Übersicht Datenstrukturen und Algorithmen. Übersicht. Probleme auf kantengewichteten Graphen. Vorlesung 14: Minimale Spannbäume

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1 Übersicht atenstrukturen und lgorithmen Vorlesung : Prof. r. rika Ábrahám Theorie ybrider Systeme Informatik datenstrukturen-und-algorithmen/ 1 reedy lgorithmen lgorithmus von Prim iese Präsentation verwendet in Teilen olien von Joost-Pieter Katoen. 7. Juni 0 Prof. r. rika Ábrahám atenstrukturen und lgorithmen 1/1 Prof. r. rika Ábrahám atenstrukturen und lgorithmen /1 Übersicht Probleme auf kantengewichteten raphen etrachte einen gewichteten raphen, wobei den Kanten ein ewicht zugeordnet ist. eispiel (Optimierungsprobleme auf raphen) 1 reedy lgorithmen lgorithmus von Prim inde den minimalen Spannbaum (minimal spanning tree) in einem ungerichteten raphen. inde den kürzesten Weg (shortest path) in einem gerichteten oder ungerichteten raphen. Minimal und kürzester beziehen sich hierbei auf die besuchten ewichte. ie ewichte können als Kosten für die enutzung der Kante aufgefasst werden. iese Probleme können durch reedy-lgorithmen gelöst werden. Prof. r. rika Ábrahám atenstrukturen und lgorithmen /1 Prof. r. rika Ábrahám atenstrukturen und lgorithmen /1

2 reedy lgorithmen ine Lösungstechnik: reedy-lgorithmen ( gierig ) Treffe in jedem Schritt eine ntscheidung, die bezüglich eines lokalen Kriteriums optimal ist. ieses Kriterium sollte günstig ( Komplexität) auswertbar sein. Nachdem eine Wahl getroffen wurde, kann sie nicht mehr rückgängig gemacht werden. Mit reedy-methoden ist nicht garantiert, dass immer die beste Lösung gefunden wird, denn immer das lokale Optimum zu nehmen führt nicht automatisch auch zum globalen Optimum. In einigen ällen, wie dem minimalen Spannbaum und dem Kürzesten-Wege-Problem, wird aber immer die optimale Lösung gefunden. Prof. r. rika Ábrahám atenstrukturen und lgorithmen /1 reedy? eispiel reedy kann beliebig schlecht werden: as Problem des andlungsreisenden (Traveling Salesman Problem, TSP) reedy kann gut sein: ehälterproblem (in Packing) ( x Optimum) reedy kann optimal sein:, Kürzester-Weg-Problem. Wann ist eine reedy-lösungsstrategie optimal? Optimale Lösung setzt sich aus optimalen Teilproblemen zusammen Unabhängigkeit von anderen Teillösungen Prof. r. rika Ábrahám atenstrukturen und lgorithmen /1 Was ist ein minimaler Spannbaum? Spannbaum in Spannbaum eines ungerichteten, zusammenhängenden raphen ist ein Teilgraph von, der ein ungerichteter aum ist und alle Knoten von enthält. ewicht eines raphen as ewicht W ( ) eines Teilgraphen = (V, ) vom gewichteten raph ist: W ( ) = W (u, v). (u,v) in Spannbaum mit minimalem ewicht heißt minimaler Spannbaum (minimum spanning tree, MST). Prof. r. rika Ábrahám atenstrukturen und lgorithmen 7/1 nwendungen Problem inde einen MST eines gewichteten, ungerichteten, zusammenhängenden raphen. eispiel inde einen kostengünstigsten Weg, um eine Menge von lughafenterminals, Städten,... zu verbinden. rundlage für viele andere Probleme, etwa Routing-Probleme ( Wegfindung ). estandteil von pproximationsalgorithmen für das TSP Problem. Verdrahtung von Schaltungen mit geringstem nergieverbrauch. Prof. r. rika Ábrahám atenstrukturen und lgorithmen /1

3 eispiel eispiel Was ist ein minimaler Spannbaum? as ist ein minimaler Spannbaum (mit esamtgewicht ). In diesem all ist es auch der einzige. Prof. r. rika Ábrahám atenstrukturen und lgorithmen /1 Prof. r. rika Ábrahám atenstrukturen und lgorithmen /1 Tiefen- oder reitensuche? Tiefensuchbaum (von gestartet) esamtgewicht: reitensuchbaum (von gestartet) esamtgewicht: 7 er Tiefensuchbaum und der reitensuchbaum sind zwar Spannbäume, aber nicht notwendigerweise MSTs. Prof. r. rika Ábrahám atenstrukturen und lgorithmen 11/1 er lgorithmus von Prim Übersicht Wir ordnen die Knoten in drei Kategorien ein: aum-knoten : Knoten, die Teil vom bis jetzt konstruierten aum sind. Rand-knoten: Nicht im aum, jedoch adjazent zu Knoten im aum. Ungesehene Knoten: lle anderen Knoten. rundkonzept: ange mit einen aum mit nur einem Knoten an, indem ein beliebiger Knoten des raphens ausgewählt wird. inde die günstigste Kante (d. h. mit minimalem ewicht), die den bisherigen aum verlässt. üge den über diese Kante erreichten (Rand-)Knoten dem aum hinzu, zusammen mit der Kante. ahre fort, bis keine weiteren Randknoten mehr vorhanden sind. Ist das korrekt? Und wenn, was ist die Komplexität? Prof. r. rika Ábrahám atenstrukturen und lgorithmen 1/1

4 Prim s lgorithmus: Implementierung Prim s lgorithmus eispiel 1 //Input: ungerichteter gewichteter raph mit n Knoten, Startknoten void primmst(int adj[n], int n, int start, int &dist[n], int &parent[n]) { for (int i = 0; i < n; i++) { //für jeden Knoten dist[i] = inf; parent[i] = null; } 7 dist[start] = 0; //start ist einziger Randknoten mit ntfernung 0 Q = {0,...,n-1}; //Q enthält alle ungesehenen Knoten und //alle Randknoten while (Q not empty) { 11 //verschiebe den nahesten Randknoten v in den aum: 1 //extractmin(q) bestimmt ein lement e aus Q mit minimaler ntfernung dist[e], entfernt e aus Q und gibt e zurück 1 v = extractmin(q); //aktualisiere ntfernung für Randknoten for each (edge in adj[v]) { //für jede von v ausgehende Kante 1 if (edge.target in Q and edge.weight < dist[edge.target]) { 17 parent[edge.target] = v; 1 dist[edge.target] = edge.weight; 1 } 0 } 1 } } Prof. r. rika Ábrahám atenstrukturen und lgorithmen 1/1 Prof. r. rika Ábrahám atenstrukturen und lgorithmen /1 Korrektheit von Prim Lemma Unmittelbar vor jeder Iteration i ist der aktuelle aum i = (V i, i ) eine Teilmenge eines minimalen Spannbaumes. eweis. Per Induktion über die Iterationstiefe. k = 1: Trivial, da i =. k > 1: Sei die igenschaft gültig für alle 1 i < k; wir zeigen sie für k. Sei T ein MST der k 1 enthält und k = (V k 1 {v}, k 1 {(u, v)}). Wenn T auch k enthält, dann sind wir fertig. alls (u, v) nicht in T enthalten ist, dann gibt es einen anderen Pfad von u nach v in T. a u V k 1 und v V k 1, gibt es eine Kante (x, y) auf dem Pfad mit x V k 1 und y V k 1. s gilt W (x, y) > W (u, v) wegen des Wahls von (u, v). er aum T, der aus T durch entfernen von (x, y) und inzufügen von (u, v) entsteht, ist ein Spannbaum, der auch minimal ist (da T minimal ist und Prof. r. rika Ábrahám W (T atenstrukturen und lgorithmen ) = W (T ) W (x, y) + W (u, v) W (T )). a k in T /1 T zum Vorhalten der Randknoten ie benötigten Operationen für den lgorithmus von Prim sind: Wähle eine billigste Kante zu einem Randknoten (Kantenkandidat). Reklassifiziere einen Randknoten als aumknoten (füge den Kantenkandidat zum aum hinzu). Ändere die Kosten (Randgewicht) eines Randknotens, wenn ein günstigerer Kantenkandidat gefunden wird. Idee: Ordne die Randknoten nach ihrer Priorität (= Randgewicht). Wir entscheiden uns für die Prioritätswarteschlange als atenstruktur für die Randknoten. Prof. r. rika Ábrahám atenstrukturen und lgorithmen 1/1

5 Vorläufige Komplexitätsanalyse rei Prioritätswarteschlangenimplementierungen Im Worst-ase: Jeder Knoten muss zur Prioritätswarteschlange hinzugefügt werden. uf jeden Knoten muss auch wieder zugegriffen werden und er muss gelöscht werden. ie Priorität eines Randknotens muss nach jeder gefundenen Kante angepasst werden. ei einem raph mit n Knoten und m Kanten ergibt sich: T (n, m) O (n T (insert)+n T (getmin)+n T (delmin)+m T (decrkey)) Welche Implementierung der Prioritätswarteschlange ist dafür gut geeignet? T (n, m) O (n T (insert)+n T (getmin)+n T (delmin)+m T (decrkey)) Implementierung Operation unsortiertes rray sortiertes rray eap ismpty() Θ(1) Θ(1) Θ(1) insert(e,k) Θ(1) Θ(n) Θ(log n) getmin() Θ(n) Θ(1) Θ(1) delmin() Θ(n) Θ(1) Θ(log n) decrkey(e,k) Θ(1) Θ(n) Θ(log n) Prim O(n +m)) O(n + m n) O(n log n + m log n) Prof. r. rika Ábrahám atenstrukturen und lgorithmen 17/1 Prof. r. rika Ábrahám atenstrukturen und lgorithmen 1/1