst diese Aufgaben und andere Aufgaben dieses Aufgabentyps leicht so abändern, dass sich die benötigte Methode, der Umfang der Aufgabe und der Schwierigkeitsgrad nicht ändern (z.b. 1 x statt x verwenden oder, bei zwei Variablen, x und y vertauschen). Stellen Sie sich derart abgeänderte Aufgaben gegenseitig und lösen Sie diese unter Klausurbedingungen!! vorsicht Schreibweise: Aus Platzgründen wird z.b. der Ausdruck a + 1 x als a + 1/x = a + x 1 geschrieben, manchmal auch überflüssigerweise geklammert als a + (1/x). FALSCH/Stressfehler: a + 1/x aufzufassen als (a + 1)/x... Die Nummerierung der Testaufgaben zu Mathematik II beginnt bei 51. Test 51 Bearbeitungszeit ca. 10 Minuten, Bewertung 2+3 Pkte (a) Bestimmen Sie die Wachstumsrate der Funktion f(x) = x e x2 (x > 0) an der Stelle x 0 = 1. (b) Bestimmen Sie die Elastizität der Funktion f(x) = 3 x e x (x > 0) und damit die ungefähre relative Änderung des Funktionswertes beim Übergang von x 0 = 1 (Basiswert) zu x 1 = 1.1 (neuer Wert). Abänderungsbsp. (wird schwieriger): 2 x statt x in (b) liefert: f(x) = 3 2 x e 2 x (x < 2) und x 0 = 1, x 1 = 0.9. Mathematik für Ökonomen - Campus Duisburg 1 von 6

2 Test 52 Bearbeitungszeit ca. 15 Minuten, Bewertung 2+5 Pkte Gegeben f(x) = 2 x + e 1 x2 mit D(f) = [0, 2]. (a) Bestimmen Sie alle Extremalstellen und die zugehörige Funktionswerte von f über dem angegebenen Definitionsbereich. (b) Untersuchen Sie das Krümmungsverhalten (Konvexität/Konkavität) von f und skizzieren Sie die Funktion f. Hilfswerte für die Skizze : e 1/2 1.65, e , 1/2 = 1/ zu Test zu Test Test 53 Bearbeitungszeit 5 10 Minuten, Bewertung 3+1 Pkte Für x > 0 sei F (x) := F (100) x t dt (a) Berechnen Sie den Wert F (100/e) [100/e 36.8] (b) Skizzieren Sie grob das in (a) mit dem Integral berechnete Flächenstück. Test 54 Bearbeitungszeit 5 10 Minuten, Bewertung 4 Pkte Die folgende Funktion f ist aus stetigen Stücken zusammengesetzt. Legen Sie die Werte der Zahlen α und β rechnerisch so fest, daß die Funktion an der Nahtstelle x 0 = 1 stetig wird, oder falls dies nicht möglich ist rechtsseitig stetig wird: β x 3/2 α für 0 x < 1 f(x) = 3/4 für x = 1 α für 1 < x x Mathematik für Ökonomen - Campus Duisburg 2 von 6

3 Test 55 Bearbeitungszeit 5 10 Minuten, Bewertung Pkte Bilden Sie die Grenzwerte: 1 + x x 2 e x 1 + e 1 x 2 e x 1 + e 1 x 2 (a) lim x x 2x 2 (b) lim x 0 (x 1) 2 (c) lim x 1 (x 1) 2 Test 56 (a) Bearbeitungszeit 5 10 Minuten, Bewertung 1+3 Pkte Ändert sich der Wert des nachfolgend in (b) gefragten Integrals, wenn dort f(1) = 2/3 statt f(1) = 1/2 gesetzt wird? Ohne Begründung ankreuzen: Ja Nein (b) Berechnen Sie das Integral 2 0 Test 57 (a) Berechnen Sie das bestimmte Integral (b) Berechnen Sie das uneigentliche Integral Test 58 t für 0 t < 1 f(t) dt, wobei f(t) = 1/2 für t = 1 t für 1 < t 2 Bearbeitungszeit 5 10 Minuten, Bewertung 4 Pkte b 0 2 t dt, wobei b > 0 fix 0 2 t dt Bearbeitungszeit ca. 15 Minuten, Bewertung 3+4 Pkte Gegeben f(x) = 2 x 1/2, D(f) = [1, 4] (z.b. ein Zeitraum von 3 Perioden) (a) Berechnen Sie für jedes x 0 D(f) jeweils die (stetige) Wachstumsrate W f (x 0 ) von f die Elastizität E f (x 0 ) von f (b) Skizzieren Sie grob den Verlauf von g(x) = ln(f(x)) d.h. die Halblogarithmische Darstellung (normales oder logarithmisches y-gitter) von f. In welcher Form taucht die Wachstumsrate W f (x 0 ) an der Basisstellen x 0 = 2 in diesem Diagramm auf? Halblogarithmischer Maßstab logarithmisches y-gitter Halblogarithmischer Maßstab normales y-gitter f(x) ln f(x) Mathematik für Ökonomen - Campus Duisburg 3 von 6

4 Test 59 Bearbeitungszeit ca. 15 Minuten, Bewertung Pkte (a) Bestimmen Sie die Wachstumsrate der Funktion f(x) = ln(x) an der Stelle x 0 = e. (b) Bestimmen Sie die Elastizität E f (x) der Funktion f(x) = 3x 2 + x e 1 x. Mit welchem Faktor überträgt sich (ungefähr) eine relative Änderung von x 0 = 1 um p% auf die relative Änderung des Funktionswertes? (c) Ist die Näherung für die relative Änderung von f aus (b) auch eine sichere Abschätzung nach oben oder nach unten? Test 60 Bearbeitungszeit ca. 10 Minuten, Bewertung 4+1 Pkte (a) Berechnen Sie zu f(x) = ln(x 2 + x + 1) (x > 0) das Taylorpolynom vom Grad n = 2 am Entwicklungspunkt x 0 = 0 (b) Approximieren Sie mit Hilfe des berechneten Taylorpolynoms den Funktionswert f( 1 10 ) = ln(1.11) Test 61 Bearbeitungszeit 5 10 Minuten, Bewertung 4 Pkte Bestimmen Sie die kubische Approximation (Taylorpolynom vom Grad n = 3) der Funktion f(x) = (1 + x) 1/2 an der Entwicklungsstelle x 0 = 0. Test 62 Bilden Sie die Grenzwerte: (a) Test 63 lim x (x 1) 3 Bearbeitungszeit ca. 10 Minuten, Bewertung 2+3 Pkte e x 1 (b) lim x 1+ (x 1) ln(x 1) Bearbeitungszeit ca. 5 Minuten, Bewertung 3 Pkte Zur Berechnung der Rendite i eff = x 1 einer Anlageform (z.b. Laufzeit n = 4, zwei vorschüssige Raten 2g und 3g zu den Zeitpunkten t = 0 und t = 3 mit der Zinsstaffel 0%, 2%, 0%, 5%) ergibt sich die Bestimmungsgleichung 2x 4 + 3x! = 2 ( ) + 3 (1.05) = Berechnen Sie hieraus den Wert von x mit Hilfe des Newton-Verfahrens: Ansatz beim Startwert x 0 = 1, eine Rechnung (erste Iteration) und den Ansatz für die zweite Iteration. Mathematik für Ökonomen - Campus Duisburg 4 von 6

5 Test 64 Bearbeitungszeit ca. 5 Minuten, Bewertung 3 Pkte Berechnen Sie 7 mit Hilfe des Newton-Verfahrens: Ansatz beim Startwert x 0 = 3, eine Rechnung (erste Iteration) und den Ansatz für die zweite Iteration. Test 65 Bearbeitungszeit Minuten, Bewertung 2+4 Pkte Gegeben ist die Funktion f(x, y) = x 5 + xy + 2y 5 (a) Berechnen Sie das totale Differential der Funktion f. (b) Die Abhängigkeit zwischen den Variablen x und y sei auf dem konstanten Niveau z = 4 gegeben durch eine implizite Darstellung mittels der obigen Funktion, d.h. 4 = f(x, y) = x 5 + xy + 2y 5 (x > 0, y > 0). Berechnen Sie (auf dem Niveau z = 4) die Grenzrate der Substitution dy der Variablen x durch die Variable y: dx (x 0, y 0 ) =? Geben Sie einen Punkt (x 0, y 0 ) an, der die Niveaubedingung erfüllt, und für diesen den Wert dy dx (x 0, y 0 ). Um ungefähr wieviel Prozent ändert sich auf dem Niveau 4 der Wert von y gegenüber y 0, wenn sich x gegenüber x 0 um +2% ändert? Test 66 Betrachtet wird die Funktion Bearbeitungszeit Minuten, Bewertung 3+4 Pkte f(x, y) = 4x 3 3y 2 (x > 0, y > 0) (a) Geben Sie eine Abschätzung für die relative Veränderung der Funktion f an der Basisstelle (2,3), wenn sich dort die x-variable um +1% verändert und die y-variable um 2% verändert. (b) Die Abhängigkeit zwischen den Variablen x und y sei auf dem konstanten (noch unbestimmten) Niveau z gegeben durch eine implizite Darstellung mittels der obigen Funktion, d.h. z = f(x, y) = 4x 3 3y 2 (x > 0, y > 0). Berechnen Sie (auf dem Niveau z) die Grenzrate der Substitution der dy Variablen x durch die Variable y: dx (x 0, y 0 ) =? Geben Sie einen Punkt (x 0, y 0 ) an, der die Niveaubedingung z = 20 erfüllt, und für diesen den Wert dy dx (x 0, y 0 ). Um ungefähr wieviel Prozent ändert sich auf dem Niveau 20 der Wert von x gegenüber x 0, wenn sich y gegenüber y 0 um 2% ändert? Mathematik für Ökonomen - Campus Duisburg 5 von 6

6 Test 67 Bearbeitungszeit Minuten, Bewertung Pkte Berechnen Sie für die Funktion f(x, y) = ln(x 2/5 y 3/5 ) (x > 0, y > 0) (a) die partiellen Ableitungen f x, f y und f yx (b) die partielle Elastizität bzgl. der Variable x im Punkt (x 0, y 0 ) = (1, e) (c) die Tangentialebene zu f im Ausgangspunkt (x 0, y 0 ) = (1, 1) und damit eine Näherung für den Funktionswert f(1.1, 0.9). Test 68 Bearbeitungszeit ca. 10 Minuten, Bewertung Pkte Berechnen Sie für die Funktion f(x, y) = (1 + y) e 1 x (x > 0, y > 0) (a) die partiellen Ableitungen f x, f y (b) die beiden partiellen Wachstumsraten an der Basisstelle (x 0, y 0 ) = (1, 1) (c) die ungefähre relative Änderung von f beim Übergang vom Basiswert f(1, 1) zu f(0.97, 1.1). Test 69 Bearbeitungszeit Minuten, Bewertung 6 Pkte Untersuchen Sie die Funktion f(x, y) = 2 x 2 /2 y 4 /4 + xy auf Extremwerte und Sattelpunkte (ggf. angeben: Extremalstellen, Sattelpunktstellen und die jeweils zugehörigen Funktionswerte). Test 70 Untersuchen Sie die Funktion Bearbeitungszeit ca. 15 Minuten, Bewertung 8 Pkte f(x, y) = 3/2 + ln((1 + 2x)(1 + y) 2 ) x 2 y (x > 0, y > 0) auf Extremwerte und Sattelpunkte (ggf. angeben: Extremalstellen, Sattelpunktstellen und die jeweils zugehörigen Funktionswerte) Themenzuordnung: { Anteil Thema Testbeispiele 40 45% 7/9 Tests 51, 52, 54, 55, % { 15 20% 8 Tests 53, 56, % 11 Tests % 10 15% 12 Tests 69, 70 Mathematik für Ökonomen - Campus Duisburg 6 von 6