nichtlineare dynamische Systeme
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- Dieter Dressler
- vor 6 Jahren
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1 nichtlineare dynamische Systeme dynamische Systeme: - Systeme mit Krafteinwirkung (δυναµιο = Kraft) - zeitabhängige Systemzustände - Zustandsänderung abhängig vom momentanen Zustand deterministisch gleiche Umstände - gleiche Entwicklung stochastisch gleiche Umstände - stochastische Entwicklung, Wahrscheinlichkeitsverteilung abh. vom momentanen Zustand
2 Nichtlinearität und Kausalität schwache Kausalität: gleiche Ursachen haben gleiche Wirkungen t t+τ Lineare Systeme starke Kausalität: ähnliche Ursachen haben ähnliche Wirkungen t t+τ starke Idealisierung; keine Berücksichtigung experimenteller Situationen schließt schwache Kausalität ein; berücksichtigt experimentelle Situationen: kleine Abweichung in Anfangsbedingungen; Störungen des Systems; systematische Fehler,...
3 Nichtlinearität und Kausalität Nichtlineare Systeme Verletzung der starken Kausalität: ähnliche Ursachen haben unterschiedliche Wirkungen t t+τ - sensitive Abhängigkeit von den Anfangsbedingungen deterministisches Chaos - Musterbildung "das Ganze ist mehr als die Summe seiner Teile" Selbstorganisation
4 Charakterisierung einer Dynamik Maß Dimension Lyapunov- Exponenten Eigenschaften statisch dynamisch Charakterisierung Skalenverhalten, Anzahl der Freiheitsgrade, Komplexität Divergenz/Konvergenz, Langzeitverhalten, Stabilität, Prädiktionszeit Entropie dynamisch Unordung, Information, Komplexität, Prädiktionszeit
5 Charakterisierung einer Dynamik Dynamik regulär chaotisch stochastisch Eigenschaften deterministisch Langzeitverhalten prädizierbar starke Kausalität deterministisch begrenzt prädizierbar Verletzung der starken Kausalität Nichtlinearität Rauschen/Zufall nicht prädizierbar unkontrollierte Einflüße äußere Störungen charakterisierende Maße D ganzzahlig, λ = K = D fraktal, (λ, K) > 0 (D, λ, K)
6 Charakterisierung einer Dynamik Wie gut können Dimensionen, Lyapunov-Exponenten und Entropien verschiedene Dynamiken wirklich charakterisieren? Probleme Datenpunkt-Anzahl, Genauigkeit, Rauschen (andere) Trennung Determinismus - Stochastizität?
7 Zeitreihenanalyse Länge der Zeitreihe Experiment: begrenzt begrenzt Modell: beliebig beliebig Abtastintervall Genauigkeit A/D-Wandler Rauschen beliebig
8 Determinismus / Stochastizität Wold-Zerlegung: Jeder stationäre (lineare oder nichtlineare) Prozeß kann in eine Summe von unkorrelierten deterministischen und nichtdeterministischen Komponenten zerlegt werden. Zeitbereich: Frequenzbereich: v( t) = d( t) + n( t) V ( f ) = V ( f ) + V ( f ) + V ( f ) V 1 absolut stetig (fast überall differenzierbar) V 2 monoton wachsende/fallende Sprungfunktion (Treppenfunktion) V singuläre Funktion 3
9 Wold-Zerlegung (Frequenzbereich): V 1 V 3 f f V + V + V f
10 Determinismus / Stochastizität lineare Modellierung (ARMA-Prozeß): deterministische Komponente Autoregressiver Prozeß (AR) der Ordnung p p i= 1 d( t) = a v( t i) i nichtdeterministische Komponente Moving-Average Prozeß (MA) der Ordnung q q i= 1 n( t) = bη( t i) i η Ν( 0, 1)
11 Determinismus / Stochastizität nichtlineare Modellierung (ARMA-Prozeß): deterministische Komponente p i= 1 d( t) = a F [ v( τ), η( τ)] v( t i) i t i nichtdeterministische Komponente q i= 1 n( t) = b G[ x( τ), η( τ)] η( t i) i η Ν( 0, 1) nichtlineare Kernelfunktionen: F [ v( ), ( )], G[ x( ), ( )] t i τ η τ τ η τ mit τ t i
12 Determinismus / Stochastizität Problem: Wold-Zerlegung additiv - entweder deterministisch oder stochastisch - anwendbar auf reale Daten? deterministisches Chaos? - wünschenswert: Abbildung auf [0,1]-Intervall 1,0 deterministisch Zeitreihe 0,5 0,0 stochastisch
13 Determinismus / Stochastizität betrachte Dynamik eines Systems mit n Zustandsgrößen Bewegungsgleichung: kontinuierlich diskret Satz von Differentialgleichungen und Anfangsbedingungen d dt x = f( x, t, λ) x = x( t ) 0 0 Satz von Differenzengleichungen (Abbildungen) xt+ t = F( xt, T, λ) λ = Kontrollparameter f,f: R n R n reellwertigevektorfunktionen i.a. nichtlinear
14 Determinismus / Stochastizität reguläre Dynamik: - schwache Kausalität: gleiche Ursachen haben gleiche Wirkungen - zu jeder Anfangsbedingung kann spezielle Lösung der Bewegungsgleichung gefunden werden Verlauf der Trajektorien im Phasenraum für jeden Zeitpunkt eindeutig festgelegt keine Selbstüberschneidung der Trajektorie falls Bewegungsgleichung stetig: benachbarte Trajektorienabschnitte stehen parallel zueinander - in infinitesimal kleinen Volumenelementen gilt dx dt a dxb xa x dt b
15 Determinismus / Stochastizität reguläre Dynamik: - starke Kausalität: ähnliche Ursachen haben ähnliche Wirkungen - betrachte endliche Volumenelemente (endliche Kantenlänge) - Trajektorienabschnitte innerhalb kleiner (endlicher) Volumenelemente sind zueinander ausgerichtet lokaler Fluß im Phasenraum bei seltsamen Attraktoren nur bedingt richtig (z.b. "leere" Volumenbereiche bei Lorenzsystem), im Mittel (gesamter Attraktor) aber dennoch gültig.
16 Determinismus / Stochastizität
17 Determinismus / Stochastizität Phasenraum-basierte Verfahren zum Nachweis von Determinismus in Zeitreihen - D.T. Kaplan und L.Glass, PRL 68, pp. 427, R. Wayland et al., PRL 70, pp. 580, L.W. Salvino und R. Cawley, PRL 73, pp. 1091, 1994 (- D.T. Kaplan, Physica D 73, pp. 38, 1994)
18 Determinismus / Stochastizität Kaplan-Glass Verfahren: Beobachtung: Tangente an Trajektorie eines deterministischen Systems ist abhängig von Position im Phasenraum Determinismus: in einer gegebenen Region im Phasenraum haben alle Tangenten an eine Trajektorie eine ähnliche Orientierung
19 Determinismus / Stochastizität (Kaplan & Glass) Vorgehensweise: - Rekonstruktion der Dynamik im Phasenraum v( t) = ( v( t), v( t τ), v( t 2τ),..., v( t mτ )) - grobe Unterteilung des m-dimensionalen Phasenraums in Hyperkuben (coarse graining) - k-ter Durchgang einer Trajektorie durch Hyperkubus j generiert Trajektorienvektor υ k, j
20 Determinismus / Stochastizität (Kaplan & Glass) Trajektorienvektor - Länge: 1 (normierter Einheitsvektor) - Richtung: abh. von Vektor zwischen Eintritts- und Austrittspunkt (mittlere Richtung des Trajektoriendurchgangs) ( VORTEIL: Tiefpaßfilterung der Dynamik, weniger rauschanfällig) Trajektorie k Trajektorienvektor υ k, j Hyperkubus j m = 2
21 Determinismus / Stochastizität (Kaplan & Glass) Statistik über Trajektorienvektoren - Trajektorie durchläuft j-ten Hyperkubus n -mal - bilde n j normierte Trajektorienvektoren (wichtig: alle Durchgänge gleichberechtigt, egal ob zentral oder am Rande) - vektorielle Addition und Normierung auf Anzahl der Passagen (alle Hyperkuben sind gleichberechtigt) n j j - mittlerer Trajektorienvektor: Υ n j j υ k, j k := = 1 n j
22 Determinismus / Stochastizität (Kaplan & Glass) Charakterisierung der Dynamik: - Lokaler Fluß im Phasenraum - Ansatz: globaler Mittelwert über alle Hyperkuben - Sortierung der Hyperkuben nach jeweiligen n -Wert - betrachte Verteilung der mittleren Trajektorienlänge in Abh. von Anzahl der Passagen j L n m := Υ j n j n= n j
23 Determinismus / Stochastizität (Kaplan & Glass) L m=6 n n Lorenz Rauschen theoretischer Verlauf R m n 120 L: = L n m n >1 Lorenz-System L(m=6) = 0,97 weißes Rauschen L(m=6) = 0,23
24 Determinismus / Stochastizität (Kaplan & Glass) Lorenz-System deterministisch L=0,97 < 1 weißes Rauschen stochastisch L=0,23 > 0 Abweichung vom maximalen Wert:? - allg. gilt: lim L m = n ε endliche Datenlänge endliche Hyperkubenanzahl endliche Kantenlänge ε - bei ε 0 Abnahme der Trajektorienpassagen/Hyperkubus Verschlechterung der Statistik
25 Determinismus / Stochastizität (Kaplan & Glass) Abweichung vom minimalen Wert: - betrachte Funktionsverlauf von für weißes Rauschen: L fit n : - funktionaler Verlauf und Vorfaktor ergeben sich aus Summation von Trajektorienvektoren eines random-walk in m Dimensionen (Lord Rayleigh, 1919) - random-walk: n Schritte (Einheitslänge) in m Dimensionen, wobei Winkel von Schritt zu Schritt zufällig gewählt wird L n m 0, 96 1 = n n
26 Determinismus / Stochastizität (Kaplan & Glass) Abweichung vom minimalen Wert: - betrachte mittlere Änderung pro Schritt (n ): R m n = m+ 1 Γ 2 2 nm m Γ 2 R m n = c m 1 n m = c m = π 2 4 6π 3 π lim 32 0,886 0,921 0,939 m cm = 1
27 Determinismus / Stochastizität (Kaplan & Glass) 1 cm m 30
28 Determinismus / Stochastizität (Kaplan & Glass) Renormierung des lokalen Flusses im Phasenraum: - mit R m n = c m 1 n Renormierung: F * := m Ln R 1 R m n m n n> 1 F * := 0 L m < R n m n Lorenz-System L(m=6) = 0,97 F* = 0,965 weißes Rauschen L(m=6) = 0,23 F* 0
29 Determinismus / Stochastizität (Kaplan & Glass) F* Lorenz Rauschen n 120
30 Determinismus / Stochastizität (Wayland et al.) Wayland et al. Verfahren: operationale Definition: eine Zeitreihe v(t) heißt deterministisch, wenn eine Folge von Phasenraumvektoren durch die Iteration einer kontinuierlichen Funktion f exakt modelliert werden kann (Vorauss.: m und τ geeignet gewählt).
31 Determinismus / Stochastizität (Wayland et al.) Vorgehensweise: - Rekonstruktion der Dynamik im Phasenraum v( t) = ( v( t), v( t τ), v( t 2τ ),..., v( t mτ )) - empirischer Test auf Kontinuität (aufgrund endlicher Folge von Phasenraumvektoren) - Annahme: wenn Abbildung f kontinuierlich, dann gilt: dicht benachbarte Punkte im Phasenraum werden auf dicht benachbarte Punkte abgebildet
32 Determinismus / Stochastizität (Wayland et al.) lokale Betrachtung: - betrachte Punkt auf einem Attraktor, seine nächsten Nachbarn v,..., 1 v k, sowie deren Bilder w,..., 0 w k aufgrund der Wirkung von f ε-umgebung f v 0 w 0 v 0
33 Determinismus / Stochastizität (Wayland et al.) - wenn Zeitreihe deterministisch und v,..., 0 vk auf kleines Volumen im m-dimensionalen Phasenraum beschränkt Translationsvektoren t j = w j v j nahezu gleich sei t k 1 = t k + = 1 j 0 definiere: Translationsfehler (Varianz) j Mittelwert der Translationsvektoren t = Euklidische Länge des Vektors t e trans k 1 t j = k + 1 j= 0 t t 2 2
34 Determinismus / Stochastizität (Wayland et al.) Translationsfehler minimal bei deterministischen Zeitreihen Erweiterung auf globale Abschätzung: - wähle N* Punkte auf einem Attraktor (N* beliebig) - bestimme jeweiligen Translationsfehler - Median der Translationsfehler Maß für Determinismus - Vorteile des Verfahrens: kleine Datenmengen geringe Rauschanfälligkeit
35 Determinismus / Stochastizität (Salvino & Cawley) Salvino & Cawley Verfahren: Hypothese: Stetigkeit im Phasenraum impliziert Determinismus in Zeitreihe bisherige Verfahren: Einheits-Vektorfeld vorausgesetzt jetzt: Vektorfeld im Phasenraum beliebig
36 Determinismus / Stochastizität (Salvino & Cawley) Vorgehensweise: - Rekonstruktion der Dynamik im Phasenraum v( t) = ( v( t), v( t τ), v( t 2τ ),..., v( t mτ )) - Test auf Stetigkeit - Grundannahme 1: DGL rechte Seite stetige (lokal Lipschitz) Funktion des Ortes Lösung der DGL eindeutig bestimmt für gegebene Anfangsbedingungen benachbarte Punkte im Phasenraum zeigen ähnliche zeitliche Entwicklung
37 Determinismus / Stochastizität (Salvino & Cawley) - Grundannahme 2: diskrete Abbildung Definition Stetigkeit nicht eindeutig jedoch: Stetigkeit Existenz einer Regel, die aus der zeitlichen Entwicklung der Zustände im Phasenraum abgeleitet werden kann - Grundannahme 3: betrachte Vektorfeld in R d als Funktion des Ortes: φ 1 k = φ( ) = (, ( ),..., 1 x Ψ x f x f ( x)), k > 1 wobei f i i-te Iteration von f und Ψ stetige Funktion
38 Determinismus / Stochastizität (Salvino & Cawley) einfachste Form von φ(x): k 1 r= 0 r φ( x) = c f ( x), k > r 1 f beliebig: Fluß oder Abbildung z.b. 0 1 f ( x( t)) = x( t), f ( x( t)) = x( t 1), usw. c zunächst beliebig, jedoch unabhängig von x r
39 Determinismus / Stochastizität (Salvino & Cawley) Bestimmung des Vektorfeldes φ(x): - wie bei Kaplan-Glass Verfahren auch: - grobe Partionierung des Phasenraums (Hyperkuben) - mittlerer Trajektorienvektor / Hyperkubus Υ n j υ k, j k := = 1 - Statistik (hier gewichteter quadrierter Mittelwert): j n j n j W = n j Υ 2 n j j
40 Determinismus / Stochastizität Zusammenfassung: Vektorfeld im Phasenraum Ausrichtung der Vektoren (Parallelität) (Kaplan & Glass) Kontinuität (Wayland et al.) Stetigkeit (Salvino & Cawley) Determinismus / Stochastizität Statistik
41 Determinismus / Stochastizität Zusammenfassung - prinzipiell basieren alle Verfahren auf Stetigkeit im Phasenraum f ( x) f ( x ) < ε sofern x x < δ = δ ( ε) Äquivalenz Stetigkeit Determinismus gerechtfertigt? - Ausschlußbeweis: Stochastische Dynamik muß sich unter der verwendeten Statistik deutlich anders verhalten.
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