Inhalt der Vorlesung Experimentalphysik II

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1 Experimenalphysik II (Kip SS 9) Inhal der Vorlesung Experimenalphysik II Teil 1: Elekriziäslehre, Elekrodynamik 1. Elekrische Ladung und elekrische Felder. Kapaziä 3. Elekrischer Srom 4. Magneosaik 5. Elekrodynamik 6. Schwingkreise und Wechselsrom Teil : Opik 7. Elekromagneische Wellen 8. Opik 77

2 Experimenalphysik II (Kip SS 9) 6 Schwingkreise und Wechselsrom 6.1 Wechselspannungsgeneraor Versuch: Roierende Spule im konsanen Magnefeld Wir berachen eine Leierschleife der Fläche A mi N Windungen (Spule), die in einem homogenen Magnefeld mi konsaner Winkelgeschwindigkei ω roier. r A() z B r N Windungen ϕ() y ϕ() ω Bei Roaion der Spule wird an ihren Enden eine sinusförmige Spannung gemessen. Die Roaionsachse zeig in x-richung und B r = (,,B). x 78

3 Experimenalphysik II (Kip SS 9) Der Fluss durch die Fläche A is dann: ϕ() r r r r Φ () = B da= B A () mag. = ω Einsezen ergib: mag. () A ( ϕ ) = BAcos ( ) is hierbei die Phase. ( ) Φ = BAcos ω Mi dem Indukionsgesez kann nun die in der Leierschleife erzeuge Spannung berechne werden: dφ() ind () = N = NBAωsin d ( ω ) Es enseh eine periodische Indukionsspannung mi der Ampliude: = NBAω Die Spannung is also proporional zur Roaionsfrequenz ω. Die periodische Wechselspannung ha die Form ind Beispiel: () = sin(ω ) ( ) T π = ω Die im Haushal übliche Spannung is eine Wechselspannung mi der Frequenz: f ω 1 = = = π T -1 5s =5Hz 79

4 Experimenalphysik II (Kip SS 9) 6. Wechselspannung und -srom Harmonische Wechselspannungen und Wechselsröme haben die Form: ( ω ϕ ) ( ω φ ) () = cos + I () = I cos + () I() R Dabei sind ϕ und φ Phasen bezüglich einer beliebigen Referenz. An einem Ohmschen Widersand sind die Phasen zwischen Srom und Spannung wegen () = R I() gleich. In diesem Fall kann einfach ϕ = φ = gesez werden. Wir berachen nun die wirkende elekrische Leisung P. Es wurde bereis in Abschni 3.6 gezeig, dass P = I gil. An einen Ohmschen Widersand gil: () = = R R () cos( ) I ω Dami ergib sich für die elekrische Leisung, die an einem Widersand R "verbrauch" wird: P I R () = () () = cos( ω ) 8

5 Experimenalphysik II (Kip SS 9) Die Leisung P() is nun eine zeiabhängige, periodische Größe. Enscheidend is ihr zeilicher Mielwer: P() π ω = R 1 P() = P() d T ω = T 3π ω = 5π Einsezen liefer: T 4 4 () = cos( ω ) T R P Mi der Subsiuion ω = xfolg π 4 1 () = cos( ) T R ω P d x dx P ( ) P () = 4 1 π T R π T 4 T Aus der Grafik lies man ab: 1 P() = P() d T 4 T 4 = 1 R Dies is die sog. Wirkleisung, die den Widersand erwärm. Bei einer Gleichspannung häe sich als Wirkleisung P = R ergeben. 81

6 Experimenalphysik II (Kip SS 9) Es ergib sich also für die Wirkleisung: Versuch: Effekivwere der Spannung Gleichspannung P = = R Wechselspannung P = 1 R Lampen werden auf gleiche Helligkei eingesell. Gleichspannung Daher werden jeweils eine effekive Spannung und ein effekiver Srom eff I =, Ieff = = R definier, die an einem Ohmschen Widersand dieselbe milere Leisung bewirken würden, wie eine gleich große Gleichspannung, d.h.: I R = = = eff eff P I Wechselspannung 8

7 Experimenalphysik II (Kip SS 9) Wechselspannung Gleichspannung () I I() Lampe Lampe Die Lampen sind gleich hell bedeue genauer, dass sie im zeilichen Miel gleich hell leuchen: P = I = P() = () I() = I Beispiel: Das Sromnez liefer eine effekive Spannung von eff = 3 V. Die Spizenspannung is dann: = eff = 3V = 35 V (!) Über einen Gleichricher kann daher ein Kondensaor auf über 3 V aufgeladen werden. eff eff 83

8 Experimenalphysik II (Kip SS 9) 6.3 Fourier-Zerlegung Allgemeine zeilich periodische Spannungsverläufe können immer auf sinusförmige zurückgeführ werden. Ein möglicher Verlauf von () sieh so aus: () T Hierbei sind T die Schwingungsdauer und ω = π/t die Kreisfrequenz. Eine periodische Größe () kann immer durch eine so genanne Fourier-Reihe ausgedrück werden: () = sin ( ω + ϕ ) u n n= mi den Konsanen u n und ϕ n. n Beliebige periodische Vorgänge können hierüber immer aus einzelnen Sinusschwingungen aufgebau werden. Daher werden in den folgenden Abschnien immer nur Spannungs- und Sromverläufe der Form n ( ω ϕ ) ( ω φ ) () = cos + I () = I cos + berache. Zwei Beispiele für Fourier- Zerlegungen folgen jez. 84

9 Experimenalphysik II (Kip SS 9) () 1. Beispiel: Dreiecksspannung Schwingungsdauer: T = 6.8 s = π s Kreisfrequenz: ω = π/t = 1 s 1 85

10 Experimenalphysik II (Kip SS 9) Fourier- Zerlegung 1. Beispiel: Dreiecksspannung 4 1( ) = sin( ) π 86

11 Experimenalphysik II (Kip SS 9) Fourier- Zerlegung 1. Beispiel: Dreiecksspannung ( ) 4 sin( ) π sin(3) 3 = 87

12 Experimenalphysik II (Kip SS 9) Fourier- Zerlegung 1. Beispiel: Dreiecksspannung 3 ( ) 4 sin(3) sin(5) = sin( ) + π

13 Experimenalphysik II (Kip SS 9) (). Beispiel: Recheckspannung Schwingungsdauer: T = 6.8 s = π s Kreisfrequenz: ω = π/t = 1 s 1 89

14 Experimenalphysik II (Kip SS 9) Fourier- Zerlegung. Beispiel: Recheckspannung 4 1( ) = sin( ) π 9

15 Experimenalphysik II (Kip SS 9) Fourier- Zerlegung. Beispiel: Recheckspannung 3 ( ) 4 = sin( ) π + sin(3) 3 + sin(5) 5 91

16 Experimenalphysik II (Kip SS 9) Fourier- Zerlegung. Beispiel: Recheckspannung 5( ) 4 = sin( ) π + sin(3) 3 + sin(5) 5 + sin(7) 7 + sin(9) 9 9

17 Experimenalphysik II (Kip SS 9) Die Effekivwere von Srom- und Spannung hängen aber von der Form der Wechselspannung ab. Sie waren über den zeilichen Mielwer der Leisung P() definier worden: 1 P () = P () d T T T 1 = Id () () = eff I T Mi dem Ohmschen Gesez folg: P () T 1 ( ) = d T = R R T 1 eff () d T = eff eff Ensprechend folg für I eff : Beispiel: T 1 Ieff = I () d T Effekivwer für eine Dreiecksspannung () T T, T = T 3T, T T 4 1 eff = () d T T 4 = 3 93

18 Experimenalphysik II (Kip SS 9) 6.4 Kirchhoffsche Regeln für Wechselspannungen und Wechselsröme In Abschni 3.9 wurden die beiden Kirchhoffschen Regeln als Grundlagen zur Berechnung von elekrischen Nezwerken eingeführ. Sie gelen auch im Fall von Wechselspannungen und Wechselsrömen. (i) Knoenregel Im Fall saionärer Sröme drück die Knoenregel das Prinzip der Ladungserhalung aus. Dieses Prinzip muss aber nun für alle Zeipunke erfüll sein: In jedem Knoen eines elekrischen Nezwerkes verschwinde daher zu jedem Zeipunk die Summe aller N Sröme. I 1 () I N () I () I 3 () N i= 1 I () = i Gusav Rober Kirchhoff ( ) 94

19 Experimenalphysik II (Kip SS 9) (ii) Maschenregel () Bei saionären Srömen verschwinde wegen der Roaionsfreihei des elekrosaischen Feldes in jeder geschlossenen Masche die Summe aller Spannungen. 1 () 3 () In der Elekrodynamik war: r r E dr = r r E dr ind ind = N () Wenn Indukiviäen mi berücksichig werden, gil also auch in einer Masche zu jedem Zeipunk: N i= 1 () = i 95

20 Experimenalphysik II (Kip SS 9) 6.5 Kondensaor im Wechselsromkreis ergib sich: () I() C ( ) ( ω π ) I () = ωc cos ω+ π = I cos + Am Kondensaor läuf der Srom der Spannung um π/ = 9 voraus. Der Zusammenhang zwischen der Spannung und dem Srom is: dq Q= C = I() = C d Da () = cos( ω) folg: I () = ωcsin( ω) d () d (), I() () I() T Mi π sin( x) = cos x+ T/ 96

21 Experimenalphysik II (Kip SS 9) Versuch: RC-Kreis Sinusgeneraor Spannung Srom Kondensaor Widersände Beim Kondensaor läuf der Srom der Spannung voraus, weil sich zunächs Ladungen auf den Plaen ansammeln müssen. 97

22 Experimenalphysik II (Kip SS 9) Die milere Leisung am Kondensaor is ( ω = π/t ): T 1 1 P () = P () d () I () d T = T T ωc = cos( ω)sin( ω) d T = T = Am Kondensaor wird im Miel also keine elekrische Leisung aufgenommen. Ein idealer Kondensaor wird im Gegensaz zu einem Ohmschen Widersand also nich erwärm. Diese zeiabhängige Leisung nenn man daher auch Scheinleisung oder Blindleisung. 6.6 Indukiviä im Wechselsromkreis () I() Der Zusammenhang von Srom und Spannung is nun (Maschenregel): di() () L = d di() () = L d L 98

23 Experimenalphysik II (Kip SS 9) Inegraion ergib: 1 I () = ( ) d cos( ) d L = L ω = sin( ω ) L ω Diesmal is: ( ) sin( ω) = cos ω π Dami folg: I ωl = I cos ( ω π ) () = cos ( ω π ) Am der Spule läuf der Srom der Spannung um π/ = 9 nach. Es muss also ers eine Spannung anliegen, dami sich der Srom aufbau. (), I() () I() T T/ Wegen der Phasenverschiebung um π/ zwischen Srom und Spannung gil hier für die milere Leisung wieder: P () = Bei einer idealen Spule wirk also auch nur die Blindleisung. 99

24 Experimenalphysik II (Kip SS 9) Versuch: RL-Kreis Sinusgeneraor Spannung Srom Spule Widersände Bei der Spule läuf der Srom der Spannung nach, weil die Indukionsspannung ihrer rsache engegenwirk. 3

25 Experimenalphysik II (Kip SS 9) 6.7 Elekrischer Schwingkreis Wir berachen eine Reihenschalung aus einer Spule, einem Kondensaor und einem Ohmschen Widersand. Gesuch is die Zeiabhängigkei des Sromflusses I() durch diesen Schwingkreis. C I() L R Aufgrund der Maschenregel gil: C L + R = Einsezen der jeweiligen Spannungen ergib: Q( ) di( ) + L + R I( ) = C d Differenzieren dieser Gleichung führ mi I() = dq/d auf die DGL: I( ) d I( ) + L C d I() = I, d I di( ) + R d I& () = I& mformen dieser DGL ergib: = () R di() I () = d L d LC Mi den Definiionen R L 1 = γ und = ω LC 31

26 Experimenalphysik II (Kip SS 9) folg: d I () di() + γ + ω I ( ) = d d Dies is dieselbe DGL wie beim gedämpfen harmonischen Oszillaor. Ohne den Widersand (R = ) ergib sich eine ungedämpfe harmonische Schwingung für den fließenden Srom: I I() = I cos( ω ) + & sin( ω ) ω Für R erhäl man eine exponenielle Dämpfung der Ampliude I. Wie auch bei der mechanischen Schwingung unerscheide man Schwing-, Kriechund aperiodischen Grenzfall. (i) Schwingfall: Im Fall ω > γ wird I() durch eine gedämpfe Schwingung beschrieben: 1 R LC RC LC > L > Hier is RC eine Zeikonsane. (ii) Kriechfall: Für ω < γ is I() eine abfallende Exponenialfunkion. ω < γ bedeue: 1 R LC RC LC < L < (iii) Aperiodischer Grenzfall: Für ω = γ is I() ebenfalls eine abfallende Exponenialfunkion, wobei: 1 R LC RC LC = L = 3

27 Experimenalphysik II (Kip SS 9) Versuch: LCR-Kreis Der elekrische Schwingkreis für verschiedene Kombinaionen der Were für den Widersand R, die Indukiviä L der Spule und der Kapaziä C des Kondensaors. Anregungsimpuls C R L schwache Dämpfung milere Dämpfung Kriechfall 33

28 Experimenalphysik II (Kip SS 9) Die im elekrischen und magneischen Feld des LCR-Kreises gespeichere Energie wird periodisch ineinander umgewandel. Die Gesamenergie is für R = konsan. Energieerhalung: EC ( ) + EL ( ) = E I () E C ( ) = 1 C( ) E L ( ) = 1 LI( ) 34

29 Experimenalphysik II (Kip SS 9) Die Energieerhalung liefer: Wegen E () + E () = E C folg nun: L = C LI E dq Q= C und I = d 1 Q 1 dq + L = C d Differenzieren dieser Gleichung ergib: 11 dq 1 dq d Q Q + L = C d d d E dq 1 Q+ L = C d dq 1 + Q = d LC dq () + ω Q = d () Dabei wurde die Frequenz ω = 1/LC eingeführ. Dies is die DGL des harmonischen Oszillaors für die Funkion Q() und dami auch für I() und (). Aus der Energieerhalung kann also, genauso wie in der Mechanik, die zeiliche Enwicklung des Sysems hergeleie werden. 35

30 Experimenalphysik II (Kip SS 9) 6.8 Komplexe Schreibweise Es wird jez ein Formalismus vorgesell, mi dem beliebige R,C,L- Nezwerke berechne werden können. Dazu wird der Wechselsromwidersand i Z = Z e ϕ definier, der eine komplexe Zahl mi dem Berag Z und der Phase ϕ is. Der Wechselsromwidersand eines Sromkreises wird auch als seine Impedanz bezeichne. Für eine Wechselspannung () = cos( ω) indukive Achse Blindwidersand Im(Z) ϕ Z ohmsche Achse Wirkwidersand wird jez die komplexe Schreibweise () = i e ω Z Re(Z) eingeführ. Dem Realeil von () ensprich jez die ursprüngliche Wechselspannung. 36

31 Experimenalphysik II (Kip SS 9) Auch für den Srom schreib man I() = i I e ω wobei die Ampliude I eine komplexe Zahl sein kann. Wir berechnen jez das Verhälnis der Ampliuden Z = /I für einen Ohmschen Widersand, eine Kapaziä und eine Indukiviä. Dieses Verhälnis is die Impedanz. (i) Ohmscher Widersand: iω iω () = e = RIe = = = RI Z R I Ein Ohmscher Widersand ha also eine reelle Impedanz, d.h. Z = R und ϕ =. (ii) Kapaziä: Am Kondensaor gil: iω I () = Ie = C d d = C d = Ciω e ( iω ) e iω Dann folg für die Impedanz: Z d () 1 1 i I iωc ωc = = = Diese Impedanz is rein imaginär, mi: 1 π Z = ϕ = ωc lim Z = lim Z = ω ω 37

32 Experimenalphysik II (Kip SS 9) (iii) Indukiviä: An einer Spule gil: iω () = e = L d d = L d = Liω I e iω ( I e ) iω di() Dann folg für die Impedanz: = = I Z i L ω Diese Impedanz is wieder rein imaginär, mi: Z = ωl π ϕ =+ lim Z = lim Z = ω ω Mi der Impedanz und dem Ohmschen Gesez kann rückwärs wieder der Zusammenhang zwischen Srom und Spannung berechne werden. Beispiel: Srom und Spannung am Kondensaor Es war: ZC 1 1 i( π ) = = e iωc ωc Mi dem Ohmschen Gesez folg: iω ( ) () = Ree = cos( ω) ZC = I = = ωce I ZC iπ iω iπ iω ( ) ( ω ) i( ω+ π ) ( Ce ) C I () = Re Ie = Re Ce e = Re ω = ω cos( ω + π ) Srom eil Spannung um π/ voraus. 38

33 Experimenalphysik II (Kip SS 9) Dieses Vorgehen läss sich jez auf beliebige RCL-Kreise überragen. Dies soll anhand eines Beispiels verdeulich werden. Beispiel: Serienschalung aus einem Ohmschen Widersand und einer Indukiviä: () L I() R Die Gesamimpedanz Z RL ergib sich durch Addiion der Einzelimpedanzen wie bei der Serienschalung von Ohmschen Widersänden. Also folg: Z = Z + Z = R+ iωl RL R L Z = R + ω L ϕ RL RL Im( Z ) RL ωl = arcan = arcan Re( ZRL ) R Der Zusammenhang zwischen physikalischem Srom und Spannung is dann: I( ) = I ( ) = I cos( ω) Z ges cos( ω + ϕ RL ) 39

34 Experimenalphysik II (Kip SS 9) Frequenzgang eines RL-Kreises: "Tiefpass" Z RL R ω ZRL RL R ω Z ωl= Z L π ϕ RL ω ω ϕ RL ω ϕ π = ϕ RL ω L 31

35 Experimenalphysik II (Kip SS 9) 6.9 Transformaor Ein Transformaor beseh aus zwei Spulen mi den Windungszahlen N 1 und N, die auf ein Eisenjoch gewickel sind. Er dien dazu, Spannungen und Sröme zu versärken. A=cons. Aufbau eines Transformaors r r B Φ = B r A r mag I 1 1 N 1 N R B r () Primärspule B() I Sekundärspule 311

36 Experimenalphysik II (Kip SS 9) Funkionsweise (qualiaiv): 1. Primärspule Wird eine zeilich variable Spannung 1 () an die Primärspule geleg, fließ ein Srom I 1 (). Dieser erzeug das Feld B() nach dem Ampèreschen Gesez: r r r r B(, ) ds = μμi(, ). Eisenjoch Magneische Feldlinien bevorzugen Bereiche, in denen µ sehr groß is, d.h. Bereiche in ferromagneischen Maerialien (Fe, Co, Ni). Der Grund dafür is die im Feld gespeichere Energie (Abschni 4.x). Bei der folgenden quaniaiven Berechnung wird der ideale Transformaor angenommen, d.h.: (1) Keine Sreuverluse des magneischen Flusses. Das Magnefeld B() is im Eisenjoch überall gleich groß und im Außenraum vernachlässigbar. () Keine Ohmschen Verluse noch Sreukapaziäen in den Leiungen. (3) Keine Wirbelsröme im Eisenjoch (können durch isoliere Transformaorbleche verhinder werden). Wirbelsrom I Wirb () B& ( ) 3. Sekundärspule Das zeilich veränderliche Magnefeld im Eisenjoch induzier in der Sekundärspule ensprechend der 3. Maxwell-Gleichung die Spannung (). 31

37 Experimenalphysik II (Kip SS 9) Eine geschlossene Feldlinie der Länge l im Eisenjoch umschließ die Sröme durch beide Spulen, so dass gil: Eisenkern r r B dr = Bl = μμ N I + N I Primärseie: Φ Primär =Φ Sekundär =Φ Φ () = B() A 1() + ind() = 1() = ind () = N1Φ& () () = N AB& () 1 1 ( ) 1 1 μμ = + l Der magneische Fluss durch Primärund Sekundärspule is gleich groß: r ( ) r B NI 1 1 NI I 1 B() A=cons. N 1 N Eisenjoch Einsezen von B() ergib: 11 1 μμ l + L 1 Hier sind L 11 die Selbsindukion der Primärspule und L 1 die von ihr in der Sekundärspule erzeuge Gegenindukion. I 1 = N1A ( N1I1 + NI) = L I& I& & & R 313

38 Experimenalphysik II (Kip SS 9) Auf der Sekundärseie wird ensprechend die Spannung induzier: = = = N N L 1 Φ& ( ) = N μμ A l I& L 1 1 ( N I& I& AB& ( ) mi Selbsindukion L der Sekundärspule und L 1 als Gegenindukion. Zusammengefass ergeben sich die Transformaorgleichungen: 1() =+ L11I& 1() + L1I& () () = L1I& 1() LI& () NNA j k mi Ljk = μμ r ( j, k = 1, ) l 1 + N I& ) Die beiden Gegenindukiviäen sind beim idealen Transformaor gleich: L NN A NNA = μμ = μμ = L l l r r 1 Das Verhälnis der Spannungen erhäl man aus der Annahme, dass der magneische Fluss in den Spulen gleich is: = N Φ& 1 1 ( ) 1 N = N N = N Für den verlusfreien Transformaor verhalen sich die Sröme ensprechend: I I 1 N = N

39 Experimenalphysik II (Kip SS 9) Versuch: Hochspannungserzeugung Versuch: Erzeugung hoher Sröme durch Transformaion Lichbogen Primärspule mi wenigen Windungen Nagel Primärspule mi vielen Windungen Sekundärspule mi vielen Windungen Zur Funkenbildung: die Durchschlagsfeldsärke in (normal feucher) Luf lieg bei ewa E = 1 kv/mm. Sekundärspule mi wenigen Windungen 315

40 Experimenalphysik II (Kip SS 9) Versuch: Tesla-Transformaor Mi dem Tesla-Transformaor können exrem hohe Spannungen erzeug werden. Prinzip des Tesla-Transformaors: Funkensrecke Schwingkreis Nicola Tesla ( ) Tesla- Trafo Nezrafo 316

41 Experimenalphysik II (Kip SS 9) Einzelkomponenen des Tesla-Transformaors Funkensrecke Kondensaor Indukiviä Nezrafo 317

42 Experimenalphysik II (Kip SS 9) Tesla-Transformaor Koronaabbildung Gasenladungsröhre 318

43 Experimenalphysik II (Kip SS 9) 319